第七章序列相關(guān)性

計量經(jīng)濟學(xué)

—理論·方法·EViews應(yīng)用

郭存芝杜延軍李春吉編著電子教案

第七章序列相關(guān)性◆學(xué)習(xí)目的

通過本章的學(xué)習(xí)，你可以知道什么是序列相關(guān)性，序列相關(guān)性產(chǎn)生的原因是什么，序列相關(guān)性導(dǎo)致什么樣的后果，怎樣檢驗和處理具有序列相關(guān)性的模型。◆基本要求1）掌握序列相關(guān)性的概念、序列相關(guān)性的后果和檢驗方法；2）了解廣義最小二乘法和廣義差分法原理；3）能運用廣義差分法和廣義最小二乘法估計線性回歸模型?！粜蛄邢嚓P(guān)性及其產(chǎn)生原因◆

序列相關(guān)性的影響◆序列相關(guān)性的檢驗◆序列相關(guān)的補救第七章序列相關(guān)性◆案例分析第一節(jié)序列相關(guān)性及其產(chǎn)生原因—、序列相關(guān)性的含義對于多元線性回歸模型(7-1)在其他假設(shè)仍然成立的條件下，隨機干擾項序列相關(guān)意味著如果僅存在則稱為一階序列相關(guān)或自相關(guān)（簡寫為AR(1))，這是常見的一種序列相關(guān)問題。（7-3）（7-2）自相關(guān)往往可以寫成如下形式：（7-4）其中稱為自協(xié)方差系數(shù)或一階自回歸系數(shù)，是滿足以下標準OLS假定的隨機干擾項：

由于序列相關(guān)性經(jīng)常出現(xiàn)在以時間序列數(shù)據(jù)為樣本的模型中，因此，本節(jié)下面將代表不同樣本點的下表i用t

表示。二、序列相關(guān)的原因1．經(jīng)濟數(shù)據(jù)序列慣性2．模型設(shè)定的偏誤3．滯后效應(yīng)4．蛛網(wǎng)現(xiàn)象5．數(shù)據(jù)的編造1．經(jīng)濟數(shù)據(jù)序列慣性GDP、價格指數(shù)、消費等時間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)為周期循環(huán)。當經(jīng)濟衰退的谷底開始復(fù)蘇時，大多數(shù)經(jīng)濟序列開始上升，在上升期間，序列在每一時刻的值都高于前一時刻的值?？磥碛幸环N內(nèi)在的動力驅(qū)使這一勢頭繼續(xù)下去，直至某些情況出現(xiàn)（如利率或稅收提高）才把它拖慢下來。因此，在涉及時間序列的回歸中，相繼的觀測值很可能是相互依賴的。比如：2．模型設(shè)定的偏誤定義：指所設(shè)定的模型“不正確”，主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。例1：本來應(yīng)該估計的模型為（7-5）但在進行回歸時，卻把模型設(shè)定為如下形式：

（7-6）（丟掉了重要的解釋變量）2．模型設(shè)定的偏誤

如果(7-5)式是正確的模型，那做（7-6）式的回歸就相當于令于是誤差項v將表現(xiàn)出一種系統(tǒng)性模式，從而形成了自相關(guān)。例1：（丟掉了重要的解釋變量）2．模型設(shè)定的偏誤定義：指所設(shè)定的模型“不正確”，主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。例2：（模型函數(shù)形式有偏誤）（7-7）在成本—產(chǎn)出研究中，如果真實的邊際成本的模型為：其中Y代表邊際成本，X代表產(chǎn)出。（7-8）但是如果建模時設(shè)立了如下回歸模型：2．模型設(shè)定的偏誤例2：（模型函數(shù)形式有偏誤）

因此在(7-8)中，

它包含了產(chǎn)出的平方對隨機

干擾項的系統(tǒng)性影響，隨機干擾項呈現(xiàn)序列相關(guān)性。（7-8）

但是如果建模時設(shè)立了如下回歸模型：3．滯后效應(yīng)考慮一個消費支出對收入進行回歸的時間序列模型，人們常常發(fā)現(xiàn)當期的消費支出除了依賴其他當期收入外，還依賴前期的消費支出，即回歸模型為：（7-9）其中，C是消費，Y是收入。

