第五章空間形態(tài)

第五章空間形態(tài)一、長度1、數(shù)字線狀物體的長度空間物體抽象為點(diǎn)、線、面、體等，除點(diǎn)以外的空間物體都具有形態(tài)特征。§5－1線狀物體的形態(tài)分析1）算法缺陷：計(jì)算的長度小于實(shí)際長度2）改變計(jì)算精度的途徑：通過合理的選擇曲線坐標(biāo)點(diǎn)串來改善精度。（較好）適當(dāng)?shù)募用茏鴺?biāo)點(diǎn)對，但加大了數(shù)據(jù)量。1）華羅庚直線外推法:對地圖上曲線以兩腳規(guī)按不同的腳距（d1和d2，假設(shè)d1>d2）分別量測曲線，相應(yīng)地將得到曲線長度l1和l2，由于d1>d2，故l2>l1，且l2更接近于曲線長度真值。在x，y直角坐標(biāo)系中，作平行于x軸地直線段，長度分別為l1和l2，過兩線段頂點(diǎn)作一直線相交x軸于x，則有：X的值就是直線外推法計(jì)算所得的曲線長度，它是基于兩次量測的結(jié)果。2、模擬線狀物體2）伏爾科夫曲線外推法：基于拋物線的曲線外推法，由n個(gè)兩腳規(guī)距di與n個(gè)長度量測值li所構(gòu)成的曲線是一條拋物線l0是曲線實(shí)際長度，l為量測值，d為量測腳距，為系數(shù)據(jù)上式用二次量測值即可求出l0，即3、柵格情況下線狀物體的長度用柵格表示的空間數(shù)據(jù)，線狀物體的長度直接一地物的骨架線延伸通過的柵格數(shù)目來計(jì)算。要求骨架線是八方向連接。432501678柵格1，3，5，7與柵格0以邊相鄰，而柵格2，4，6，8則與柵格以頂點(diǎn)相鄰。四方向連接：定義以邊相鄰的柵格是連接的。八方向連接：定義以邊相鄰和以角相鄰的柵格都是連接的。四方向八方向線狀地物長度根據(jù)八方向連接的骨架線計(jì)算：D為柵格邊長，Nd為骨架線中以邊相鄰的柵格對數(shù)，Ni為以角相鄰的柵格對數(shù)。二、分?jǐn)?shù)維數(shù)1、整數(shù)維數(shù)與分?jǐn)?shù)維數(shù)

1）整數(shù)維：根據(jù)歐氏理論，用整數(shù)表示幾何物體的維數(shù)。0、1、2、3維等。

整數(shù)表示的維數(shù)往往不能充分反映幾何物體的某些特性，如形態(tài)和空間延展特性。Peano曲線Koch曲線2）分?jǐn)?shù)維“英國海岸線有多長？”——Mandelbrot——“當(dāng)量測曲線的尺子越小時(shí)，曲線長度就越長，不同的曲線，隨著尺子的變化，其總長亦發(fā)生變化?！狈?jǐn)?shù)維：用分?jǐn)?shù)表示幾何物體的幾何形態(tài)特征，一般的曲線的維數(shù)為：1<Df<2。分?jǐn)?shù)維的大小描述了物體的復(fù)雜程度。步長變化——曲線長度——變化率不等2、分維數(shù)的尺度

1）曲線量測長度L與量測尺度D之間的關(guān)系2）量測面積S與周長P的關(guān)系3）曲線分?jǐn)?shù)維長度L與量測尺度（腳距）d之間的關(guān)系

4）曲線量測長度L與比例尺分母m之間的關(guān)系。根據(jù)分?jǐn)?shù)維理論，分?jǐn)?shù)維測度與相應(yīng)的尺度之間有下述關(guān)系。3、分?jǐn)?shù)維特征

