第二章誤差的基本性質與處理

11第二章誤差的基本性質與處理章節(jié)內容§2.1隨機誤差§2.2系統(tǒng)誤差§2.3粗大誤差§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例122§2.1隨機誤差§2.1.1隨機誤差產(chǎn)生的原因第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差隨機誤差測量裝置環(huán)境方面人員方面構成零件配合不穩(wěn)定、摩擦、變形等溫度、濕度、氣壓、電磁場變化等讀數(shù)、瞄準不穩(wěn)定等33第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差§2.1.2

正態(tài)分布隨機誤差具有不可預知性，但是有統(tǒng)計規(guī)律。大部分隨機誤差有如下四個特性：對稱性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；有界性：在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限；抵償性：隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術平均值趨向于零。44第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布設被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為：

正態(tài)分布的分布密度(概率密度)與分布函數(shù)為

式中：σ—標準差（或均方根誤差）它的數(shù)學期望

它的方差為

5平均誤差θ(測量列全部隨機誤差絕對值的算術平均值)為5第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差或然誤差ρσ：對應曲線拐點θ：對應單邊重心ρ：對應面積一半或在一組測定中，誤差絕對值大于ρ的測定值與誤差絕對值小于ρ的測定值各占總測定值的一半。以解得

正態(tài)分布曲線f(δ)66第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差§2.1.3算術平均值對某量進行一系列等精度測量時，由于存在隨機誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時應以算術平均值作為最后的測量結果。

算術平均值的意義設為n次測量所得的值，則算術平均值為:隨機誤差具有抵償性，該項趨于0。77第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差結論當測量次數(shù)無限增大時，算術平均值接近于真值。排除或減少了隨機誤差的影響。但由于實際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術平均值近似地作為被測量的真值。一般情況下，被測量的真值為未知，不可用，這時可用算術平均值代替真值進行計算此時的隨機誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差。88第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差任選一個接近所有測得值的數(shù)

作為參考值，計算每個測得值與的差值：上式更容易計算算術平均值。計算算術平均值更簡便的方法99第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差算術平均值的計算校核規(guī)則1：殘差代數(shù)和校核

為非湊整的準確數(shù)時

為湊整的非準確數(shù)時規(guī)則２：殘差代數(shù)和絕對值校核n為偶數(shù)時A為實際求得的算術平均值末位數(shù)的一個單位。n為奇數(shù)時1010第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差例題2.1測量某直徑11次，得到結果如下表所示，求算術平均值并進行校核。序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

解：計算算術平均值比被除數(shù)多保留一位有效數(shù)字，保留8位。舍入后，保留7為與被除數(shù)一致1111第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差校核規(guī)則1：有舍入誤差規(guī)則2：n為奇數(shù)

計算正確

計算正確A是算術平均值最末一個數(shù)字的一個單位A=0.001σ值愈小，高而陡，誤差分布范圍小，測量精度高；σ值愈大，低而平坦，誤差分布范圍大，測量精度低。1212第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差§2.1.4測量的標準差標準差σ反映了測量值或隨機誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機誤差的評定尺度。注意：在一定條件下，任一單次測得值的隨機誤差δ，一般都不等于σ，但卻認為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個標準差σ的概率分布。1313第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差σ的計算

δi未知時，用殘余誤差按下式計算求得標準差的估計值等精度(測量儀器、人員、環(huán)境、方法不變)測量時，單次測量的標準差按下式計算貝塞爾（Bessel）公式（證明參考教材）1.測量列中單次測量標準差σ1414第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差σ的其他計算方法別捷爾斯法(Peters公式)1515第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差極差法若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，則極差ωnσ的計算n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74極差法系數(shù)表1616第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差最大誤差法當各個獨立測量值服從正態(tài)分布時已知真值時：未知真值時：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.441717第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差標準差算法舉例例題2.2用游標卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm):75.01,75.04,75.07,75.00,75.03,75.09,75.06,75.02,75.05,75.08求其標準偏差。解：相關數(shù)據(jù)計算如表序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

