第3章綜合指標

統(tǒng)計學原理

第三章

綜合指標

綜合指標從它的作用和方法特點的角度可概括為三類：

絕對指標相對指標平均指標概念：

一、總量指標的概念和作用

總量指標是反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象一定時間、地點、條件下總的規(guī)模、水平的統(tǒng)計指標?？偭恐笜艘话惚硎粳F(xiàn)象總量，其表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，是一個有名數(shù)?？偭恐笜艘部杀憩F(xiàn)為總量之間的絕對差數(shù)，如增加量、減少量等。

第一節(jié)總量指標(絕對指標)作用:總量指標能反映一個國家的基本國情和

國力，反映某部門、單位等人、財、

物的基本數(shù)據(jù)?？偭恐笜耸沁M行決策和科學管理的依據(jù)之一?？偭恐笜耸怯嬎阆鄬χ笜撕推骄笜说幕A(chǔ)，這兩個指標是總量指標的派生

指標。按其反映的內(nèi)容不同可分為：總體單位總量——說明總體的單位數(shù)數(shù)量。

標志總量——說明總體中某個標志值總和的量。二、總量指標的分類

例按其反映的時間狀況不同可分為：時期指標——反映現(xiàn)象在某一時期發(fā)展過程的總數(shù)量。(可連續(xù)計數(shù)，與時間長短有關(guān)，是累計結(jié)果)時點指標——反映現(xiàn)象在某一時刻的狀況。(間斷計數(shù)，與時間間隔無關(guān)，不能累計)計算原則：

3.計量單位必須一致。

2.明確的統(tǒng)計含義。

1.現(xiàn)象的同類性。

三、總量指標的計算

根據(jù)總量指標所反映的社會經(jīng)濟現(xiàn)象性質(zhì)不同，計量單位分三種形式：

(1)

實物單位a.自然單位：輛、雙、頭、根、個……b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……c.雙重單位：公里/小時、人/平方公里……d.復(fù)合單位：噸公里、公斤米、千瓦小時……

對有些性質(zhì)相同但規(guī)格或含量不同的產(chǎn)品總量的計算，要按折合標準實物量的方法計算。(2)

價值單位(貨幣單位)

貨幣單位有現(xiàn)行價格和不變價格之分。(3)勞動單位

工時——工人數(shù)和勞動時數(shù)的乘積；臺時——設(shè)備臺數(shù)和開動時數(shù)的乘積。

例第二節(jié)相對指標

是兩個有聯(lián)系的絕對指標之比。

1979—2000年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值平均每年增長9.5%例一、相對指標的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分攤的糧食產(chǎn)量：千克/人

系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1；

成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100；

千分數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1000。

相對指標的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)，分以下幾種:

有名數(shù)(一)計劃完成相對指標

二、相對指標的種類及其計算1.計算公式(1)根據(jù)絕對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

計算結(jié)果表明該廠超額10%完成總產(chǎn)值計劃。

設(shè)某工廠某年計劃工業(yè)總產(chǎn)值為200萬元，實際完成220萬元，則：

(2)根據(jù)平均數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某化肥廠某年每噸化肥計劃成本為200元，實際成本為180元，則：實際單位成本-計劃單位成本=180-200=-20(元)計算結(jié)果表明該廠化肥單位成本實際比計劃降低了10%，平均每噸化肥節(jié)約生產(chǎn)費用20元。例(3)根據(jù)相對數(shù)來計算計劃完成相對數(shù)

某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，上年度實際成本為420元/噸，本年度計劃單位成本降低6%，實際降低7.6%，則：∴

比計劃多完成1.71%；本題也可換算成絕對數(shù)計算：計劃-6%～394.8元/噸[(1-6%)×420]實際–7.6%～388.08元/噸[(1-7.6%)×420]

