第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

30/4/200906/ec/C180/自動控制黃山學(xué)院信息工程學(xué)院第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容提要：本章重點(diǎn):

a、微分方程

建立系統(tǒng)輸入輸出模式數(shù)學(xué)模型：b、傳遞函數(shù)c、方塊圖d、信號流圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制,等校變換方法；各種模型表達(dá)形式之間的相互轉(zhuǎn)換；梅遜公式的應(yīng)用

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型問題：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型何為數(shù)學(xué)模型?數(shù)學(xué)模型的種類?常用數(shù)學(xué)模型的種類：

靜態(tài)模型動態(tài)模型

描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式就稱為數(shù)學(xué)模型第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）

確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

系統(tǒng)通常由一些環(huán)節(jié)連接而成，將系統(tǒng)中的每個環(huán)節(jié)的微分方程求出來，便可求出整個系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：

根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程組。（2）

建立初始微分方程組

將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號右邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化

下面舉例說明常用環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立ucur二、常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)微分方程的建立1．RLC電路輸入量：輸出量：(1)確定輸入量和輸出量(2)建立初始微分方程組(3)消除中間變量，使式子標(biāo)準(zhǔn)化根據(jù)基爾霍夫定律得：

微分方程中只能留下輸入、輸出變量，及系統(tǒng)的一些常數(shù)。RLC電路是二階常系數(shù)線性微分方程。第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型+-uruc+-CLRii=CducdtLdidtur=Ri

++ucRCducdt+uc=ur+LCd2ucdt22．機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：質(zhì)量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)fF(t)輸出量x(t)(2)初始微分方程組F=ma根據(jù)牛頓第二定律系統(tǒng)工作過程：(1)確定輸入和輸出F(t)–F1(t)–F2(t)=ma中間變量關(guān)系式:F1(t)=fdx(t)dtF2(t)=kx(t)a=d2x(t)dt2md2x(t)dt2fdx(t)dt+kx(t)=F(t)+消除中間變量得:第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型3．電樞控制直流電動機(jī)Ua系統(tǒng)組成：直流電機(jī)負(fù)載輸入:電樞電壓勵磁電流Ia電磁轉(zhuǎn)矩Mm負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc摩擦轉(zhuǎn)矩Tf工作原理：

電樞電壓作用下產(chǎn)生電樞電流，從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩使電動機(jī)轉(zhuǎn)動.輸出:電動機(jī)速度第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型由圖，直流電動機(jī)的運(yùn)動方程由三部分組成：1、電樞回路電壓平衡方程：2、電磁轉(zhuǎn)矩方程：3、電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型消除中間變量得到直流電動機(jī)的微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

由于電樞電感較小，通?？珊雎圆挥?，上式可簡化為：式中：如果忽略和，上式可進(jìn)一步簡化為：第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

比較:R-L-C電路運(yùn)動方程與M-S-D機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動方程

相似系統(tǒng)：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。便于用簡單系統(tǒng)去研究相似的復(fù)雜系統(tǒng)。第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型二、控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：（1）由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)方框圖或直接確定系統(tǒng)中各個基本部件（元件）（2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個元件中，后級元件對前級元件的負(fù)載效應(yīng)（3）消去中間變量第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型舉例4：速度控制系統(tǒng)的微分方程第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型三、線性系統(tǒng)的基本特性1、線性系統(tǒng)是指用線性微分方程描述的系統(tǒng)，其重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。2、疊加原理具有可疊加性和均勻性。例如：有線性微分方程若時，解為：若時，解為：第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型可疊加性：當(dāng)時，微分方程的解為均勻性：當(dāng)時，A為常數(shù)，微分方程的解四、線性微分方程式的求解

工程實(shí)踐中常采用拉氏變換法求解線性常微分方程。拉氏變換法求解微分方程的基本思路：線性微分方程時域t拉氏變換代數(shù)方程復(fù)數(shù)域s代數(shù)方程的解求解拉氏反變換微分方程的解第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