1818第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差Bessel公式將相關數(shù)據(jù)代入：n=10Peters公式將相關數(shù)據(jù)代入：n=101919第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差極差法已知：n=10，查表：dn=3.08最大誤差法因未知其真值和約定真值，所以采用n=10，查表得代入得已知真值時未知真值時2020第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差貝塞爾公式：最常用，適用于測量次數(shù)較多的情況，計算精度較高，但較麻煩。對重要的測量或多種結果矛盾時，以貝塞爾公式為準。四種計算方法的優(yōu)缺點別捷爾斯公式：計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的1.07倍。極差法：簡單、迅速，當n<10時可用來計算σ，此時計算精度高于貝氏公式。最大誤差法：更為簡捷，n很小時，有一定精度。尤其適用于一次實驗。2121第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差2.測量列算術平均值的標準差在多次測量的測量列中，是以算術平均值作為測量結果，因此必須研究算術平均值不可靠性的評定標準。算術平均值取方差等精度測量σ相等，σ2方差相等2222第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差n愈大，越小，說明的精度越高；為提高測量精度，可以增大n；n的選取要適當，一般n在10以內；大于10時，下降緩慢，同時難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差。n與標準差σ的關系曲線若測量誤差落在范圍內的概率為P，超出該范圍的概率為1-P，則為置信概率P的極限誤差。2323第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差§2.1.4測量的極限誤差(容許誤差)極限誤差指在一定的觀測條件下，測量誤差不應超出的范圍的極限值。單次測量的極限誤差以正態(tài)分布為例，隨機誤差落在(-δ,+δ)之間的概率：2424第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差將上式進行變量置換，設經(jīng)變換，上式成為：超出的概率為確定極限誤差的步驟：置信概率t值可以根據(jù)指定的置信概率p(2Φ(t)),可查正態(tài)分布積分表獲得。因此極限誤差由置信概率Ｐ

tP/2=查表得tt:置信系數(shù)偶函數(shù)，對稱區(qū)間積分2525第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差下表是典型的幾個t值及對應的隨機誤差不超出相應區(qū)間的概率p=2Φ(t)和超出相應區(qū)間的概率α=1-2Φ(t)由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即（p=99.73％）不超出的概率超出的概率測量次數(shù)n超出的測量次數(shù)0.6712340.67σ1σ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111t其它t值也可。2626第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差算術平均值的極限誤差算術平均值誤差：當多個測量列的算術平均值誤差為正態(tài)分布時；t為置信系數(shù)，為算術平均值的標準差。當測量列的測量次數(shù)較少時，應按“學生氏”分布(“student”distribution)或稱t分布來計算：為置信系數(shù)

由給定的置信概率p算出

和自由度來查t分布表確定。

真值2727第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差

為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05。置信概率需要指出的是：對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術平均值極限誤差也不同。2828第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差例題2.3對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術平均值及其極限誤差。解：算術平均值標準差則查t分布表得。因測量次數(shù)較少，應按t分布計算算術平均值的極限誤差。已知，取，算術平均值標準差極限誤差2929第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差取，置信概率，φ(t)=p/2=0.495,由正態(tài)分布積分表查得φ(t)=0.495時，t=2.60，則算術平均值的極限誤差為：按正態(tài)分布計算由此可見，當測量次數(shù)較少時，按兩種分布計算的結果有明顯的差別。3030第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差§2.1.5