類似（7-9）式的回歸模型被稱為自回歸模型

由于心理上、技術(shù)上以及制度上的原因，消費者不會輕易改變其消費習(xí)慣，如果我們忽視（7-9）式中的滯后消費對當前消費的影響，那所帶來的誤差項就會體現(xiàn)出一種系統(tǒng)性的模式。注意：4．蛛網(wǎng)現(xiàn)象例如：假定某農(nóng)產(chǎn)品的供給模型為：(7-10)假設(shè)t時期的價格Pt低于t-1時期的價格Pt-1，農(nóng)民就很可能決定在時期t+1生產(chǎn)比t時期更少的東西。顯然在這種情形中，農(nóng)民由于在年度t的過量生產(chǎn)很可能在年度t+1消減他們的產(chǎn)量。諸如此類的現(xiàn)象，就不能期望干擾μt是隨機，從而出現(xiàn)蛛網(wǎng)式的序列相關(guān)。5．數(shù)據(jù)的編造新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系，表現(xiàn)出序列相關(guān)性。例如：季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動而引進了數(shù)據(jù)中的勻滑性，這種勻滑性本身就能使隨機干擾項中出現(xiàn)系統(tǒng)性的因素，從而出現(xiàn)序列相關(guān)性。利用數(shù)據(jù)的內(nèi)插或外推技術(shù)構(gòu)造的數(shù)據(jù)也會呈現(xiàn)某種系統(tǒng)性的模式。一般經(jīng)驗表明，對于采用時間序列數(shù)據(jù)做樣本的計量經(jīng)濟學(xué)模型，由于在不同樣本點上解釋變量意外的其他因素在時間上的連續(xù)性，帶來了他們對被解釋變量的影響的連續(xù)性，所以往往存在序列相關(guān)性。第二節(jié)序列相關(guān)性的影響1．參數(shù)估計量非有效2．隨機誤差項方差估計量是有偏的3．擬合優(yōu)度檢驗R2統(tǒng)計量和方程顯著性檢驗F統(tǒng)計量無效4．變量的顯著性檢驗t檢驗統(tǒng)計量和相應(yīng)的參數(shù)置信區(qū)間估計失去意義5．模型的預(yù)測失效1．參數(shù)估計量非有效

根據(jù)OLS估計中關(guān)于參數(shù)估計量的無偏性和有效性的證明過程可以看出，當計量經(jīng)濟學(xué)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時，其OLS參數(shù)估計量仍然具有線性無偏性，但不具有有效性。因為在有效性證明中我們利用了（7-11）即同方差和相互獨立性條件。而且在大樣本情況下，參數(shù)估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。為了具體說明這一點，我們回到簡單的一元回歸模型（7-12）為方便我們不妨假定干擾項為(7-4)所示的一階序列相關(guān)：(7-13)(7-14)對于干擾項為一階序列相關(guān)的一元回歸模型采用OLS估計，如以前一樣，β1的OLS估計量為：但給定干擾項為一階序列相關(guān)時，的方差估計量現(xiàn)在為：式中為一階序列相關(guān)時的方差。（7-16）把該式與沒有干擾項自相關(guān)情形的通常公式（7-15）相比，可以看出前者等于后者加上另一與自相關(guān)系數(shù)和各期的樣本協(xié)方差有關(guān)的項。

2．隨機誤差項方差估計量是有偏的在存在干擾項序列相關(guān)的情況下，隨機誤差方差的OLS估計量偏離了真實的隨機誤差項的方差。

以一元回歸模型為例，在經(jīng)典假設(shè)情況下，干擾項的OLS方差估計量是真實的的無偏估計，即有。但若隨機誤差項存在一階序列相關(guān)

則可以證明：式中為X的相繼觀測值之間的樣本相關(guān)系數(shù)。

3．擬合優(yōu)度檢驗R2統(tǒng)計量和方程顯著性檢驗F統(tǒng)計量無效由于在序列相關(guān)時OLS對隨機誤差方差估計有偏，結(jié)果基于OLS殘差平方和計算出來的擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量R2也失去意義，相應(yīng)的方程顯著性檢驗統(tǒng)計量F統(tǒng)計量也無效。4．變量的顯著性檢驗t檢驗統(tǒng)計量和相應(yīng)的參數(shù)置信區(qū)間估計失去意義用OLS法估計序列相關(guān)的模型得到的隨機誤差項的方差不僅是有偏的，而且這一偏誤也將傳遞到用OLS方法得到的參數(shù)估計量的方差中來，從而使得建立在OLS參數(shù)估計量方差基礎(chǔ)上的變量顯著性檢驗失去意義。沒有被低估，通常OLS參數(shù)估計量的方差式（7-16）即使隨機誤差的方差也是存在一階序列相關(guān)時參數(shù)估計量方差的偏誤估計量。

