2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4.2單位圓與周期性學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4．1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4．2單位圓與周期性學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義及其應(yīng)用.2。掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系。3。理解周期函數(shù)的定義．知識(shí)點(diǎn)一任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,在終邊上任取一點(diǎn)P,PM⊥x軸于M,設(shè)P（x，y）,｜OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分別等于什么？思考2對(duì)確定的銳角α,sinα，cosα的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變?思考3若取｜OP|＝1時(shí)，sinα，cosα的值怎樣表示？梳理（1)對(duì)于任意角α，使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u,v)，那么點(diǎn)P的____________定義為角α的正弦函數(shù),記作________;點(diǎn)P的____________定義為角α的余弦函數(shù)，記作________．（2）對(duì)于給定的角α,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的,所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二正弦、余弦函數(shù)的定義域思考對(duì)于任意角α，sinα,cosα都有意義嗎？梳理正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域函數(shù)名定義域正弦函數(shù)R余弦函數(shù)R知識(shí)點(diǎn)三正弦、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)思考根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎？梳理正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號(hào)象限三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋知識(shí)點(diǎn)四周期函數(shù)思考由sin(x＋2kπ）＝sinx(k∈Z)可知函數(shù)值隨著角的變化呈周期性變化,你能說一下函數(shù)的變化周期嗎？梳理一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在____________，對(duì)定義域內(nèi)的____________x值,都有____________，我們就把f(x）稱為周期函數(shù),____稱為這個(gè)函數(shù)的周期．特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2kπ（k∈Z，k≠0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期,其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中________的一個(gè),稱為____________，簡稱為周期．類型一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的應(yīng)用命題角度1已知角α終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值例1已知θ終邊上一點(diǎn)P（x，3）(x≠0)，且cosθ＝eq\f（\r(10),10）x，求sinθ的值．反思與感悟（1）已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．②在α的終邊上任選一點(diǎn)P（x，y），設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r〉0),則sinα＝eq\f（y，r），cosα＝eq\f（x，r）。當(dāng)已知α的終邊上一點(diǎn)求α的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便．(2）當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．跟蹤訓(xùn)練1已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3a,4a）(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．命題角度2已知角α終邊所在直線求三角函數(shù)值例2已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f（3，cosα)的值．反思與感悟在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時(shí)，應(yīng)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的(a,b)，則對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值分別為sinα＝eq\f（b,\r(a2＋b2)），cosα＝eq\f(a，\r(a2＋b2))。跟蹤訓(xùn)練2已知角α的終邊在直線y＝eq\r（3）x上，求sinα，cosα的值．類型二正弦、余弦函數(shù)值符號(hào)的判斷例3(1）若α是第二象限角,則點(diǎn)P(sinα，cosα)在（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（2）判斷下列各式的符號(hào)．①sin145°cos（－210°）;②sin3·cos4。反思與感悟準(zhǔn)確確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)是解決這類問題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3若三角形的兩內(nèi)角A，B，滿足sinAcosB＜0，則此三角形必為（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．以上三種情況都有可能類型三周期性例4（1)已知函數(shù)f（x）在其定義域上都滿足f（x＋2）＝－f(x)，求證：函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；(2）已知函數(shù)f(x)在其定義域上都滿足f（x＋2)＝－eq\f（1,fx），求證：函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．反思與感悟(1)證明函數(shù)是周期函數(shù)，只需根據(jù)定義:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意定義域內(nèi)實(shí)數(shù)x，都有f（x＋T)＝f（x）．(2）一般地，如果f(x＋a)＝－f（x），那么f(x）的周期為2a（a≠0）；如果f（x＋a）＝eq\f（1,fx)，那么f（x）的周期也為2a（a≠0）．跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)y＝f(x)（x∈R）滿足f（x)＝f（x－a）＋f（x＋a)（a<0)，f（2a)＝1,求f(14a）的值．1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（－4，3)，則cosα等于（）A.eq\f(4，5) B。eq\f(3，5)C．－eq\f(3，5) D．－eq\f（4,5）2．當(dāng)α為第二象限角時(shí)，eq\f(｜sinα|，sinα)－eq\f(cosα，｜c(diǎn)osα|）的值是(）A．1B．0C．2D．－23．