∴例

某企業(yè)計劃規(guī)定勞動生產(chǎn)率比上年提高10%，實際比上年提高15%，則：

∴勞動生產(chǎn)率超額4.5%完成計劃任務(wù)。

例以五年計劃來說明這個問題。2.長期計劃的檢查某產(chǎn)品第4年、第5年完成情況單位：萬噸某產(chǎn)品計劃規(guī)定第5年產(chǎn)量56萬噸，實際第5年產(chǎn)量63萬噸，5年計劃完成程度如何？提前多少時間完成了計劃？

(1)水平法

計算公式為：某5年計劃的基建投資總額為2200億元，5年內(nèi)實際累計完成2240億元，那么5年計劃完成程度如何？（2）累計法

計算公式為：

=2240/2200×100%=101.8%假定2001-2005年間基建投資總額計劃為2200億元，實際至2005年6月底止累計實際投資額已達2200億元，則提前半年完成計劃。（2）累計法

計算公式為：

某公司的三個分公司計劃完成情況(二)

結(jié)構(gòu)相對指標

計算公式為：

2003年中國企業(yè)500強營業(yè)收入總額6.9萬億元,占國內(nèi)生產(chǎn)總值68％。例(三)比例相對指標

計算公式為：

常用的比例形式有兩種：

2.首先將總體全部數(shù)值抽象化為100，求得各部分數(shù)值在總體中所占百分數(shù)，然后將各部分的百分數(shù)連比得比例相對數(shù)。

1.將作為比較基礎(chǔ)的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。我國2000年第五次人口普查結(jié)果，男女性別比例為106.74:100，這說明以女性為100，男性人口是女性人口數(shù)的106.74倍。簡稱性比例106.74。

例2002年我國GDP抽象化為100，第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)的比例為：14.5︰51.8︰33.7。例(四)比較相對指標(類比相對指標)

計算公式為：

計算比較相對數(shù)時，作為比較基數(shù)的分母可取不同的對象，一般有兩種情況：

①

比較標準是一般對象，如：這時，分子與分母的位置可以互換。

②

比較標準(基數(shù))典型化，如：

把企業(yè)的各項技術(shù)經(jīng)濟指標都和國家規(guī)定的質(zhì)量水平比較，和同類企業(yè)的先進水平比較，和國外先進水平比較等，這時，分子與分母的位置不能互換。(五)強度相對指標

計算公式為：

①一般用復(fù)名數(shù)表示；

②也有少數(shù)用百分數(shù)或千分數(shù)表示。

1.強度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方法：用百分數(shù)表示說明平均每百元銷售額負擔多少流通費。產(chǎn)值利潤率、資金利潤率一般用千分數(shù)表示。

例

正指標的數(shù)值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈大，它是從正方向說明現(xiàn)象的密度；逆指標的數(shù)

值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈小，它是從相反

方向說明現(xiàn)象的密度。

某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機構(gòu)5000個，則：例2.有些強度相對數(shù)有正、逆兩種計算方法：(六)動態(tài)相對指標

計算公式為：

基期——作為對比標準的時間報告期——同基期比較的時期，也稱計算期

2.相對指標要和總量指標結(jié)合起來運用。

1.注意二個對比指標的可比性。三、正確運用相對指標的原則

統(tǒng)計我國歷年鋼產(chǎn)量發(fā)展對比情況：

表中：增長量=報告期水平-基期水平我國歷年鋼產(chǎn)量發(fā)展情況例4.在比較二個相對數(shù)時，是否適宜相除再求一個相對數(shù)，應(yīng)視情況而定。若除出來有實際意義，則除；若

不宜相除，只宜相減求差數(shù)，用百分點表示之。(百分點——即百分比中相當于百分之一的單位)

3.多種相對數(shù)結(jié)合運用第三節(jié)平均指標

2.特點-數(shù)量抽象性-集中趨勢代表性1.概念

平均指標是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

第三節(jié)平均指標

-比較作用

a.利用平均指標可以進行同類現(xiàn)象在不同空間的對比。b.利用平均指標可以進行同一總體在不同時間上的比較。

-利用平均指標可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系-利用平均指標還可以進行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標準或參考3.作用

