2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步6.1垂直關(guān)系的判定學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE6．1垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握直線與平面垂直的定義、判定定理。2。掌握平面與平面垂直的概念、判定定理。3.會(huì)應(yīng)用兩定義及兩定理證明有關(guān)的垂直問題．知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義思考在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時(shí)間的變化，影子的位置在移動(dòng),在各個(gè)時(shí)刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？梳理線面垂直的概念定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的______________直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直記法有關(guān)概念直線l叫作平面α的________，平面α叫作直線l的________,它們唯一的公共點(diǎn)P叫作________圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？梳理判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的______________都垂直,那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b,aα，bα，a∩b＝A?l⊥α圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)三二面角思考1觀察教室內(nèi)門與墻面，當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．?dāng)?shù)學(xué)上,用哪個(gè)概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？思考2平時(shí)，我們常說“把門開大一點(diǎn)”,在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)？梳理(1)定義：從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形．(2）相關(guān)概念：①這條直線叫作二面角的________．②兩個(gè)半平面叫作二面角的________．(3)二面角的記法以直線AB為棱,半平面α，β為面的二面角，記作二面角α－AB－β.(4）二面角的平面角：若有①O________l；②OA______α,OB________β;③OA________l，OB________l，則二面角α－l－β的平面角是________．知識(shí)點(diǎn)四平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個(gè)重物，做成“鉛錘”,用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點(diǎn)垂下時(shí)，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時(shí)鉛錘線與地面什么關(guān)系？梳理(1)平面與平面垂直的概念①定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是________________，就說這兩個(gè)平面互相垂直．②畫法：③記法：________.(2)判定定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條________,那么這兩個(gè)平面互相垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，________?α⊥β類型一線面垂直的判定例1如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn),求證：BC⊥平面PAC。引申探究若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC.反思與感悟(1）使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決．（2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練1如圖,已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E,作AF⊥PB于點(diǎn)F，求證：PB⊥平面AEF。類型二面面垂直的判定例2如圖所示，在四棱錐S－ABCD中,底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD,E為SA的中點(diǎn)．求證：平面EBD⊥平面ABCD。反思與感悟（1）由面面垂直的判定定理知,要證兩個(gè)平面互相垂直，關(guān)鍵是證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線．（2）證明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟蹤訓(xùn)練2如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90°,AC＝eq\f（1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC.類型三與二面角有關(guān)的計(jì)算例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．反思與感悟(1)求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值,其步驟為作角→證明→計(jì)算．（2）為了能在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個(gè)面的圖形特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等．跟蹤訓(xùn)練3如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn),且PA＝AC,求二面角P－BC－A的大?。?．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是(）①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有(）A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．5對(duì)3．如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A,C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定4．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r(73）,AB＝10，BC＝8，CA＝6,則二面角P－AC－B的大小為________．5.如圖,在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD,且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)．求證：平面EFC⊥平面BCD.1.直線和平面垂直的判定方法:（1）利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理;(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α,則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β。2．證明兩個(gè)平面垂直的主要途徑：（1)利用面面垂直的定義;(2)面面垂直的判定定理，即如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．3．證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直,最終達(dá)到目的．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考不變，90°。梳理任何一條l⊥α垂線垂面垂足知識(shí)點(diǎn)二思考1不一定．思考2當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直．梳理兩條相交直線知識(shí)點(diǎn)三思考1二面角．思考2二面角的平面角．梳理（1)兩個(gè)半平面（2）棱面（4）∈⊥⊥∠AOB知識(shí)點(diǎn)四思考都是垂直．梳理(1)①直二面角③α⊥β（2)垂線lβ題型探究例1證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究證明由例1知BC⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE?！逷C⊥AE，且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC。跟蹤訓(xùn)練1證明由引申探究知AE⊥平面PBC?！逷B平面PBC,∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF。例2證明連接AC，與BD交于O點(diǎn)，連接OE.∵O為AC的中點(diǎn),E為SA的中點(diǎn),∴EO∥SC?！逽C⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟蹤訓(xùn)練2證明由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC。由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC。又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。例3解取A1C1的中點(diǎn)O,連接B1O,BO.由題意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1，O為A1C1的中點(diǎn)，所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝eq\f（\r(2），2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f（BB1,OB1）＝eq\f（a,\f（\r(2)，2）a)＝eq\r(2），所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r(2).跟蹤訓(xùn)練3解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC。∵AB是⊙O的直徑,且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°。當(dāng)堂訓(xùn)練1．A2。D3.C4．60°解析由題意易得點(diǎn)P在平面ABC上的射影O是AB的中點(diǎn)．取AC的中點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ∥BC.由題意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°,即OQ⊥AC.又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．∵PA＝eq\r（73），AQ＝eq\f（1,2）AC＝3，∴PQ＝8。又∵OQ＝eq\f（1，2)BC＝4,∴cos∠PQ