以一元回歸模型為例，5．模型的預(yù)測失效在存在序列相關(guān)時OLS估計的隨機誤差項方差有偏，參數(shù)估計量方差非有效，這樣回歸模型的被解釋變量的預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間就不準確，預(yù)測精度降低。

被解釋變量預(yù)測值區(qū)間與模型參數(shù)和隨機誤差的估計量的方差有關(guān)。所以，當模型出現(xiàn)序列相關(guān)時，它的預(yù)測功能失效。第三節(jié)序列相關(guān)性的檢驗不同的檢驗方法的共同思路:

序列相關(guān)性的檢驗方法有多種，如馮諾曼比檢驗法、回歸檢驗法、D.W.檢驗法等。首先采用普通最小二乘法估計模型，以得到隨機干擾項的近似估計量，我們用表示近似估計量：（7-19）然后通過分析這些近似估計量之間的相關(guān)性以達到判斷隨機干擾項是否具有序列相關(guān)性的目的。序列相關(guān)性的檢驗方法一、圖示法二、回歸檢驗法三、杜賓—沃森檢驗四、拉格朗日乘子檢驗一、圖示法由于殘差可以作為隨機誤差的估計，因此，如果存在序列相關(guān)性，反映出來，因此可以利用的變化來判斷隨機干擾項的序列必然會由殘差項相關(guān)性，如圖7－1所示。二、回歸檢驗法，（7-20）（7-21）

以等為解釋變量，為解釋變量，以各種可能的相關(guān)變量，諸如建立各種方程：對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關(guān)性。一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時知道了相關(guān)的形式，而且它適用于任何類型的序列相關(guān)性問題的檢驗。優(yōu)點：三、杜賓—沃森檢驗D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一種檢驗序列自相關(guān)的方法。雖然該方法很常用，但它有一些基本假定：（1）回歸含有截距項。（2）解釋變量X是非隨機的，或者在重復(fù)抽樣中被固定的。（3）隨機干擾項為一階自回歸形式：。（4）回歸模型中不應(yīng)把滯后應(yīng)變量作為解釋變量之一，即不應(yīng)出現(xiàn)如下形式模型：（5）沒有缺失數(shù)據(jù)。杜賓—沃森針對原假設(shè)，即不存在一階自相關(guān)，構(gòu)造如下統(tǒng)計量：（7-22）檢驗，它沒有唯一的臨界值可以導(dǎo)出拒絕或和下限，且這些上下限只與因此D-W檢驗不同于t、F或接受原假設(shè)。但他們成功導(dǎo)出了臨界值的上限樣本容量n和解釋變量的個數(shù)有關(guān)，而與解釋變量的取值無關(guān)。

杜賓—沃森證明該統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，其準確的抽樣或概率分布很難得到；

又依賴于給定的X的值。因為D.W.值要從中算出，而因此，在運用D-W檢驗時，只須計算該統(tǒng)計量的值，再根據(jù)樣本容量n和，然后按下列準則考察和解釋變量數(shù)目k查D.W.分布表，得到臨界值計算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)：若，則存在正自相關(guān)；若，則不確定；若，則無自相關(guān)；若，則不確定；若，則存在負自相關(guān)。也就是說，當D.W.值在2附近時，模型不存在一階自相關(guān)。例7-1給定一個含有50個觀測值的樣本和3個解釋變量,如果（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97你能對自相關(guān)的問題說些什么？？解：根據(jù)D-W檢驗判斷準則可知（b）D.W.=1.40<，隨機誤差項存在一階正自相關(guān)；

（d）4=2.58<D.W.=3.97，隨機誤差項存在負一階自相關(guān)。查D.W.分布表可知，當樣本數(shù)為n=50，解釋變量數(shù)k=3時，在5%的為1.42，為1.67。