五、非線性元件微分方程的線性化

－－切線法或小偏差法第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型為什么要線性化非線性系統(tǒng)的性質(zhì)比線性系統(tǒng)要復(fù)雜得多哪種非線性系統(tǒng)可以線性化如何進(jìn)行線性化使用小偏差法連續(xù)可導(dǎo)的非線性系統(tǒng)第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型連續(xù)可導(dǎo)的非線性特性本質(zhì)非線性特性第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型小偏差理論具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)A[x0，y0]為平衡工作點(diǎn)，則該非線性函數(shù)可以線性化的條件是變量x偏離平衡工作點(diǎn)很小近似線性化方程為令作變量替換第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型小結(jié)本質(zhì)非線性系統(tǒng)不可以作線性化工作點(diǎn)鄰域的線性化方程是增量方程不同的工作點(diǎn)，不同的線性化系數(shù)，有不同的線性化方程。多變量非線性方程如何線性化？第一節(jié)控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型一、傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)S域內(nèi)的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)及其對輸出的影響輸出拉氏變換

一、傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

設(shè)一控制系統(tǒng)輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數(shù)的定義：

零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與系統(tǒng)輸入量拉氏變換之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示為：將微分方程拉氏變換便可求得傳遞函數(shù)。系統(tǒng)G(S)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例求圖示RLC電路的傳遞函數(shù)。+-uruc+-CLRi解：輸出量輸入量根據(jù)基爾霍夫定律：i=CducdtLdidtur=Ri

++uc拉氏變換：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)傳遞函數(shù)為:G

(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+

RCs+

1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：。傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)

時，，所以，

傳遞函數(shù)與微分方程有相通性傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實(shí)意義，而且容易實(shí)現(xiàn)。第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例：求電樞控制直流電動機(jī)傳遞函數(shù)解：零初始條件下拉氏變換得：(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+···dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+···dnc(t)dtna0dn-1c(t)dtn-1+a1dc(t)dt+an-1系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為=b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=

將傳遞函數(shù)中的分子與分母多項(xiàng)式分別用因式連乘的形式來表示，即根軌跡傳遞函數(shù)n>=mG(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn)根軌跡增益?zhèn)鬟f函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型二、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)及其對輸出的影響第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖。零點(diǎn)用“O”表示極點(diǎn)用“×”表示零、極點(diǎn)分布圖（零、極點(diǎn)圖）第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)另一種表示形式為（頻率傳遞函數(shù)）：式中，、稱為時間常數(shù)；為傳遞系數(shù)或增益。第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對輸出的影響

（1）傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運(yùn)動模態(tài)。

現(xiàn)舉例說明：

（2）傳遞函數(shù)的零點(diǎn)不形成自由運(yùn)動模態(tài)，卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，影響響應(yīng)曲線的形狀。

現(xiàn)舉例說明：設(shè)具有相同極點(diǎn)但零點(diǎn)不同的傳遞函數(shù)分別為，

第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

不同的物理系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)差別很大。但若從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來看，一般可將自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看作由若干個典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對系統(tǒng)性能的了解。

三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍數(shù)取拉氏變換:得傳遞函數(shù):1．比例環(huán)節(jié)微分方程:R(s)C(s)G(s)==K

比例環(huán)節(jié)方框圖KR(S)C(S)K1S·C(s)=R(s)=1S單位階躍響應(yīng)：拉氏反變換得:c(t)=K

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型K=-R1R2

比例環(huán)節(jié)實(shí)例(a)uruc-∞++R1R2運(yùn)算放大器(b)線性電位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2傳動齒輪(c)r(t)c(t)iK=i第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型單位階躍信號作用下的響應(yīng):KTs+11s·C(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2．慣性環(huán)節(jié)微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t)dtT時間常數(shù)比例系數(shù)拉氏變換：TsC(s)+C(s)=KR(s)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=

慣性環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)1+Ts1拉氏反變換得:c(t)=K(1–etT-)

單位階躍響應(yīng)曲線設(shè)K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型uruc-∞++R2R1C

慣性環(huán)節(jié)實(shí)例(a)運(yùn)算放大器R2Cs+1R2/R1G(s)=–(b)RL電路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)s+1G(s)=–第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型R(s)C(s)G(s)==1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：時間常數(shù)3．積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：拉氏變換：

積分環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)Ts1單位階躍響應(yīng)：1TS1S·C(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反變換得:第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型如當(dāng)輸入量為常值A(chǔ)時，輸出量須經(jīng)過時間T才能達(dá)到輸入量在t=0時的值A(chǔ)。！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能！具有明顯的滯后作用

