高中數(shù)學(xué)人教A版1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測評4

學(xué)業(yè)分層測評(四)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．如圖1-3-32，D，E，F(xiàn)是△ABC的三邊中點，設(shè)△DEF的面積為eq\f(1,4)，△ABC的周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是()圖1-3-32\f(9,2)，1 B．9,4\f(9,2)，8 \f(9,4)，16【解析】∵D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB.∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1，故選A.【答案】A2．如圖1-3-33，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是()圖1-3-33A．5 B．C． D．【解析】由△CBF∽△CDE，得eq\f(BF,DE)＝eq\f(CB,CD)，又點E是AD的中點，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即eq\f(BF,3)＝eq\f(6,10)，∴BF＝.【答案】D3．如圖1-3-34所示，D是△ABC的AB邊上一點，過D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，則△ADE與四邊形BCED的面積比為()圖1-3-34A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16【解析】因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因為AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面積比為1∶16，則所求兩部分面積比為1∶15.【答案】C4．某同學(xué)自制了一個簡易的幻燈機，其工作情況如圖1-3-35所示，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5m，幻燈片上小樹的高度是10cm，則屏幕上小樹的高度是()【導(dǎo)學(xué)號：07370017】圖1-3-35A．50cm B．500cmC．60cm D．600cm【解析】設(shè)屏幕上小樹的高度為xcm，則eq\f(10,x)＝eq\f(30,30＋150)，解得x＝60(cm)．【答案】C5．如圖1-3-36，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，則eq\f(S△ADE,S△ABC)＝()圖1-3-36\f(1,4) \f(1,2)\f(2,3) \f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE，得eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9).【答案】D二、填空題6．如圖1-3-37，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________．圖1-3-37【解析】∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴eq\f(BF,AE)＝eq\f(BG,GA)＝eq\f(3,1)，∵D為AC中點，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,DC)＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.【答案】57．如圖1-3-38，AB與CD相交于點E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，則PE＝________.圖1-3-38【解析】因為PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因為∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，則eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)8．(2023·湛江高三調(diào)研)如圖1-3-39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面積是a2，梯形DBCE的面積是8a2，則eq\f(AD,AB)＝________.圖1-3-39【解析】∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(a2,9a2)＝eq\f(1,9)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答題9．如圖1-3-40，已知在△ABC中，D是BC邊的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.圖1-3-40(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．【解】(1)證明：∵DE⊥BC，D是BC的中點，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)過點A作AM⊥BC，垂足為點M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴eq\f(S△ABC,S△FCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,CD)))2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，∴20＝eq\f(1,2)×10×AM，∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).∵DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2))，∴DE＝eq\f(8,3).10．如圖1-3-41，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，求這個矩形零件的邊長．圖1-3-41【解】設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E，H分別在AB，AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為xmm.∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(EH,BC)，∴eq\f(300－2x,300)＝eq\f(x,200)，解得x＝eq\f(600,7)(mm)，2x＝eq\f(1200,7)(mm)．答：加工成的矩形零件的邊長分別為eq\f(600,7)mm和eq\f(1200,7)mm.[能力提升]1．如圖1-3-42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC等于()圖1-3-42A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3【解析】設(shè)正方形邊長為x，則由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(x,2)＝eq\f(1－x,1)，所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).【答案】C2．如圖1-3-43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()圖1-3-43A．10 B．12C．16 D．18【解析】∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5)，∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.【答案】C3．在△ABC中，如圖1-3-44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分別交AB，AC于E，D兩點，且S△ADE＝S四邊形BCDE，則DE＝________.【導(dǎo)學(xué)號：07370018】圖1-3-44【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＋S四邊形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四邊形BCDE，∴S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,BC)))2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,m)))2＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(\r(2),2)m.【答案】eq\f(\r(2),2)m4．某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下兩底分別為10cm、20cm的梯形空地上種植花木．(1)他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m2，當(dāng)△AMD地帶種滿花后(如圖1-3-45陰影部分)共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用；圖1-3-45(2)若其余地帶要種的有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇種哪種花木可以剛好用完所籌集的資金？【解】(1)∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴eq\f(S△AMD,S△CMB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,BC)))2＝eq\f(1,4).∵種植△AMD地帶花費160元，∴S△AMD＝eq\f(160,8)＝20(m2)，∴S△CMB＝80(m2)．∴△BMC地帶的花費為80×8＝640(元)．(2)設(shè)△AMD，△BMC的高分別為h1，h2，梯形ABCD的高為h，∵S△AMD＝eq\f(1,2)×1