2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)4.4單位圓的對稱性與誘導(dǎo)公式(一)學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE4.4單位圓的對稱性與誘導(dǎo)公式(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用。2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程。3。能運用有關(guān)的誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題．知識點2kπ±α，－α，π±α的誘導(dǎo)公式思考1設(shè)α為任意角,則2kπ＋α，π＋α，－α,2kπ－α,π－α的終邊與α的終邊有怎樣的對應(yīng)關(guān)系?思考22kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α,π－α終邊和單位圓的交點與α的終邊和單位圓的交點有怎樣的對稱關(guān)系?試據(jù)此分析角α與－α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系．梳理對任意角α，有下列關(guān)系式成立：sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα （1。8）sin(－α）＝－sinα,cos(－α)＝cosα (1。9)sin（2π－α）＝－sinα,cos(2π－α)＝cosα （1.10）sin（π－α)＝sinα，cos（π－α）＝－cosα (1。11)sin(π＋α）＝－sinα,cos(π＋α)＝－cosα (1。12）公式1.8～1。12叫作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式．這五組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“____________________________”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱________，符號則是將α看成________時原角所在象限的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號．類型一給角求值問題例1求下列各三角函數(shù)式的值．（1)cos210°；(2)sineq\f（11π，4)；（3)sin(－eq\f（43π,6）)；(4)cos(－1920°）．反思與感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2)“大化小”:用公式一將角化為0°到360°間的角．(3）“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角．(4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．跟蹤訓(xùn)練1求下列各三角函數(shù)式的值．（1)sin1320°；（2)coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(31π,6))）。類型二給值(式）求值問題例2（1)已知sin（π＋α)＝－0.3，則sin(2π－α)＝________.（2)已知cos（eq\f(π，6)－α）＝eq\f（\r（2）,2)，則cos(eq\f（5π，6）＋α)＝________.反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是抓住已知角與所求角之間的關(guān)系，從而靈活選擇誘導(dǎo)公式求解，一般可從兩角的和、差的關(guān)系入手分析，解題時注意整體思想的運用．跟蹤訓(xùn)練2已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋θ）)＝eq\f(\r（3)，3)，則coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5π,6)－θ))＝________。類型三利用誘導(dǎo)公式化簡例3化簡下列各式．(1）eq\f(sin－2π－αcos6π－α，cosα－πsin5π－α）；（2)eq\f（\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°）。引申探究若本例（1）改為：eq\f(sinnπ－αcosnπ－α,cos［α－n＋1π]·sin[n＋1π－α])（n∈Z），請化簡．反思與感悟利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，主要是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化,最終達(dá)到角的統(tǒng)一，能求值的要求出值．跟蹤訓(xùn)練3化簡:eq\f（cosπ＋α·sin2π＋α，sin－α－π·cos－π－α)。1．sin585°的值為（）A．－eq\f(\r(2）,2)B.eq\f(\r(2）,2)C．－eq\f(\r(3）,2）D。eq\f(\r（3）,2）2．cos(－eq\f(16π，3)）＋sin(－eq\f（16π，3））的值為（）A．－eq\f(1＋\r（3),2) B。eq\f(1－\r（3）,2）C。eq\f(\r(3)－1，2） D。eq\f（\r（3)＋1，2）3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（）A．cosα＝cosβ B．cosα＝－cosβC．sinα＝－sinβ D．sinα＝cosβ4．sin750°＝________.5．化簡:eq\f(cos180°＋αsinα＋360°,sin－α－180°cos－180°－α）。1．明確各誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式1.8將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值公式1.12將0～2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值公式1.9將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式1.11將角轉(zhuǎn)化為0~eq\f(π,2)之間的角求值2。誘導(dǎo)公式的記憶這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號看象限"．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數(shù)值的符號，α看成銳角,只是公式記憶的方便，實際上α可以是任意角．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考1它們的對應(yīng)關(guān)系如表:相關(guān)角終邊之間的對稱關(guān)系2kπ＋α與α終邊相同π＋α與α關(guān)于原點對稱－α與α關(guān)于x軸對稱2π－α與α關(guān)于x軸對稱π－α與α關(guān)于y軸對稱思考2它們交點間對稱關(guān)系如表：相關(guān)角終邊與單位圓的交點間對稱關(guān)系2kπ＋α與α重合π＋α與α關(guān)于原點對稱－α與α關(guān)于x軸對稱2π－α與α關(guān)于x軸對稱π－α與α關(guān)于y軸對稱設(shè)角α與角－α終邊與單位圓的交點分別為P和P′，因為P和P′關(guān)于x軸對稱,所以點P和P′的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反，即sin(－α）＝－sinα，cos(－α）＝cosα。梳理函數(shù)名不變，符號看象限一致銳角題型探究例1解(1）cos210°＝cos（180°＋30°）＝－cos30°＝－eq\f（\r（3),2）.（2)sineq\f(11π,4）＝sin(2π＋eq\f（3π,4）)＝sineq\f（3π，4）＝sin（π－eq\f（π,4))＝sineq\f(π,4）＝eq\f(\r（2)，2）.(3)sin（－eq\f(43π,6））＝－sin（6π＋eq\f(7π,6))＝－sineq\f（7π,6）＝－sin(π＋eq\f(π，6)）＝sineq\f(π,6）＝eq\f（1，2）.（4)cos（－1920°）＝cos1920°＝cos（5×360°＋120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－eq\f(1，2）。跟蹤訓(xùn)練1解(1)方法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f（\r(3），2）.方法二sin1320°＝sin（4×360°－120°)＝sin（－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f（\r(3),2）.(2)方法一coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（31π，6)））＝coseq\f(31π,6）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(4π＋\f（7π,6）))＝cos（π＋eq\f（π,6）)＝－coseq\f(π，6）＝－eq\f（\r（3),2)。方法二coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（31π,6)））＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（π－\f（π，6）））＝－coseq\f（π，6）＝－eq\f(\r(3),2）。例2(1）－0。3(2）－eq\f(\r(2)，2）跟蹤訓(xùn)練2－eq\f(\r(3),3）例3解（1）原式＝eq\f(sin－αcos－α，cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－sinαcosα,－cosαsinα)＝1。（2)原式＝eq\f（\r（1＋2sin360°－70°cos360°＋70°）,sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r（1－2sin70°cos70°）,－sin70°＋cos70°）＝eq\f（｜cos70°－sin70°|，cos70°－sin70°）＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°）＝－1。引申探究解當(dāng)n＝2k時,原式＝eq\f(－sinα·cosα，－cosα·sinα）＝1；當(dāng)n＝2k＋1時,原式＝eq\f(sinα·－cosα,cosα·－sinα）＝1。綜上，原式＝1.跟蹤訓(xùn)練3解原式＝eq\f(－cosα·sinα，－sinπ＋α·cosπ＋α）＝eq\f(cosα·sinα,sinα·cosα）＝1。當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2.C3.B4.eq\f(1,2)5．解原式＝eq\f（－c