積分環(huán)節(jié)實(shí)例(a)運(yùn)算放大器uc-∞++RCur1RCsG(s)=–(b)直流伺服電機(jī)+-UdMθsKG(s)=第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型4．微分環(huán)節(jié)R(S)C(S)Ts理想微分環(huán)節(jié)微分方程：微分時間常數(shù)

微分環(huán)節(jié)方框圖單位階躍響應(yīng)：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)==TsTS1S·C(s)=R(s)=1S拉氏反變換得:c(t)=Tδ(t)

單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)c(t)r(t)運(yùn)算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)-Δ∞++RucCurG(s)=RCs第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型+-uc+-CRurRC電路構(gòu)成的實(shí)用微分環(huán)節(jié)RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=

理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際中是難以實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際中常用含有慣性的實(shí)用微分環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù):單位階躍響應(yīng):?

1sTsTs+1G(s)==1s+1/T

c(t)=etT-單位階躍響應(yīng)曲線r(t)r(t)t0c(t)c(t)1

由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。

第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型采用運(yùn)算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1ucC1R2ur-Δ∞++傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：c(t)=KTδ(t)+KR(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型5.振蕩環(huán)節(jié)

微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數(shù)—阻尼比ζT傳遞函數(shù)：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—無阻尼自然振蕩頻率

振蕩環(huán)節(jié)方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e

單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環(huán)節(jié)的實(shí)例：(1)機(jī)械位移系統(tǒng)

(2)他激直流電動機(jī)

(3)RLC電路1/CeTaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1LCs2+RCs+1=G(s)=第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型R(s)C(s)G(s)==e-τsc(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．時滯環(huán)節(jié)延時時間數(shù)學(xué)模型：

時滯環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：時滯環(huán)節(jié)作近似處理得1+τs1G(s)=1+τs+2!2s2+···

1τ1

階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型第二節(jié)控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0-τ時間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它表示出系統(tǒng)中各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系及信號的傳遞過程。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖

一、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖由若干基本符號構(gòu)成。構(gòu)成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本符號有四種，即信號線、方框、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖1.信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖2.信號引出點(diǎn)/測量點(diǎn)

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖3.比較點(diǎn)/綜合點(diǎn)1.用符號“”及相應(yīng)的信號箭頭表示2.箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖4.方框/環(huán)節(jié)函數(shù)方塊具有運(yùn)算功能繪制動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟:（1）確定系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框，方框中標(biāo)出其傳遞函數(shù)、輸入量和輸出量。（3）根據(jù)信號在系統(tǒng)中的流向，依次將各方框連接起來。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖

對于RLC電路，可以運(yùn)用電流和電壓平衡定律及復(fù)阻抗的概念，直接畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。例求圖所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。ii1+-uiuo+-R2R1ci2解：I1(s)I2(s)+Uo(s)Ui(s)_Cs1R1+R2Uc(s)RC電路動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：I(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖i1i2+-urC1uc+-C2R1R2例畫出圖所示電路的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：1R1I1(s)_1C1S1R21C2SUr(s)UC(s)I2(s)__U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換與化簡

系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖直觀地反映了系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的動態(tài)關(guān)系。將復(fù)雜的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡可求出傳遞函數(shù)。1．動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在變換前后保持不變。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖C1(s)（1）串聯(lián)兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)的等效變換：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n個環(huán)節(jié)串聯(lián)ni=1G(s)=ΠGi(s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串聯(lián)！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串聯(lián)！第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并聯(lián)兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)等效變換：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n個環(huán)節(jié)的并聯(lián)

Σni=1G

(s)=Gi(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±環(huán)節(jié)的反饋連接等效變換：

根據(jù)框圖得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖（4）綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動1)

綜合點(diǎn)之間或引出點(diǎn)之間的位置交換引出點(diǎn)之間的交換：b綜合點(diǎn)之間交換：bccbaaaa±aa±b±c±a±c±b不改變數(shù)學(xué)關(guān)系不改變數(shù)學(xué)關(guān)系aa綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)之間不能交換！第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖2）綜合點(diǎn)相對方框的移動前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±F(s)±C(s)F(s)1G(s)C(s)=R(s)G(s)±F(s)