4.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式二、算術(shù)平均數(shù)

式中：——算術(shù)平均數(shù)X——各單位的標志值n——總體單位數(shù)——總和符號2.簡單算術(shù)平均數(shù)例如，某生產(chǎn)小組有5名工人，生產(chǎn)某種零件，日產(chǎn)量（件）分別為12、13、14、14、15，則平均每個工人日產(chǎn)零件數(shù)為：（12+13+14+14+15）/5=13.6（件）式中：——算術(shù)平均數(shù)X——各組數(shù)值f——各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)某商場20名服裝營業(yè)員某月銷售量分組資料這20名服裝營業(yè)員的平均月銷售量為：設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)f(人)f/∑f

60以下

100.0660–70

190.1270–80

500.3080–90

360.22

90–100

270.16100–110

140.09110以上

80.05合計

1641.00例設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf

60以下

55

10

55060–70

65

19

123570–80

75

50

375080–90

85

36

3060

90–100

95

27

2565100–110105

14

1470110以上115

8

920合計-

164

13550例在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因數(shù)的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。次數(shù)大的標志值對影響大；

反之，影響小。而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：△算術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使的代表性也不很可靠。調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

其計算方法如下：在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標志值總量。已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售量資料如下：市場平均價格(元)X銷售量(千克)f甲2.0030000乙2.5020000丙2.4025000合計-75000例銷售額（元）600005000060000170000已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場平均價格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價格(元)(即銷售量)

甲2.006000030000乙2.505000020000丙2.406000025000合計-170000750001.由平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例某公司有四個工廠，已知其計劃完成程度(%)及實際產(chǎn)值資料如下：工廠計劃完成程度(%)X實際產(chǎn)值(萬元)m=Xf實際產(chǎn)值÷計劃完成程度(%)(即計劃產(chǎn)值)(萬元)

甲

90

90

100乙100

200

200丙110

330

300丁120

480

400合計-1,1001,0002.由相對數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標志值等于零，則無法計算；它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標志值的影響；但較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小，適用范圍較小。1.簡單幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)2.加權(quán)幾何平均數(shù)投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。本利率(%)X年數(shù)f本利率的對數(shù)lgXf·lgX103

12.0128

2.0128105

42.0212

8.0848108

82.033416.2672110102.041420.4140115

22.0607

4.1214合計25-50.9002例這就是說，25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%?！鲙缀纹骄鶖?shù)的特點如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標志值是各單位標志值的連乘積。由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個標志值就是眾數(shù)。五、眾數(shù)M0M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，

計算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00

202.40

603.001404.00

80合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)例2.眾數(shù)的計算方法②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵

利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴

由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)

60以下10

60-7019

70-8050

80-9036

90-10027100-11014110以上

8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計算眾數(shù)的近似值：計算GEFDCABfXf3f2f1dXLXUM0Δ1Δ2眾數(shù)的兩個計算公式可以從幾何圖形得到證明：△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標，當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計算方法1.概念：將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)。六、中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)。例)(262633215213029262320件件產(chǎn)品為中位數(shù)：位工人日產(chǎn)即，第中位數(shù)位置，，，，件數(shù)，按序排列如下：有五個工人生產(chǎn)某產(chǎn)品==+=+=eMn⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標志值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。)(5.27229265.321621323029262320件至第四人的平均數(shù)：這表明中位數(shù)是第三、中位數(shù)位置，，，，，序排列如下：人生產(chǎn)某產(chǎn)品件數(shù)，按上例中，假如有六個工=+==+=+=eMn②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計較大制累計26

3

3803110137732142767342754533618722641

880

8合計80--例)(34402802件即中位數(shù)位置====?eMf③由組距數(shù)列確定中位數(shù)按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)較小制累計較大制累計

50–60

10

10164

60–70

19

29154

70–80

50

79135

80–90

36115

85

90–100

27142

49

100-110

14156

22

110以上

8164

8合計164--組距內(nèi)。即中位數(shù)在中位數(shù)位置90808221642-===?f①中位數(shù)也是一種位置平均數(shù)，它也不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可以用中位數(shù)求其一般水平。3.中位數(shù)的特點（一）三者的關(guān)系表示為：七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系例f如圖：(二）三者的關(guān)系1.當總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一,如圖：fX2.