1）相似性：整體與局部的相似，這種相似可以是形態(tài)、空間、時(shí)間、功能等方面的相似?！》秶鷥?nèi)的地理現(xiàn)象的變化模式－－比例縮放－－較大范圍內(nèi)的變化模式2）可以是規(guī)則與確定性的，也可以是隨機(jī)與統(tǒng)計(jì)性的?！罢邍?yán)格滿足自相似原則，是純數(shù)學(xué)的?！笳邇H指在概率分布和統(tǒng)計(jì)規(guī)律上滿足自相似原則三、曲率和彎曲度1、曲率：曲線切線方向角相對于弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，是描述曲線的局部彎曲特征。2、彎曲度：是曲線長度與曲線兩端點(diǎn)定義的線段長度之比值，描述曲線整體彎曲特征：彎曲程度及曲線的迂回特性。Ll彎曲度S=L/l彎曲度的大小可以衡量交通的便利性。一、定義曲線插值：根據(jù)線狀物體的離散點(diǎn)來確定描述出一條連續(xù)曲線，該曲線必須通過已知的離散點(diǎn)。曲線光滑：指所生成的曲線不但要連續(xù)，且至少一階可導(dǎo)，甚至高階也可連續(xù)。二、為什么要插值、光滑1）采樣點(diǎn)為離散點(diǎn)，連接時(shí)為折線2）內(nèi)插格網(wǎng)后，所求得的插值也需光滑。3）壓縮后，點(diǎn)變稀疏，必須插值使其光滑。三、基本要求：1）曲線必須嚴(yán)格通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)2）在兩點(diǎn)之間插值的曲線保持一定的松緊度3）同一結(jié)點(diǎn)兩側(cè)兩段曲線在該結(jié)點(diǎn)上保持一階可導(dǎo)、二階可導(dǎo)4）光滑曲線不能自身相交§5－2曲線插值與光滑四、插值與光滑方法1、線性插值在離散點(diǎn)的相鄰兩點(diǎn)之間，用直線段進(jìn)行連接，其直線方程為：

P（u）＝Pi（1－u）＋Pi＋1u支持線性插值的根據(jù)：（1）兩相鄰抽樣點(diǎn)之間的曲線段總是近似與直線（2）直線可認(rèn)為是一切曲線的“均值”缺陷：曲線以折線表示，不光滑，視覺效果差。2、分段三次多項(xiàng)式插值1）四型值點(diǎn)插值方法對離散點(diǎn)序列中的相鄰兩點(diǎn)（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1）之間的曲線，可以用一個(gè)三次多項(xiàng)式表示：

Y＝C0＋C1X+C2X2＋C3X3人為地設(shè)定各已知離散點(diǎn)（Xi，Yi

）上的導(dǎo)數(shù)Y’

i，Yi＝C0＋C1Xi+C2Xi2＋C3Xi3Y’i＝C1＋2C2Xi+3C3Xi2Yi＋1＝C0＋C1Xi＋1+C2Xi＋12＋C3Xi＋13Y’i＋1＝C1＋2C2Xi＋1+3C3Xi＋123、正軸拋物線加權(quán)平均法4、斜軸拋物線加權(quán)平均法5、三點(diǎn)求導(dǎo)分段三次多項(xiàng)式插值法6、五點(diǎn)求導(dǎo)分段三次多項(xiàng)式插值法7、一般樣條函數(shù)插值法8、張力樣條函數(shù)插值法五、基本步驟：1、確定相鄰兩點(diǎn)之間的插值函數(shù)2、求解插值函數(shù)的系數(shù)（用導(dǎo)數(shù)、已知點(diǎn)坐標(biāo)）3）確定插值步長4）按步長求定插值點(diǎn)，連成光滑曲線一、面積和周長1、面積是面狀物體的最基本的形態(tài)參數(shù)，其面積計(jì)算公式為：2、柵格數(shù)據(jù)表示的面狀物體可直接通過柵格計(jì)數(shù)來獲取。§5－3曲面物體的形態(tài)分析二、一維測度面狀物體A為一平面連通閉集，在A上可定義一維測度：長軸LA,短軸WA和大地長度GA。長軸LA:設(shè)A的重心為C，A中相距直線距離最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間連線記為L’A,沿L’A垂直方向平移L’A至C得LA.短軸WA：以LA為長邊方向作A的外接矩形，WA為過C點(diǎn)并垂直于LA且長度等于矩形短邊的直線段。大地距離Gd和大地長度GA：設(shè)X1，X2為A中任意相異兩點(diǎn)，其間的大地距離為包含于A中的兩點(diǎn)間通道的最短者，GA為A中任意點(diǎn)對間大地距離的最長者。在大多數(shù)情況下，LA和WA可以描述A的空間延展特性和走向。大地長度和距離反映了A中實(shí)地距離。二、最大內(nèi)切圓、最小外接圓和最小凸包1、最大內(nèi)切圓計(jì)算方法：對面狀物體A進(jìn)行柵格化處理，然后通過歐式距離變換方法。對A進(jìn)行距離變換，具有最大值的柵格即為最大內(nèi)切圓圓心，柵格的值為內(nèi)切圓的半徑。內(nèi)切圓不是唯一的傳染病醫(yī)院的選址2、最小外接圓1）多邊形的最小外接圓與多邊形有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，這些交點(diǎn)必為多邊形的頂點(diǎn)。2）若多邊形的一個(gè)外接圓與多邊形具有兩個(gè)以上的交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)又分布于圓的某個(gè)半圓上，則此圓一定不是該多邊形的最小外接圓。3）外接圓條件：具有兩個(gè)以上交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)分布于任一直線兩側(cè)。C14）最小外接圓求解過程：確定初始外接圓初始外接圓可以與多邊形只有兩個(gè)交點(diǎn)，然后即可以逐步移動(dòng)圓心O的方法確定最小外接圓。判斷交點(diǎn)是否位于某一直線的同側(cè)對所有交點(diǎn)，所計(jì)算的圓弧角度均大于90，則所有交點(diǎn)位于某直徑的同一側(cè)，否則這些交點(diǎn)必可被一直徑分為左右兩個(gè)部分。將圓心O向O’移動(dòng)找出C3逐一比較與O同一側(cè)的所有頂點(diǎn)，找出使圓心在OO’之間，并使半徑為最大的頂點(diǎn)，即是所求的C3。C23、最小凸包