不等精度測量不等精度測量列指用不同測量條件，不同儀器，不同測量方法，不同測量次數(shù)，不同的測量者等進行測量。回顧等精度測量及其測量精度的評定：平均值：表示測量結果；單次測量標準差：表示測量精度；平均值標準差：算術平均值可靠性評價指標；極限誤差：在指定置信概率下，測量結果不應超出的范圍。3131第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差如何處理m組不等精度數(shù)據(jù)？思路是：用“權”將不等精度測量化為等精度測量。對于m組不等精度測量第i組測量的均值及其標準差3232第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差權的概念權：描述不等精度測量列中各個值的可信賴程度。Pi越大，說明該測量值越可信賴。等精度測量：P1=P2=…=Pn不等精度測量：P1≠P2≠…≠Pn權的確定：按如下原則①測量條件的優(yōu)劣；②測最儀器和測量方法所能達到的精度高低；③重復測量次數(shù)的多少；④測量者水平高低等來確定權的大小。323333第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差在測量條件和測量者水平皆相同，則測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大；因此確定權的大小簡單方法：Pi=ni3434第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差假定一個被測量有m組不等精度的測最結果。m組測量單次測量精度相同，其標準差σ相同(僅有每組測量次數(shù)不同)，則各組算術平均值的標準差為每組測量的權值比為σ相同權系數(shù)之比等于各組平均值方差的倒數(shù)比3535第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差測量結果估計(加權算術平均值)m組不等精度測量的每組平均值測量的平均值3636第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差工作基準米尺在連續(xù)三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結果。例題2.4解：最后結果用平均值表示。按測量次數(shù)來確定權：，選則有3737第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差單位權化等精度單次測量標準差σ，m組不等精度測量某組算術平均值的標準差為pi=ni等精度單次測量的權為1，稱為單位權。單位權化：使權數(shù)不同的不等精度測量列轉化成具有單位權的等精度測量列。這樣可以用等精度測量的公式處理不等精度測量結果。3838第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差單位權化方法如：第i組不等精度測量算術平均值為，權為乘以自身權的平方根得到新值z。取方差任何一個量值乘以自身權數(shù)的平方根，得到新量值的權數(shù)為1。Z值的權為1，即任何量值乘以自身權值的平方根，就被單位權化了。3939第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差加權算術平均值的標準差等精度測量的標準差σ，m組不等精度測量某組算術平均標準差全部測得值的算術平均值的標準差為將1式σ代入2式4040第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差當各組測量結果的標準差σ為未知時，則不能直接用上式，而必須由各測量結果的殘余誤差來計算加權算術平均值的標準差。將各組單位權化，則有：單位權化后各組新值已為等精度測量列的測量結果。相應的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時的Bessel公式推導得到：已知各組測量結果的殘余誤差為：

第i組測量平均值測量平均值4141第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差單位權化后用等精度測量時的Bessel公式推導得到：m原為不等精度測量的組數(shù)，單位權化后為等精度測量，所以此時，相當于等精度測量的次數(shù)。代入所有測得值平均值的標準差為：4242第二章誤差的基本性質與處理§2.1隨機誤差例題2.5

求例題2.4的加權算術平均值的標準差。(工作基準米尺在連續(xù)三天內與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結果。（答案：

)

解：由加權算術平均值，可得各組測量結果的殘余誤差為：已知

4343第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差§2.2系統(tǒng)誤差§2.2.1系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因裝置方面的因素環(huán)境方面的因素測量方法的因素測量人員的因素儀器設計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。4444第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差§2.2.2系統(tǒng)誤差的特征系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化，不具有抵償性。系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。不變系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終不變的系統(tǒng)誤差。如:千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調零誤差；量塊或其它標準件尺寸的偏差等。4545第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差線性變化系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。如:量塊中心長度隨溫度的變化周期變化系統(tǒng)誤差如:指針在任一轉角處引起的讀數(shù)誤差。eΔL0O90O180O360Oe90o0o180o270o儀表指針回轉中心與刻度中心不一致4646第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差例如:微安表的指針偏轉角與偏轉力距間不嚴格保持線性關系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。47§2.2.3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法47第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法組間組內實驗對比法殘余誤差觀察法殘余誤差校核法不同公式計算標準差法計算數(shù)據(jù)比較法秩和檢驗法t檢驗法4848第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差1、實驗對比法改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。殘余誤差大體上是正、負相間，且無顯著變化規(guī)律，則無系統(tǒng)誤差測量列組內的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法4949第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差殘余誤差數(shù)值有規(guī)律地遞增或遞減，且在測量開始與結束時誤差符號相反，存在線性系統(tǒng)誤差殘余誤差兼有如圖的變化規(guī)律，則應懷疑同時存在線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差殘余誤差符號有規(guī)律地逐漸由負變正、再由正變負，且循環(huán)交替重復變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差5050第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①馬列科夫準則－用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)