顯著性水平下D.W.統(tǒng)計量臨界值的下界（a）D.W.=1.05<=1.42，因此隨機誤差項存在正一階自相關(guān)；

（c）4=2.58>D.W.=2.50>4=2.33，不能確定隨機誤差項是否存在一階自相關(guān)；在許多情況下，人們發(fā)現(xiàn)上限差不多就是真實的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計值落入不能確定的區(qū)域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗程序。給定顯著性水平α：（2）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為（1）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計上顯著的正相關(guān)。如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計上顯著的負相關(guān)。在許多情況下，人們發(fā)現(xiàn)上限差不多就是真實的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計值落入不能確定的區(qū)域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗程序。給定顯著性水平α：（3）原假設(shè)為，備擇假設(shè)為如果有或者則在顯著性水平α上拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，也就是存在統(tǒng)計上顯著的自相關(guān)。四、拉格朗日乘子檢驗拉格朗日乘子檢驗克服了D-W檢驗的缺陷，適合于高階序列相關(guān)及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也稱為GB檢驗。對于模型（7-24）如果要檢驗隨機誤差項是否存在p階序列相關(guān)：（7-25）那么檢驗如下受約束回歸方程就是拉格朗日乘子檢驗：（7-26）約束條件為（7-27）

如果約束條件為真，則LM統(tǒng)計量服從大樣本下自由度為p的漸近分布：（7-28）其中np和分別為如下輔助回歸方程的樣本容量和可決系數(shù)：（7-29）(7-29)中的被解釋變量是對原模型（7-24）進行OLS回歸后得到的殘差。

p值即滯后的長度無法預(yù)先給定，因此實踐操作中可從1階、2階…逐次相更高階檢驗，并用輔助回歸方程（7-29）式中各個殘差項前面的參數(shù)的顯著性來幫助判斷序列相關(guān)的階數(shù)。LM檢驗的一個缺陷給定顯著性水平α，查自由度為p的分布的相應(yīng)臨界值，如果計算的LM統(tǒng)計量的值超過該臨界值，則拒絕約束條件為真的原假設(shè)，表明存在隨機誤差項存在直到p階的序列相關(guān)性。例7-2假定用32個樣本做Y對X(包含截距)的回歸而這樣的數(shù)值對應(yīng)的概率p為0.0003，這是一個很低的概率。

因此我們可以拒絕輔助回歸方程中原始回歸殘差序列的全部1到5階滯后序列系數(shù)均為零的假設(shè)，至少有一個滯后殘差序列的系數(shù)不為零。這表明原始回歸的殘差中至少存在1到5階中的某一滯后的自相關(guān)，當然要確定到底是幾階序列相關(guān)還必須進一步進行4階、3階…等不同階數(shù)的拉格朗日乘子檢驗。如果我們懷疑回歸殘差序列有5階滯后相關(guān)，那么輔助回歸方程中我們可以用殘差對X以及殘差序列的1到5階滯后序列進行回歸，假定從輔助回歸方程中回歸得到的擬合優(yōu)度R2為0.8860。

由于原始回歸中有32個樣本，而輔助回歸中用了5個滯后值，這樣輔助等于(32-5)×0.886即等于23.382。

回歸方程中僅有27個樣本，因此第四節(jié)序列相關(guān)的補救由于序列相關(guān)出現(xiàn)時OLS估計量是非有效的，因此如果回歸模型被證明存在序列相關(guān)性，則應(yīng)該發(fā)展新的方法來估計模型。類似于處理異方差的情況，在大樣本下我們也可以用與自相關(guān)相一致的OLS回歸殘差的方差協(xié)方差矩陣來處理隨機誤差項的自相關(guān)情況，這樣OLS估計也仍然是有效的，只是我們需要報告相應(yīng)的自相關(guān)穩(wěn)健標準差和相應(yīng)的統(tǒng)計量，其處理方法完全類似于異方差穩(wěn)健推斷，這里我們不再對自相關(guān)穩(wěn)健推斷詳細論述，我們詳細介紹一般情況下處理序列相關(guān)最常用的廣義最小二乘法（GLS）和廣義差分法。一、廣義最小二乘法定義:最具有普遍意義的最小二乘法.普通最小二乘法和加權(quán)最小二乘法是它的特例。