1）定義：對簡單的多邊形P，Pc是包含P的最小凸多邊形注：多邊形的最小凸包與該多邊形的頂點(diǎn)集合的最小凸包是一致的。2）計(jì)算方法硬幣算法：（1）找出點(diǎn)集中的極限點(diǎn)，不失一般性，以y值最小的點(diǎn)為極限點(diǎn)，記作P0（2）以P0為原點(diǎn)，將其余的n－1個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針方向排序，（3）在點(diǎn)P0，P1,P2上分別設(shè)置一枚硬幣，標(biāo)記為“后”“中”“前”，則這三枚硬幣構(gòu)成一個(gè)“右拐”，即“前”位于從“后”到“中”方向上的右側(cè)。（4）執(zhí)行循環(huán)：如果“前”“中”“后”構(gòu)成“右拐”或者三點(diǎn)共線，則：將后挪到序列中“前”的下一點(diǎn)，重新標(biāo)記硬幣：“后”記為“前”，“前”記為“中”，“中”記為“后”；否則（3枚硬幣構(gòu)成“左拐”）將“中”挪到“后‘的后一點(diǎn)（序列中的前一點(diǎn)）將“中”原先所在的點(diǎn)從序列中刪除重新標(biāo)記硬幣：“中”記為“后”，后記為中；循環(huán)結(jié)束條件：“前”到達(dá)P并且3枚硬幣構(gòu)成“右拐”；5）依次連接序列中剩余的點(diǎn)，這些點(diǎn)依次相連則構(gòu)成點(diǎn)集的凸包?！?－4曲面擬合為了完整地描述空間曲面，為了從抽樣數(shù)據(jù)中導(dǎo)出空間曲面地其他信息，需要進(jìn)行曲面擬合。曲面擬合地根本任務(wù)是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一個(gè)數(shù)學(xué)曲面來表示原空間曲面。二、基于三角形單元的分塊插值對由P1，P2，P3三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)確定的三角形單元，擬合一平面如下：