誤差測量列測量列系統(tǒng)誤差均值測量列不含系統(tǒng)誤差均值測量列均值系統(tǒng)誤差不含系統(tǒng)誤差測量列不含系統(tǒng)誤差部分的殘差(含有隨機誤差)殘余誤差為測量列系統(tǒng)誤差測量列系統(tǒng)誤差均值5151第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差方法：若Δ顯著不為O，則有理由認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。優(yōu)點：能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。注意：有時按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。忽略隨機誤差將殘余誤差分成兩部分（n為奇數(shù)時K=(n+1)/2）測量列隨機誤差殘差測量列系統(tǒng)誤差測量列系統(tǒng)誤差均值51系統(tǒng)誤差測量列系統(tǒng)誤差均值52②阿卑－赫梅特準則－用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差52第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。若將殘余誤差按測量順序排列5353第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差4、不同公式計算標準差比較法貝塞爾公式：別捷爾斯公式：令若則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。注意：判斷時，違反“準則”時可直接判定，而在遵守“準則”時，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結論，因為每個準則均有局限性，不具有“通用性”。54測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法54第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差則任意兩組結果與間不存在系統(tǒng)誤差的標志是：若對同一量進行獨立測量，得到m組結果，已知它們的算術平均值和標準差為：任意兩組結果之差為：其標準差為：1、計算數(shù)據(jù)比較法5555第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差2、秩和檢驗法—用于檢驗兩組數(shù)據(jù)

間的系統(tǒng)誤差對獨立測得兩組的數(shù)據(jù)：將它們混合以后，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)在新排列中的次序編號(即秩)。將所有測得值的次序相加，即為秩和T。T=1+4+5=10例如：有二組測量值xi：14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1；混合按大小重新排序i1234567xi14.714.815.215.6yi14.615.015.1因為n2<n1，所以計算n2(即yi)的秩分別為1，4，5；5656第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差當兩組的測量次數(shù)：

可根據(jù)n1(測量次數(shù)較少的組)和n2(測量次數(shù)較多的組)，查秩和檢驗表得T-和T+。若則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。5757第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差當秩和T

近似服從如下正態(tài)分布根據(jù)求得的數(shù)學期望值a和標準差

，如下式計算t：時正態(tài)分布數(shù)學期望a正態(tài)分布的標準差σ此時T-和T+可由正態(tài)分布算出。選取(置信概率P，Φ(t)=P/2)

，由正態(tài)積分分布表查得t(此處計為ta)。則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。若5758對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差xi：14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.158第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表i1234567xi14.714.815.215.6yi14.615.015.1

已知:n1=4,n2=3,n2<n1≤10因為n2<n1，所以計算n2(即yi)的秩和：T=1+4+5=10,因

故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。例題2.6

查秩和檢驗表得5959第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差兩組數(shù)據(jù)：①50.82，50.83，50.87，50.89；②50.75，50.78，50.78，50.81，50.82，50.85；n1<n2,計算n1的秩和若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個次序的平均值計算。596060第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差例2.7：對某量進行二次測量，數(shù)據(jù)如下，試判斷二組數(shù)據(jù)是否存在系統(tǒng)誤差。解：將二組數(shù)據(jù)混合排序如下表n1=n2=15，因為xi數(shù)據(jù)的秩和較小，故依其數(shù)據(jù)計算秩和606161第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差因為n1=n2=15>10，所以T近似服從如下正態(tài)分布其中數(shù)學期望a和標準差為σ為：置信系數(shù)t為選取置信概率為99%(顯著度α=0.01)，即取φ(t)=0.495，查表得t(此處即ta)ta=2.60故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)存在系統(tǒng)誤差。61623、t檢驗法62第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差當兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大，但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時，可用t檢驗法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。