當總體分布呈非對稱狀態(tài)時如圖：fX所以1.平均指標只能適用于同質(zhì)總體。2.用組平均數(shù)補充說明總平均數(shù)。八、平均指標的運用原則某生產(chǎn)小組基期有工人15人，報告期人數(shù)增加到30人，兩時期各技術(shù)等級的工人數(shù)和工資總額如下：級別基期報告期工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)工人數(shù)(人)比重(%)工資總額(元)平均工資(元)二級工

2

13.3

1000

50016

53.3

9600

600四級工

8

53.3

7200

90010

33.3100001000七級工

5

33.4

75001500

4

13.4

68001700合計15100.015700104730100.026400

880例某工業(yè)部門100個企業(yè)年度利潤計劃完成程度資料如下：按計劃完成程度分組(%)企業(yè)數(shù)

85-89.9

2

90-94.9

8

95-99.9

10100-104.9

40105-109.9

30110-114.9

10合計100經(jīng)計算，100個企業(yè)年度平均利潤計劃完成程度為103.35％。3.用分配數(shù)列補充說明平均數(shù)例①標志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。第四節(jié)標志變動度2.作用：1.概念：標志變動度是指總體中各單位標志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標志變動度的意義、作用和種類

甲、乙兩學生某次考試成績列表語文數(shù)學物理化學政治英語甲

959065707585乙1107095508075甲、乙兩學生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例②標志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。

供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標志變動度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標準差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標準差 S.D.(σ)離散系數(shù) Vσ①優(yōu)點：計算方便，易于理解。②缺點：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標志的變異程度。1.全距是總體各單位標志值最大值和最小值之差,2.全距的特點二、全距R語文數(shù)學物理化學政治英語甲

959065707585乙1107095508075①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計算：1.概念：將總體各單位的標志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點(Q1、Q2、Q3)，這三個分割點稱為四分位數(shù)，(其中第二個四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.例歲。且他們之間最大差異為歲之間，至人的年齡集中在這表明，該小組有一半歲歲則的位置歲則的位置，，，，，，為：歲人年齡某外語補習小組92819)9(19-28Q-QQ.D.

)28(Q

,64)17(3Q

)19(Q

,2417Q

34

28

25

24

22

19

17)(7133311===\==+===+=Q②根據(jù)分組資料求Q.D.

2)若單項數(shù)列，則Q1與Q3所在組的標志值就是Q1與Q3的數(shù)值；

若組距數(shù)列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：根據(jù)某車間工人日產(chǎn)零件分組資料，求Q.D.按日產(chǎn)零件分組(件)工人數(shù)(人)累計工人數(shù)(人)(較小制)

5-10

12

1210-15

46

5815-20

36

9420-25

6100合計100-這表明有一半工人的日產(chǎn)量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。例①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標。3.四分位差的特點平均差是數(shù)列中各單位標志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計算：四、平均差A(yù).D.以某車間100個工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30

525

125-17

8530-40

35351225

-724540-50

45452025

313550-60

1555

825

13195合計100-4200-660例①平均差是根據(jù)全部標志值與平均數(shù)離差而計算出來的變異指標，能全面反映標志值的差異程度；②平均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的演算使其應(yīng)用受到限制。2.平均差的特點標準差是離差平方平均數(shù)的平方根，故又稱“均方差”。其意義與平均差基本相同。1.概念和計算：五、標準差S.D.(σ)計算σ的一般步驟：①算出每個變量值對平均數(shù)的離差；②將每個離差平方；③計算這些平方數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)；④把得到的數(shù)值開平方，即得到σ。

工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值X

50-60

10

55-27.62