Z＝f（x，y）＝a0＋a1x＋a2y三、基于正方形格網(wǎng)的分塊插值1、雙線性多項(xiàng)式曲面插值2、雙三次多項(xiàng)式曲面插值一、分塊插值和全局插值分塊插值：將整個(gè)分析區(qū)域，根據(jù)數(shù)據(jù)格網(wǎng)剖分為若干個(gè)小單元，每個(gè)單元上獨(dú)立地?cái)M合一個(gè)小曲面片，若干個(gè)小曲面片連接起來構(gòu)成整個(gè)空間曲面。全局插值：用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)曲面來描述待插曲面，這個(gè)統(tǒng)一的曲面必須在全部抽樣點(diǎn)上與抽樣數(shù)據(jù)吻合。一、分?jǐn)?shù)維1、空間曲線的分?jǐn)?shù)維Df描述了空間曲線的復(fù)雜程度和空間占布能力。Df＝1，曲線非常平緩，可以用一個(gè)簡單的多項(xiàng)式函數(shù)模擬。Df（1，2），曲線具有一定的模糊度，占有一定的空間。Df＝2，曲線拓展為面2、空間曲面的分?jǐn)?shù)維Df值域?yàn)椤?，3】，描述了空間曲面的復(fù)雜程度Df＝2，表現(xiàn)為一個(gè)平面。Df＝＝3，表現(xiàn)為一個(gè)非常復(fù)雜的曲面。二、表面積1、三角形格網(wǎng)的表面積：即格網(wǎng)上各三角形面片的面積和2、正方形格網(wǎng)的表面積，空間單值曲面Z＝f（x，y）的面積由重積分計(jì)算?！?－5空間曲面的形態(tài)參數(shù)地形表面是一個(gè)極不規(guī)則、復(fù)雜的曲面。在地學(xué)研究中，常用坡度、坡向、表面積、表面粗糙度、切割密度等多種地表形態(tài)描述擦秘書來描述地表形態(tài)的一種或多種特征及其地形表面的復(fù)雜程度。三、體積體積通常是指空間曲面與一基準(zhǔn)，面之間的空間的體積。當(dāng)體積為正時(shí)，工程中稱為挖方，當(dāng)體積為負(fù)時(shí)，工程中稱為填方?？臻g曲面的坡度是點(diǎn)位的函數(shù)，除非曲面是一平面，否則曲面上不同位置的坡度是不相等的。給定點(diǎn)位的坡度是曲面上該點(diǎn)的法線方向n與垂直方向之間的夾角過格網(wǎng)單元所擬合的曲面片上某點(diǎn)的切平面的法線的正方向在平面上的投影與正北方向的夾角，即法方向水平投影向量的方位角五、坡向

四、坡度§5－6曲面結(jié)構(gòu)線的計(jì)算空間曲面的形態(tài)主要受到結(jié)構(gòu)線的控制，因此結(jié)構(gòu)線的確定是曲面形態(tài)分析的重要內(nèi)容。一、極值點(diǎn)計(jì)算谷線由連續(xù)的極小值點(diǎn)構(gòu)成，而脊線是由連續(xù)的極大值點(diǎn)構(gòu)成，因此按縱、橫兩個(gè)方向并按格網(wǎng)密度，以樣條函數(shù)過格網(wǎng)高程點(diǎn)內(nèi)插曲面的縱、橫剖面線，逐剖面線計(jì)算出極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，這些點(diǎn)就是生成結(jié)構(gòu)線的任選點(diǎn)。二、谷線的跟蹤1）找出具有最大高程值的尚未跟蹤的極小值點(diǎn)；2）從此點(diǎn)開始尋找其后繼點(diǎn)，以該點(diǎn)為中心定義一兩倍于DTM格網(wǎng)邊長的搜索窗口，位于該窗口內(nèi)的某極小值點(diǎn)被確認(rèn)為下一個(gè)谷線點(diǎn)，必須滿足以下三個(gè)條件：3）檢查確定的谷線點(diǎn)是否已被跟蹤或是位于DTM邊緣，如是，跟蹤停止，啟動(dòng)一根新的谷線跟蹤，否則轉(zhuǎn)2）。三、脊線跟蹤1、脊線線段的跟蹤1）找出數(shù)值最小的尚未被跟蹤的點(diǎn)作為脊線段的起點(diǎn)（該點(diǎn)）必位于格網(wǎng)邊上；2）考察另外三邊，尋找尚未被跟蹤的極大值點(diǎn)且檢查該點(diǎn)于當(dāng)前點(diǎn)的連線是否與已生成的某條谷線相交；3）如不相交，則確認(rèn)該點(diǎn)，繼續(xù)跟蹤，否則當(dāng)前脊線段被跟蹤完成，啟動(dòng)新的脊線段。2、脊線體系生成

1）選擇具有最低值的端點(diǎn)的線段，其低值端點(diǎn)作為一條脊線的起點(diǎn)，另一端點(diǎn)作為當(dāng)前連接點(diǎn)。2）考察所有其余的未被連結(jié)的線段，如果由任何線段具有與當(dāng)前連接點(diǎn)可能連接的端點(diǎn)，則判斷a.如有一條這樣的線段，如果連接這兩條線段不與谷線或其他已生成的脊線相交，則連接兩線段，將新確認(rèn)線段的另一端點(diǎn)作為新的當(dāng)前連接點(diǎn)，繼續(xù)搜索；b.如有多于一條這樣的線段，則選擇平均搞得最高的線段連接之，并作類似于a的處理，繼續(xù)搜索，如果沒有可與其連接的線段，則本脊線搜索完備，在啟動(dòng)另一條新脊線前，先檢查以下有無已搜索完備的脊線通過當(dāng)前連接點(diǎn)所在格網(wǎng)，如有則該脊線中與當(dāng)前連接點(diǎn)最近的脊線點(diǎn)與當(dāng)前連接點(diǎn)相連，形成脊線分之點(diǎn)。§5－7DEM分析一、DEM