設獨立測得兩組數(shù)據(jù)為：令變量取顯著性水平α，由t分布表(附表)查出。若，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。63

①基準件、標準件(如量塊、刻尺等)是否準確可靠；②量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并

有有效周期的檢定證書；③儀器的調整、測件的安裝定位和支承裝夾是否正確合理；④所采用的測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差：視差、視力疲勞；注意力不集中等。63第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差§2.2.4系統(tǒng)誤差的減小和消除1、消誤差源法用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差。64預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結果。關鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律。64第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差2、加修正值法恒定系統(tǒng)誤差：采用檢定方法，對重復測量取其均值，與基準量之差即為其修正值。變化系統(tǒng)誤差：按照某變化因素，依次取得已知基準量

的一系列測值，再計算其差值，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關系式，取其負值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。6565第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差3、改進測量方法在沒有條件或無法獲得基準量的情況下，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時必須設計適當?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有：反向補償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計算中互相抵消了。①消除恒定系統(tǒng)誤差的方法6666第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差如：在使用絲杠轉動機構測微小位移時，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結果，以補償定回誤差的影響。

若認為將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。用標準砝碼Q代替X,不能平衡，讀出差值ΔQ，有6767第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差代替法：在測量裝置上對被測量測量后，不改變測量條件，立即用一個標準量代替被測量，再次進行測量，從而求出被測量與標準量的差值，即被測量＝標準量＋差值例如在等臂天平上稱重,被測量X。平衡時(l有誤差，實為l1，l2)若將X與P交換位置，由于(存在恒定統(tǒng)誤差的緣故)，天平將失去平衡。調整原砝碼P(P’=P+ΔP)才使天平再次平衡(P’=l1X/l2)，于是有

6868第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差如等臂天平稱重,先將被測量X放于天平一側，砝碼放于其另一側，調至天平平衡，則有。交換法：根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差?？上炱絻杀鄄坏仍斐傻南到y(tǒng)誤差。取69將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。69第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差消除線性系統(tǒng)誤差的方法—對稱法70對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為：

70第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差消除周期性系統(tǒng)誤差的方法—半周期法設時，誤差為：當時，即相差半周期的誤差為取兩次讀數(shù)平均值則有由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。7171第二章誤差的基本性質與處理§2.2系統(tǒng)誤差4、消除復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法通過構造合適的數(shù)學模型，進行實驗回歸統(tǒng)計，對復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進行補償和修正。7272第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差§2.3粗大誤差§2.3.1粗大誤差的產(chǎn)生原因測量人員的主觀原因客觀外界條件的原因測量者工作責任感不強、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗操作不當，或在測量時不小心、不耐心、不仔細等，造成錯誤的讀數(shù)或記錄。測量條件意外地改變（如機械沖擊、外界振動、電磁干擾等）。73基本思想：給定一個顯著性水平，按一定分布確定一個臨界值，凡超過這個界限的誤差，就認為它不屬于偶然誤差的范圍，是粗大誤差，應予以剔除。73第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差§2.3.2

粗大誤差判別準則1、準則：最常用、最簡單，要求n充分大。對某個可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：則可認為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應予以剔除。7474第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差測量次數(shù)較少時，最好不要選用準則。下表是準則的“棄真”概率。從表中看出，該準則犯“棄真”錯誤的概率隨n的增大而減小，最后穩(wěn)定于0.3%。n11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

準則“棄真”概率a747575第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差對某量進行15次等精度測量，測得值如下。設這些測得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測量列中是否含有粗大誤差的測得值。序號12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121數(shù)據(jù)表例題2.8