一般情況下，對于模型（7-30）如果存在序列相關(guān)性，同時存在異方差，即有顯然，是一對稱矩陣，因此存在一可逆矩陣，使得用左乘（7-30）式兩邊，得到一個新的模型（7-31）即該模型具有同方差性和隨機干擾項相互獨立性。因為則這就是原模型（7-30）式的廣義最小二乘估計量，它是無偏有效的估計量。于是，可以用普通最小二乘法估計模型（7-31）式，記參數(shù)估計量為，由上面的推導(dǎo)過程可知，只要知道隨機干擾項的方差-協(xié)方差矩陣，就可以采用廣義最小二乘法得到參數(shù)的最佳線性無偏估計量。然而若只有n個樣本點，要對包括各個在內(nèi)的進行估計是困難的，在實踐操作中，往往通過廣義差分法來實現(xiàn)廣義最小二乘估計。+k+1個未知參數(shù)二、廣義差分法廣義差分法需要對隨機干擾項自相關(guān)系數(shù)事先給出必要的假設(shè)，可區(qū)分為兩種情形：自相關(guān)系數(shù)已知和未知。1）自相關(guān)系數(shù)已知時由于干擾項是不可觀測的，關(guān)于序列相關(guān)的性質(zhì)往往是一種猜測遵循形如(7-4)式那樣的一階自回歸方式，或?qū)嶋H體驗。實踐中，常假定（7-32）即：（7-32）式中自回歸系數(shù)和隨機干擾項滿足(7-4)的假定。若假定(7-32)是為已知時，序列相關(guān)問題就可以圓滿解決。

真實的，當自相關(guān)系數(shù)為說明這一點，考慮以下多元回歸模型為例：（7-33）如果（7-33）在時刻t成立，則在時刻t-1也成立，因此有：（7-34）用乘（7-34）兩邊，得到：（7-35）（7-37）其中，由于滿足全部OLS假定，故可以直接對方程（7-37）進行OLS回歸得到具有BLUE性質(zhì)的估計量。將（7-36）式簡寫為用（7-33）減去（7-35）得到（7-36）更一般地如果多元回歸模型（7-38）中的隨機干擾項存在p階序列相關(guān)：（7-39）那么可以將原模型（7-38）式變換為（7-40）（7-40）式即為多元回歸形式的廣義差分模型，該模型不存在序列相關(guān)性。采用OLS法估計該模型得到的參數(shù)估計量即為原模型參數(shù)的無偏有效估計量，這樣處理序列相關(guān)的方法就是廣義差分法。廣義差分法就是前面我們討論過的廣義最小二乘法（GLS），但應(yīng)注意滯后的觀測值被排除了。為看清這一點，我們?nèi)匀豢紤]前面的一階序列相關(guān)的情況我們用矩陣形式把上述估計過程重寫一遍。對于一階序列相關(guān)的隨機誤差項我們可以證明該隨機干擾項的方差和協(xié)方差分別為用矩陣表示為根據(jù)線性代數(shù)易知從而有用左乘矩陣形式的多元回歸模型

,得到（7-41）然后展開（7-41）式中所有矩陣乘積，去掉展開式的第一行就得到（7-36）一樣的結(jié)果。（7-41）類似地對具有p階序列相關(guān)的多元回歸模型的廣義差分法估計也等同于廣義最小二乘估計，但我們損失了前面p個樣本觀測值，這一點可以從廣義差分模型（7-40）式看出來。在樣本規(guī)模較大而誤差序列相關(guān)階數(shù)較小時，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計結(jié)果很接近。但在小樣本或誤差呈現(xiàn)較大的高階序列相關(guān)時，觀測值的損失可能會對估計結(jié)果有影響。因此在廣義差分變換中，有時需彌補這一損失。這樣廣義差分法的估計結(jié)果就完全等同于廣義最小二乘估計量。例如，在一階序列相關(guān)情況下，對損失的第一次觀測值可進行如下的