和DTMDEM（DigitalElevationModel），是用一組有序數(shù)值陣列形式表示地面高程的一種實(shí)體地面模型，是數(shù)字地形模型(DigitalTerrainModel，簡稱DTM)的一個(gè)分支。DTM，描述包括高程在內(nèi)的各種地貌因子，如坡度、坡向、坡度變化率等因子在內(nèi)的線性和非線性組合的空間分布數(shù)據(jù)。

DEM用途廣泛可用于如土方量計(jì)算、通視分析等；在防洪減災(zāi)方面，DEM是進(jìn)行水文分析如匯水區(qū)分析、水系網(wǎng)絡(luò)分析、降雨分析、蓄洪計(jì)算、淹沒分析等;

在無線通訊上，可用于蜂窩電話的基站分析等。二、DEM的表示方法數(shù)學(xué)方法根據(jù)區(qū)域所有的高程點(diǎn)數(shù)據(jù)，用傅立葉級數(shù)和高次多項(xiàng)式擬合統(tǒng)一的地面高程曲面。（整體）將地表復(fù)雜表面分成正方形規(guī)則區(qū)域或面積大致相等的不規(guī)則區(qū)域進(jìn)行分塊搜索，根據(jù)有限個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合形成高程曲面。（局部）圖形方法線模式表示等高線、山脊線、谷底線、海岸線等等點(diǎn)模式建立DEM的最常見方法按照規(guī)格格網(wǎng)采樣按照不規(guī)格格網(wǎng)采樣密度可以一致，可以不一致三、DEM的主要模型規(guī)格格網(wǎng)模型規(guī)則網(wǎng)格，通常是正方形，也可以是矩形、三角形等規(guī)則網(wǎng)格。規(guī)則網(wǎng)格將區(qū)域空間切分為規(guī)則的格網(wǎng)單元，每個(gè)格網(wǎng)單元對應(yīng)一個(gè)數(shù)值。數(shù)學(xué)上可以表示為一個(gè)矩陣，在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中則是一個(gè)二維數(shù)組。每個(gè)格網(wǎng)單元或數(shù)組的一個(gè)元素，對應(yīng)一個(gè)高程值。等高線模型等高線模型表示高程，高程值的集合是已知的，每一條等高線對應(yīng)一個(gè)已知的高程值，這樣一系列等高線集合和它們的高程值一起就構(gòu)成了一種地面高程模型。

不規(guī)則三角網(wǎng)模型(TIN,TriangularIrregularNetwork)TIN模型根據(jù)區(qū)域有限個(gè)點(diǎn)集將區(qū)域劃分為相連的三角面網(wǎng)絡(luò)，區(qū)域中任意點(diǎn)落在三角面的頂點(diǎn)、邊上或三角形內(nèi)。如果點(diǎn)不在頂點(diǎn)上，該點(diǎn)的高程值通常通過線性插值的方法得到（在邊上用邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的高程，在三角形內(nèi)則用三個(gè)頂點(diǎn)的高程）。層次模型層次地形模型（LayerofDetails，LOD）是一種表達(dá)多種不同精度水平的數(shù)字高程模型。大多數(shù)層次模型是基于不規(guī)則三角網(wǎng)模型的，通常不規(guī)則三角網(wǎng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多精度越高，但數(shù)據(jù)點(diǎn)多則要求更多的計(jì)算資源。層次地形模型允許根據(jù)不同的任務(wù)要求選擇不同精度的地形模型。存在的問題層次的數(shù)據(jù)必然導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余自動(dòng)搜索的效率問題，三角網(wǎng)形狀的優(yōu)化問題模型可能允許根據(jù)地形的復(fù)雜程度采用不同詳細(xì)層次的混合模型在表達(dá)地貌特征方面應(yīng)該一致四、DEM的建立DEM數(shù)據(jù)采集地面測量現(xiàn)有地圖數(shù)字化GPS結(jié)合雷達(dá)、激光測高儀等數(shù)字?jǐn)z影測量數(shù)字?jǐn)z影測量沿等高線采樣