設(shè)f(x)是以1為一個(gè)周期的函數(shù),且當(dāng)x∈（－1,0)時(shí)，f(x)＝2x＋1，則f(eq\f（7，2))的值為(）A．2B．0C．－1D．－34．點(diǎn)P(sin2016°，cos2016°)位于第________象限．5．已知角α的終邊在直線y＝2x上,求sinα＋cosα的值．1．三角函數(shù)的定義是以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān),與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn)．2．三角函數(shù)值的符號(hào)主要涉及開方、去絕對(duì)值等計(jì)算問題,同時(shí)也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值情況,因角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)決定了三角函數(shù)值的符號(hào),所以當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)注意進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想．3．正弦、余弦函數(shù)的周期性反映了終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)角的三角函數(shù)值．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1sinα＝eq\f（y,r），cosα＝eq\f（x,r）.思考2不會(huì)．思考3sinα＝y(tǒng),cosα＝x.梳理(1)縱坐標(biāo)vv＝sinα橫坐標(biāo)uu＝cosα知識(shí)點(diǎn)二思考由三角函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意角α，sinα，cosα都有意義．知識(shí)點(diǎn)三思考由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u，v），則sinα＝v，cosα＝u。當(dāng)α為第一象限角時(shí)，v〉0，u>0，故sinα〉0，cosα>0,同理可得α在其他象限時(shí)三角函數(shù)值的符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)四思考2π,4π，6π,－2π，…等都是函數(shù)的周期．梳理非零實(shí)數(shù)T任意一個(gè)f（x＋T）＝f（x)T最小最小正周期題型探究例1解由題意知r＝|OP｜＝eq\r（x2＋9），由三角函數(shù)定義得cosθ＝eq\f(x,r）＝eq\f（x,\r(x2＋9)）。又∵cosθ＝eq\f(\r（10)，10）x，∴eq\f(x,\r（x2＋9）)＝eq\f(\r(10)，10）x。∵x≠0，∴x＝±1。當(dāng)x＝1時(shí),P(1，3)，此時(shí)sinθ＝eq\f(3,\r（12＋32））＝eq\f（3\r（10),10).當(dāng)x＝－1時(shí)，P（－1,3），此時(shí)sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32)）＝eq\f（3\r（10）,10）.跟蹤訓(xùn)練1解r＝eq\r(－3a2＋4a2）＝5|a|。①若a〉0,則r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f（y,r）＝eq\f（4a,5a)＝eq\f(4,5），cosα＝eq\f（x,r）＝eq\f(－3a，5a）＝－eq\f（3,5），∴2sinα＋cosα＝eq\f(8,5）－eq\f(3，5）＝1。②若a〈0，則r＝－5a，角α在第四象限,sinα＝eq\f（4a,－5a）＝－eq\f(4，5），cosα＝eq\f(－3a，－5a)＝eq\f(3，5），∴2sinα＋cosα＝－eq\f（8,5)＋eq\f(3,5）＝－1.例2解由題意知,cosα≠0.設(shè)角α的終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)(k≠0)，則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r（10)|k｜。(1)當(dāng)k〉0時(shí)，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f（y,r)＝eq\f(－3k，\r（10）k)＝－eq\f（3\r(10)，10)，eq\f(1,cosα）＝eq\f(r，x）＝eq\f（\r（10）k，k）＝eq\r(10），∴10sinα＋eq\f(3,cosα）＝10×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3\r(10)，10）))＋3eq\r（10）＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10）＝0。(2）當(dāng)k〈0時(shí)，r＝－eq\r(10）k，α是第二象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f（－3k，－\r（10）k)＝eq\f（3\r（10），10），eq\f（1,cosα）＝eq\f(r，x）＝eq\f(－\r(10)k,k）＝－eq\r（10），∴10sinα＋eq\f（3,cosα)＝10×eq\f（3\r（10），10）＋3×（－eq\r(10））＝3eq\r(10)－3eq\r(10）＝0。綜上所述，10sinα＋eq\f(3，cosα）＝0.跟蹤訓(xùn)練2解因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝eq\r(3)x上，所以可設(shè)P（a，eq\r（3)a)（a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)，則r＝eq\r（a2＋\r(3）a2)＝2｜a｜（a≠0）．若a>0，則α為第一象限角,r＝2a，所以sinα＝eq\f(\r（3)a,2a)＝eq\f(\r（3),2)，cosα＝eq\f(a，2a)＝eq\f（1,2).若a〈0，則α為第三象限角,r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f（\r（3）,2）,cosα＝－eq\f（a，2a)＝－eq\f（1，2）.例3(1)D（2)解①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f（π,2)＜3＜π,π＜4＜eq\f（3π,2），eq\f(3π，2）＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，∴sin3·cos4〈0。跟蹤訓(xùn)練3B例4證明(1)∵f（x＋4）＝f[(x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝－［－f(x)］＝f（x），∴由周期函數(shù)定義知,函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．（2)∵f（x＋4)＝f［(x＋2）＋2］＝－eq\f(1，fx＋2)＝－eq\f(1，－\f(1,fx))＝f(x)，∴由周期函數(shù)定義知,函數(shù)f(x）是以4為周期的周期函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練4解由f（x）＝f(x－a)＋f（x＋a）,①得f（x＋a）＝f(x)＋f（x＋2a）．②①＋②,得f（x－a）＋f(x＋2a）＝0,即f（x－a）＝－f（x＋2a)，∴f(x)＝－f(x＋3a），即f（x＋3a）＝－f（x），∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a）＝f(x)．∴T＝6a為函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)周期，∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1。當(dāng)堂訓(xùn)練1．D2。C3。B4。三5．解在直線y＝2x上任取一點(diǎn)P（x,2x）（x≠0),則r＝eq\r（x2＋2x2）＝eq\r(5）|x｜.①若x>0，則r＝eq\r(5)x，從而sinα＝eq\f(2x,\r（5）x）＝eq\f（2\r(5），5)，cosα＝eq