根據(jù)3σ準則，第八測得值的殘余誤差為：即它含有粗大誤差,故將此測得值剔除。去掉一個粗大誤差后的殘差7676第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差再根據(jù)剩下的14個測得值重新計算，得：剩下的14個測得值的殘余誤差均滿足,故可以認為這些測得值不再含有粗大誤差。設對某量作多次等精度測量，得，若認為測量值為可疑數(shù)據(jù)，將其剔除后計算平均值為：7777第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差方法是：首先剔除一個可疑的測得值，然后按t分布檢驗被剔除的值是否是含有粗大誤差。2、羅曼諾夫斯基準則并求得測量列的標準差(計算時不包括

)：又稱t檢驗準則。當測量次數(shù)較少時，按t分布來判別粗大誤差較為合理。7878第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差根據(jù)測量次數(shù)n和選取的顯著度，即可由表查得t分布的檢驗系數(shù)。

n0.05k0.01

n0.05k0.01

n0.05k0.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81若則認為測量值含有粗大誤差，剔除是正確的，否則認為不含有粗大誤差，應予保留。787979第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差例題2.9試判斷例題2.8中是否含有粗大誤差。解：首先懷疑第八組測得值含有粗大誤差，將其剔除。然后根據(jù)剩下的14個測量值計算平均值和標準差，得：選取顯著度，已知n=15，查表得：因：故第八組測量值含有粗大誤差，應予剔除。然后對剩下的14個測得值進行判別，可知這些測得值不再含有粗大誤差。8080第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差3、格拉布斯準則設對某量作多次等精度獨立測量，得，當服從正態(tài)分布時，計算得為了檢驗中是否含有粗大誤差，將按大小順序排列成順序統(tǒng)計量，8181第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差

格拉布斯導出了及的分布，取定顯著度(一般為0.05或0.01)，可查格拉布斯準則表，得到臨界值。若認為可疑，則有若認為可疑，則有即判別該測得值含有粗大誤差，應予剔除。81當8282第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差0.050.010.050.013456789101112131415161.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.441.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.75171819202122232425303540501002.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.172.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.59828383第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差用例2.8測得值，試判別該測量列中的測得值是否含有粗大誤差。例題2.10

解：由例2.8，已經(jīng)算出：

按測得值的大小，順序排列得今有兩測得值，可懷疑，但由于故應先懷疑是否含有粗大誤差，計算8484第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差剩下的14個數(shù)據(jù)，再重復上述步驟，判別是否含有粗大誤差。故可判別不包含粗大誤差，而各皆小于1.18，故可認為其余測得值也不含粗大誤差。計算：查表：第八個含有粗大誤差，應予剔除。查表得8585第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差設正態(tài)測量總體的一個樣本，將按大小順序排列成順序統(tǒng)計量，4.狄克松準則即

構造檢驗高端異常值和低端異常值的統(tǒng)計量，分別為和，分以下幾種情形：高端異常統(tǒng)計量低端異常統(tǒng)計量8686第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差以上的簡記為和。選定顯著性水平，查表得臨界值。當測量的統(tǒng)計值或大于臨界值時，則認為或含有粗大誤差。

868787第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差統(tǒng)計量n統(tǒng)計量n0.010.050.010.053456789101112130.9880.8890.7800.6980.6370.6830.6350.5970.6790.6420.6150.3410.7650.6420.5600.5070.5540.5120.4770.5760.5460.5211415161718192021222324250.6410.6160.5950.5770.5610.5470.5350.5240.5140.5050.4970.4890.5460.5250.5070.4900.4750.4620.4500.4400.4300.4210.4130.4068888第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差同例2.8測量數(shù)據(jù),判別測量列中的測得值是否含有粗大誤差。排序如表所示。例題2.10順序號順序號20.3020.3920.3920.3920.4020.4020.4020.411234567820.4220.4220.4220.4320.4320.4320.439101112131415首先判斷最大值，因n=15，計算統(tǒng)計量查表得：故不含有粗大誤差。