普萊斯-溫斯特（Prais-Winsten）變換：2）自相關(guān)系數(shù)未知時的處理盡管廣義差分回歸直接明了，但通常情況下我們并不知道總體模型中隨機干擾項的真實自回歸系數(shù)ρ是多少，故廣義差分法一般難以實現(xiàn)。（1）一次差分法（2）根據(jù)D.W.統(tǒng)計量來估計ρ（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法（4）杜賓兩步法因此我們需要另想辦法來處理序列相關(guān)問題，我們介紹幾種常用的方法。（1）一次差分法因為自回歸系數(shù)ρ介于（-1，1）之間，我們考慮極端的序列相關(guān)情況，即完全的正相關(guān)或負相關(guān)，此時ρ等于1或1?？紤]簡單的一元回歸模型：（7-42）假定該模型中隨機干擾項為完全一階正相關(guān)，即有（7-43）對（7-42）進行一次差分得到即（7-44）（7-44）的差分回歸方程沒有截距，隨機干擾項沒有序列自相關(guān)，因此可以

對它采取過原點OLS回歸得到的BLUE估計量，注意此時原模型中的截距就不能估計出來了。

如果原模型為包含時間趨勢的模型：（7-45）那么對它進行一次差分后得到（7-46）該差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味著在原模型中存在一線性時間趨勢項，而且一次差分模型中的截距就是原模型中時間趨勢項的系數(shù)。如果是正的話，這表明原模型中Y除了受X的影響外還有一上升的趨勢。如果原模型中隨機干擾項是完全一階負相關(guān)的，那么一次差分處理的方法就是相反了。思考:析:要注意它是以假定ρ=1為前提的，如果隨機干擾項不是完全一階正相關(guān)，就不能進行這樣的一次差分變換。怎樣知道假定ρ=1是否合理呢？？用貝倫布魯特-韋布（Belenblutt-Webbtest）統(tǒng)計量來檢驗。對進行為檢驗假設(shè)ρ=1，貝倫布魯特—韋布推出如下g檢驗統(tǒng)計量：各個解釋變量X的一階差分OLS回歸得到的殘差（注意無截距項）。

其中是原始模型的OLS殘差，而是被解釋變量Y的一階差分例7-3假定用32個樣本做Y對X的OLS回歸得到的殘差平方和RSS1=204.2934，再做△Y對△X的OLS回歸（注意在此回歸中沒有截距）得到殘差平方和RSS2=28.1938。g=28.1938/204.2934=0.1377查D.W.分布表發(fā)現(xiàn)5%的顯著性水平下31個樣本和1個解釋變量的D.W.值下界為1.363，上界為1.496。因此這樣計算的g的數(shù)值小于D.W.統(tǒng)計量的下界，我們不能拒絕基于這一結(jié)果，對原模型進行一次差分后再用OLS估計是合理的。=1的原假設(shè)。（2）根據(jù)D.W.統(tǒng)計量來估計ρ根據(jù)該式我們可以得到的計算表達式：（7-48）這是從所估計的D.W.統(tǒng)計量獲得ρ的一個估計值的簡易方法。回想我們前面的D.W.統(tǒng)計量（7-48）由（7-48）可見，僅當d等于或接近于0時，一次差分法中假定才是對的此外當d=2時，d=4時，因此D.W.統(tǒng)計量為我們提供了一個估計的現(xiàn)成方法。

但要注意的是，（7-48）僅提供了一個估計的近似式，在小樣本下未必可靠，僅在大樣本下才具有最優(yōu)性質(zhì)。一旦從（7-48）估計出，我們就可以對原模型進行廣義差分變換，然后對廣義差分后的模型進行OLS估計。

同樣需要注意的是，由于廣義差分法中用的是真實的，而我們是用來代替真實的，因此就會出現(xiàn)一個問題：

估計的這樣估計的回歸系數(shù)是否有經(jīng)典回歸模型中所說的最優(yōu)性質(zhì)呢？當用一個估計的量去代替真值時，OLS估計得到的回歸系數(shù)僅是漸近有效的，就是說僅在大樣本情況下才是最優(yōu)的，而且通常的假設(shè)檢驗統(tǒng)計量也僅是漸近有效的。一個一般性的原則：（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法利用估計的殘差去獲得關(guān)于未知的的信息。

考慮一元回歸模型：（7-49）假定隨機干擾項為一階自相關(guān)，即（7-50）

按如下步驟來估計自回歸系數(shù)（7-51）

3.用（7-51）回歸得到的，對（7-49）做廣義差分方程：（7-52）對此式進行OLS回歸即可得到和的估計值，然后注意到就可以得到原模型（7-49）中系數(shù)的估計值。2．利用回歸殘差做如下OLS回歸：