數(shù)學(xué)關(guān)系不變！后移：F(s)R(s)G(s)C(s)±C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±F(s)G(s)C(s)±C(s)G(s)G(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖3）引出點(diǎn)相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)G(s)1被移動的支路中串入適當(dāng)?shù)膫鬟f函數(shù)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖舉例說明例：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖本題特點(diǎn)：具有引出點(diǎn)、綜合交叉點(diǎn)的多回路結(jié)構(gòu)。解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。解題方法一之步驟1將綜合點(diǎn)2后移，然后與綜合點(diǎn)3交換。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖解題方法一之步驟2第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖解題方法一之步驟3第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法一之步驟4第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法一之步驟5第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換解題方法一之步驟6第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法一之步驟7第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法一之步驟8第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果解題方法一之步驟9第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖反饋環(huán)節(jié)等效變換解題方法一之步驟10第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖等效變換化簡結(jié)果解題方法一之步驟11第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖將綜合點(diǎn)③前移，然后與綜合點(diǎn)②交換。解題方法二第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖引出點(diǎn)A后移解題方法三第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖引出點(diǎn)B前移解題方法四第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖例求RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖解：錯！C2S1R1注意：綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)的位置不作交換！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=H(s)=R1C2S(R1C1S+1)(R1C1S+1)G(s)=1第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項(xiàng)：有效輸入信號所對應(yīng)的綜合點(diǎn)盡量不要移動；盡量避免綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)之間的移動。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖三．信號流圖的組成及性質(zhì)x1x4x3x2abc11、信號流圖的基本概念

支路：表示變量之間的傳輸關(guān)系。

節(jié)點(diǎn)：表示系統(tǒng)中的變量。

信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖2、信流圖的性質(zhì)A、節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量；

B、支路相當(dāng)于乘法器；

C、信號沿箭頭單向傳遞；

D、系統(tǒng)的信號流圖不是惟一的。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖3、信流圖的基本術(shù)語源節(jié)點(diǎn)只有輸出的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸入變量。阱節(jié)點(diǎn)只有輸入的節(jié)點(diǎn)，代表系統(tǒng)的輸出變量。輸出節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)。若從混合節(jié)點(diǎn)引出一條具有單位增益的支路，混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖前向通路從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示?；芈菲瘘c(diǎn)與終點(diǎn)重合且通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用Lk表示。不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖根據(jù)微分方程繪制信號流圖4、信流圖的繪制

微分方程先拉氏變換，指定系統(tǒng)變量，按因果關(guān)系排列，連成信號流圖。例試?yán)L制RC無源網(wǎng)絡(luò)的信號流圖。設(shè)電容初始為。解由基爾霍夫定律，列寫微分方程式如下：ii1+-uiuo+-R2R1ci2第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖結(jié)構(gòu)圖上信號線變成小圓圈表示變量，方框變成增益線段（即支路），連成信號流圖。例試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流程。ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···四、梅森增益公式

回路內(nèi)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。梅森公式：回路傳遞函數(shù)：—特征式△—各回路傳遞函數(shù)之和?！獌蓛苫ゲ幌嘟佑|回路的傳遞函數(shù)乘積之和?！腥齻€互不相接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項(xiàng)去掉之后的剩余部分，稱為余子式。Pk—第k條前向通道的傳遞函數(shù)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖下面結(jié)合實(shí)例利用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)：例試用梅森公式求例2-14系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖解由梅森公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：例系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。

G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統(tǒng)有5個回路，各回路的傳遞函數(shù)為L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1將△、Pk、△k代入梅遜公式得傳遞函數(shù)：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2

(1–

G3H1)=第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖五、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)3、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+N(s)1、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖2、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1)．給定信號R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

設(shè)

N(s)=0典型結(jié)構(gòu)圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+N(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖2)．?dāng)_動信號N(s)作用設(shè)R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：+N(s)

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)N(s)C(s)反饋通道:閉環(huán)傳遞函數(shù)為：N(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)3、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)1)．給定信號R(s)作用誤差輸出的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖:R(s)+N(s)

前向通道:

反饋通道:

設(shè)N(s)=0E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1誤差傳遞函數(shù)為：R(s)E(s)Фer(s)=第三節(jié)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖+N(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2)．?dāng)_動信號D(s)作用R(s)

R(s)作用下誤差輸出的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖:

前向通道:

反饋通道:R(s)=0E(s)C(s)+N(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)N(s)