8989第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差再判別最小值，計算統(tǒng)計量故含有粗大誤差，應予剔除。剩下14個數(shù)據(jù)，再重復上述步驟（，），判斷不含有粗大誤差。899090第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差四種粗大誤差的判別準則的應用實踐經(jīng)驗大樣本情況（n>50）用3σ準則最簡單方便，雖然這種判別準則的可靠性不高，但它使用簡便，不需要查表，故在要求不高時經(jīng)常使用；30<n≤50時，用格拉布斯準則效果較好；3≤n<30時，用格拉布斯準則適于剔除一個異常值；用狄克遜準則適于剔除一個以上異常值。當測量次數(shù)比較小時，也可根據(jù)情況采用羅曼諾夫斯基準則。

9191第二章誤差的基本性質與處理§2.3粗大誤差在較為精密的實驗場合，可以選用二、三種準則同時判斷，當一致認為某值應剔除或保留時，則可以放心地加以剔除或保留。當幾種方法的判斷結果有矛盾時，則應慎重考慮，一般以不剔除為妥。因為留下某個懷疑的數(shù)據(jù)后算出的σ只是偏大一點，這樣較為安全。919292第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例§2.4

測量結果數(shù)據(jù)處理實例§2.4.1

等精度直接測量列數(shù)據(jù)處理實例例題2.11：等精度測軸徑9次，求測量結果。序號12345678924.77424.77824.77124.78024.77224.77724.77324.77524.774-0.001+0.003-0.004+0.005-0.003+0.002-0.0020-0.0010.0000010.0000090.0000160.0000250.0000090.0000040.00000400.0000019393第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例1、求算術平均值依題意，假定無固定的系統(tǒng)誤差。判斷有無變化的系統(tǒng)誤差，若有，則需修正；4、判斷有無固定的系統(tǒng)誤差；2、求殘余誤差3、校核算術平均值A為末位數(shù)的一個單位計算正確9494第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例殘余誤差觀察法：誤差符號大體相同，無明顯變化規(guī)律。無變化的系統(tǒng)誤差5、求測量列單次測量的標準差BesselPeters若按不同公式計算標準偏差比較法，也可以發(fā)現(xiàn)不存在系統(tǒng)誤差。949595第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例6、判斷有無粗大誤差，剔除異常值因n(n=9)較少，按格羅布斯準則判別。查表無粗大誤差9696第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例9、按隨機誤差處理數(shù)據(jù)，給出測量結果。7、求算術平均值的標準差8、求算術平均值的極限偏差因n較少，按t分布計算極限誤差。9797第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例§2.4.1不等精度直接測量列數(shù)據(jù)處理實例1、求加權算術平均值

對某一個角度進行六組不等精度測量，各組測量結果如下：測6次得測30次得測24次得測12次得測12次得測36次得求最后的測量結果。(假設各組測量結果不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差)

例題2.12

根據(jù)測量次數(shù)確定各組的權

9898第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例取α0=75°18′06″計算均值２、求殘余誤差并進行校核

9999第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例校核（加權殘余誤差代數(shù)和等于0）計算正確3、求加權算術平均值的標準差

100100第二章誤差的基本性質與處理§2.4測量結果數(shù)據(jù)處理實例4、求加權算術平均值的極限誤差

5、求最后的測量結果

101*101本章結束102102本章作業(yè)1、在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數(shù)據(jù)（單位為mm）為20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測量結果。2、甲、乙兩測試者用正弦尺對一錐體的錐角α個各重復測量5次，測得值如下：α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”，α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”；試求其測量結果。102103103本章作業(yè)3、對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結果如下（單位為mH）：50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。4、對某量進行15次測量，測得數(shù)據(jù)為28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測得值已消除系統(tǒng)誤差，試用3σ、格羅布斯準則和狄克松準則分別判別該測量列中是否含有粗大誤差的測量值。1035、

測量圓盤的直徑

，按公式計算圓盤面積，由于選取

的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對面積S計算帶來系統(tǒng)誤差，為保證S的計算精度與直徑測量精度相同，試確定

的有效數(shù)字位數(shù)？104n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74極差法系數(shù)dn表n=10dn=3.08105n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43