第九章邊界層理論基礎

第九章邊界層理論基礎主要內容邊界層的概念及理論平板層流邊界層的計算邊界層分離原理圓柱繞流與卡曼渦階1

在20世紀初之前，流體力學的研究分為兩個分支：一是研究流體運動時不考慮黏性，運用數(shù)學工具分析流體的運動規(guī)律。另一個是不用數(shù)學理論而完全建立在實驗基礎上對流體運動進行研究，解決了技術發(fā)展中許多重要問題，但其結果常受實驗條件限制。這兩個分支的研究方法完全不同，這種理論和實驗分離的現(xiàn)象持續(xù)了150多年，直到20世紀初普朗特提出了邊界層理論為止。由于邊界層理論具有廣泛的理論和實用意義，因此得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體動力學的一個重要領域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法。2

1904年，在德國舉行的第三屆國際數(shù)學家學會上，德國著名的力學家普朗特第一次提出了邊界層的概念。

他認為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動時，黏性對流動的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計，這一薄層稱為邊界層。

普朗特的這一理論，在流體力學的發(fā)展史上有劃時代的意義。

第一節(jié)邊界層的基本概念3

路德維奇.普朗特（LudwigPrandtl）

1875年2月4日出生于德國的弗萊辛

1953年8月15日卒于哥廷根現(xiàn)代力學的奠基人之一，他創(chuàng)立了邊界層理論、薄翼理論、升力線理論，研究了超聲速流動，提出普朗特－葛勞渥法則，并與他的學生梅耶一起研究了膨脹波現(xiàn)象（普朗特－梅耶流動），并首次提出超聲速噴管設計方法。普朗特的開創(chuàng)性工作，將19世紀末期的水力學和水動力學研究統(tǒng)一起來，被稱為“現(xiàn)代流體力學之父”。除了在流體力學中的研究工作，還培養(yǎng)了很多著名科學家，其中包括馮.卡門、梅耶等著名流體力學家，對我國流體力學研究做出奠基工作的陸士嘉教授也曾是普朗特的學生。4圖示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動，根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場劃分為三個區(qū)域，即邊界層、外部勢流和尾渦區(qū)。

III外部勢流

II尾部流區(qū)域

I邊界層

邊界層外邊界

邊界層外邊界

5yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界邊界層厚度：將流體速度從u=0到u=0.99u0對應的流體層厚度，用δ表示。注意：邊界層的外邊界是人為劃定的，不是流線！邊界層分為層流邊界層、過渡區(qū)和湍流邊界層。對平板的邊界層，層流轉變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為

播放動畫6邊界層的基本特征與物體的特征長度相比，邊界層的厚度很小。邊界層內沿厚度方向，存在很大的速度梯度。邊界層厚度沿流體流動方向是增加的，由于邊界層內流體質點受到黏性力的作用，流動速度降低，所以要達到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。由于邊界層很薄，可以近似認為邊界層中各截面上的壓強等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強值。在邊界層內，黏性力與慣性力同一數(shù)量級。邊界層內的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。

7第二節(jié)平板邊界層流動一、普朗特層流邊界層方程

普朗特邊界層方程是在N-S方程基礎上簡化得來。坐標系如圖所示，邊界層內可忽略質量力，于是得到N-S方程和連續(xù)方程：yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界8對方程中各項數(shù)量級的大小進行分析后可進一步化簡。數(shù)量級比較理論：設x方向流速的數(shù)量級為1，x方向距離的數(shù)量級也為1。由于邊界層厚度δ遠遠小于平板長度，y的數(shù)值限制在邊界層內，故y的數(shù)量級與x的數(shù)量級相比是一個小量，用ε表示這個小量的數(shù)量級，ε<<1。邊界層內y方向的速度比x方向的速度小得多。911εε

x~1，y~ε，u~1，v~ε10111ε1εε2（）1ε211ε1εε2εε1ε1（）普朗特邊界層方程邊界條件

x~1，y~ε，u~1，v~ε11

普朗特的學生布拉修斯于1908年將普朗特邊界層方程應用于半無限長平板層流邊界層精確解，得到：即為邊界層厚度沿x方向發(fā)展變化的規(guī)律。yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)邊界層外邊界12例題

常壓下，溫度為30℃的空氣以10m/s的流速流過一光滑平板表面，設臨界雷諾數(shù)Rexc=3.2×105。試判斷平板前緣0.4m及0.8m兩處的邊界層是層流邊界層還是湍流邊界層？并求出層流邊界層相應點處的邊界層厚度。已知：30℃時，ρ=1.165kg/m3

μ=1.86×10-5Pa·s13解：（1）所以，據(jù)平板前緣0.4m處的邊界層為層流邊界層，（2）所以，據(jù)平板前緣0.8m處的邊界層為湍流邊界層。14課堂練習常壓下，溫度為20℃的空氣以6m/s的流速流過平板表面，試計算臨界點處的邊界層厚度。設Rexc=5×105。已知：ρair=1.205kg/m3

μair=1.81×10-5

Pa·s答案：xc=1.252m，δ=0.00879m。15第三節(jié)邊界層分離邊界層分離現(xiàn)象：實際流體流過彎曲壁面時，經(jīng)常從某一點開始邊界層脫離壁面，并產(chǎn)生漩渦，這種現(xiàn)象也叫脫體現(xiàn)象。

工程上常用無量綱的壓強系數(shù)表示物體表面上任一點的壓強，對圓柱體有ACDB16umaxδMSxu

M點后壓強增加，流體微團受到的壓差力是與流動方向相反的阻力，稱為逆壓梯度，逆壓梯度是邊界層分離的根本原因。p實際pmin分離點S應滿足的條件：播放動畫17物體在流體中運動（繞流）的阻力

物體在流體中的運動受到的阻力包括摩擦阻力和壓差阻力。δMSxup實際pmin18思考題1.汽車高速行駛時所受到的阻力主要來自于：

(a)汽車表面的摩擦阻力(b)地面的摩擦阻力

(c)空氣對頭部的碰撞(d)尾部的漩渦2.邊界層內的流動特點之一是：

(a)粘性力比慣性力重要(b)粘性力與慣性力量級相等

(c)壓強變化可忽略(d)流動速度比外部勢流小3.邊界層的流動分離發(fā)生在：

(a)物體后部(b)零壓梯度區(qū)

(c)逆壓梯度區(qū)(d)后駐點19銳緣效應在自然界或在工程問題中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，流體繞過任何物體的尖緣時，總要出現(xiàn)分離，如圖所示。試解釋之。20

大量試驗表明，在不同雷諾數(shù)下，圓柱繞流現(xiàn)象有較大差異（具體內容請自學）。卡門渦列：在80~90<Re<150~300條件下，其特點是在背風面旋渦交替脫落（脫離物面），形成兩排向下運動的渦列，稱為卡門渦列。物體阻力以壓差阻力為主?？ㄩT渦列動畫1

221西奧多·馮·卡門（1881年—1963年）美籍匈牙利猶太人，是20世紀最偉大的美國工程學家，開創(chuàng)了數(shù)學和基礎科學在航空和航天和其他技術領域的應用，被譽為“航空航天時代的科學奇才”。我國著名科學家錢偉長、錢學森、郭永懷都是他的親傳弟子。

鑒于馮·卡