1．對（7-49）進行OLS回歸得到回歸殘差。5.現(xiàn)在估計回歸方程：（7-53）的第二次估計值。這樣得到按如下步驟來估計自回歸系數(shù)如果的第二次估計值仍然不能夠令人滿意，我們可以進行第四次……估計，一直到的估計值達到令人滿意的精度為止。

的第三次、4.將第三步得到的的估計值重新代入原模型（7-49）并計算得到新的殘差（4）杜賓兩步法以上面的一元回歸模型為例（7-54)把廣義差分方程改寫為：以下兩步程序來估計：1．對（7-54）進行OLS回歸，并把對的回歸系數(shù)的估計值看作對的一個估計。雖然這個估計值有偏誤，但它卻是的一個一致估計。2．求得后，把它代入差分方程（7-52），即代入下面的方程該方程改寫為（7-55）

對（7-55）進行OLS回歸得到參數(shù)的估計值。由此可見，杜賓兩步法的第一步是要得到的一個估計值，第二步是要得到回歸的參數(shù)值。還有一些其他的估計的方法，這里不再一一介紹。其他方法的基本上都是兩步法：的一個估計值；第一步，我們獲得未知的第二步，用這個估計值對變量做變換，以估計廣義差分方程，這基本上就是GLS。因此這些方法在文獻中而不是真實的，但因為我們使用的是估計值都稱為可行的（feasible）或估計的廣義最小二乘法（estimatedgeneralizedleast-squares,簡稱EGLS）。第五節(jié)案例分析

根據(jù)宏觀經(jīng)濟理論，產(chǎn)出是資本和勞動投入的函數(shù)，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（7-56）其中，Y為產(chǎn)出，K為資本，N為就業(yè)人數(shù)，t是時間，、、為參數(shù)。通常認為生產(chǎn)函數(shù)具有規(guī)模報酬不變的性質(zhì)，這意味著和之和應(yīng)該近似等于1。為了估計資本和勞動投入對產(chǎn)出的貢獻，我們估計如下對數(shù)形式的生產(chǎn)函數(shù)回歸模型：（7-57）表7-1給出了中國1978-2010年的實際GDP、資本存量和勞動就業(yè)的數(shù)據(jù)。表7-1實際GDP、資本存量和勞動就業(yè)的數(shù)據(jù)一、OLS回歸與序列相關(guān)性檢驗

表7-2模型（7-57）的OLS回歸結(jié)果相應(yīng)的回歸方程為（7-58）

（15.7694）

（7.2874）

（10.3092）

由回歸方程（7-58）可以看出，在0.05的顯著性水平上，資本和勞動的產(chǎn)出彈性都是顯著的。由于該回歸方程沒有截距項，因此不能用DW統(tǒng)計量檢驗隨機誤差項是否存在序列相關(guān)，需要用其他方法來檢驗序列相關(guān)性。

可以通過觀察OLS回歸殘差圖形來初步檢驗回歸模型（7-57）隨機誤差項的序列相關(guān)情況。圖7-2給出了OLS回歸殘差序列的時間路徑圖和相鄰兩個殘差的散點圖。

圖7-2回歸殘差的路徑圖和相鄰殘差散點圖進一步對模型（7-57）隨機誤差項進行序列相關(guān)LM檢驗。表7-3模型（7-57）的一階序列相關(guān)LM檢驗Eivews輸出結(jié)果相應(yīng)地，模型（7-57）的隨機誤差一階序列相關(guān)LM檢驗的輔助回歸方程為（7-59） （0.2919）（-0.3108）（0.3115）

（6.6645）LM=19.96

nR2=33*0.604986=19.96

由于LM統(tǒng)計量服從自由度為p的漸近分布，在給定顯著性水平為0.05時，查自由度為p=1的分布表得到臨界值，因此LM=19.35>3.8425，故拒絕模型（7-57）OLS回歸殘差項沒有一階序列相關(guān)的原假設(shè)。此外滯后1階殘差項的回歸系數(shù)在統(tǒng)計上是顯著的，因此可以判斷模型（7-57）隨機誤差項存在一階序列相關(guān)性。輔助回歸方程(7-59)的拉格朗日乘子LM=(33-1)*0.6049=19.35再對回歸模型(7-57)進行二階和三階序列相關(guān)LM