第六章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

第六章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第六章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

§6–1描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的矢量法

§6–2描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法

§6–3自然法

結(jié)論與討論§6-1矢量法1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程—變矢量形式MMMOxyz動(dòng)點(diǎn)M在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r的末端將描繪出一條連續(xù)曲線，稱為矢端曲線或稱矢徑端圖，它就是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。運(yùn)動(dòng)方程用點(diǎn)在任意瞬時(shí)t的位置矢量r(t)表示。

r(t)簡(jiǎn)稱為矢徑。oxyz—參考系r—?jiǎng)狱c(diǎn)M相對(duì)于原點(diǎn)O的位置矢量（矢徑）運(yùn)動(dòng)方程2、點(diǎn)的速度矢量（1）點(diǎn)的平均速度MMO

t時(shí)間間隔內(nèi)矢徑的改變量—點(diǎn)M的位移動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔△t內(nèi)的平均速度（2）點(diǎn)的瞬時(shí)速度速度

—描述點(diǎn)在t瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的力學(xué)量。速度的方向沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線；指向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致；速度大小等于速度矢量的模。速度端圖MMO（1）點(diǎn)的平均加速度

t時(shí)間間隔內(nèi)速度的改變量動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔△t內(nèi)的平均加速度（2）點(diǎn)的瞬時(shí)加速度O2、點(diǎn)的加速度矢量點(diǎn)在t

瞬時(shí)的加速度：

t時(shí)間間隔內(nèi)速度的改變量v′xzyOr′P′v′t＋

t瞬時(shí):速度v(t＋

t)

或v(t)＋v(t)

v

v(t)＝v(t＋

t)－v(t)vPrt瞬時(shí):速度v(t)加速度

—描述點(diǎn)在t瞬時(shí)速度大小和方向變化率的力學(xué)量。加速度的方向?yàn)関的極限方向(指向與軌跡曲線的凹向一致)

加速度大小等于矢量a的模?！?-2直角坐標(biāo)法

1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程不受約束的點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在空間的位置由3個(gè)方程確定：xzyOM（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（2）點(diǎn)的軌跡方程（與時(shí)間t無關(guān)）平面曲線yxzz

2、點(diǎn)的速度(Oxyz)為定參考系

點(diǎn)的速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。xzyOMyxzz速度的大小：速度的方向余弦：xzyOyxzM

點(diǎn)的加速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

3、點(diǎn)的加速度xzyOyxzM設(shè)：加速度的大?。杭铀俣鹊姆较蛴嘞遥豪}1橢圓規(guī)的曲柄OA可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，端點(diǎn)A以鉸鏈連接于規(guī)尺BC；規(guī)尺上的點(diǎn)B和C可分別沿互相垂直的滑槽運(yùn)動(dòng)，求規(guī)尺上任一點(diǎn)M的軌跡方程。ACByOxMxy已知:考慮任意位置，M點(diǎn)的坐標(biāo)x，y可以表示成消去上式中的角

，即得M點(diǎn)的軌跡方程:解:ACByOxMxy軌跡演示思考題：M點(diǎn)的軌跡是什么曲線

？軌跡演示例題2半徑為r的輪子沿直線純滾（不滑動(dòng)），輪轉(zhuǎn)角

=t(為常量），求輪上任一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。xCOyMEv解：取M點(diǎn)與地接觸，開始時(shí)該點(diǎn)與直角坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合,建立圖示直角坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)表示的M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：O1§6-3自然法1、弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動(dòng)方程思路：如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過的弧長(zhǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律描述?；∽鴺?biāo)具有以下要素：（1）有坐標(biāo)原點(diǎn)(一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn))；（2）有正、負(fù)方向(一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作為正向)；（3）有相應(yīng)的坐標(biāo)系(自然軸系)。s=f

(t)M(+)(-)Os弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程：2、自然軸系（1）密切面當(dāng)P′點(diǎn)無限接近于P點(diǎn)時(shí)，過這兩點(diǎn)的切線所組成的平面，稱為P點(diǎn)的密切面。①空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面，而且是惟一的。②空間曲線上的任意點(diǎn)無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長(zhǎng)，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。③對(duì)于平面曲線而言，密切面就是該曲線所在的平面。結(jié)論：密切面s-s+PT(切線)B(副法線)（2）自然軸系自然軸系P－nb

P－空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)；T—過動(dòng)點(diǎn)P的密切面內(nèi)的切

線，其正向指向弧坐標(biāo)正向；N—密切面內(nèi)垂直于切線的直線，其正向指向曲率中心；B—過動(dòng)點(diǎn)P垂直于切線和主法

線的直線，其正向由B＝T×

N確定。nb自然軸系的基矢量：、n、b

b=×nN(主法線)法平面自然軸系的特點(diǎn)：跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線運(yùn)動(dòng)。

自然軸系的單位矢量、n、b

是方向在不斷變化的單位矢量。固定的直角坐標(biāo)系的單位矢量i、j、k則是常矢量。3、點(diǎn)的速度M′MO經(jīng)過△t時(shí)間間隔，點(diǎn)沿軌跡由M到M′與M點(diǎn)的切線方向一致所以，v

和分別表示速度的大小與方向。（2）式中有關(guān)兩點(diǎn)討論：,則，即點(diǎn)沿著s+的方向運(yùn)動(dòng)；反之點(diǎn)沿著s－的方向運(yùn)動(dòng)。（1）若點(diǎn)的速度沿切線方向，大小為弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。MM′O4、點(diǎn)的加速度反映速度大小的變化，記為反映速度方向的變化，記為（1）反映速度大小變化的加速度方向沿軌跡切線。稱為切向加速度。（2）反映速度方向變化的加速度M’M曲率定義：曲線切線的轉(zhuǎn)角對(duì)弧長(zhǎng)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值。曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑。曲率半徑用ρ表示。和′以及

同處于M點(diǎn)的密切面內(nèi)，的極限方向垂直于，亦即n方向。MM′加速度表示為自然軸系投影形式切向加速度法向加速度幾點(diǎn)討論切向加速度表示速度矢量大小的變化率；法向加速度表示速度矢量方向的變化率；表明加速度

a在副法線方向沒有分量；還表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面內(nèi)。點(diǎn)的加速度的大小和方向若

at

=恒量，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為曲線勻變速運(yùn)動(dòng)由 dv=at

dt積分得v=v0+att同理，得s=s0

+v0t+

上兩式雖與點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)的公式完全相似，但式at不是a，at反映點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度大小變化。曲線勻速運(yùn)動(dòng)：

at

=0

注意：曲線運(yùn)動(dòng)中，除v=0的瞬時(shí)外，點(diǎn)的法向加速度總不為零。直線或曲線的拐點(diǎn)處ρ→∞，法向加速度等于零。幾點(diǎn)討論s解（1）建立圖示弧坐標(biāo)OMAB2C加速度速度運(yùn)動(dòng)方程va例題3已知：R，=t(為常數(shù)），求：(1)小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度；(2)小環(huán)M相對(duì)于AB桿的速度、加速度(2)建立圖示直角坐標(biāo)系加速度速度運(yùn)動(dòng)方程OMAB2Cx′y′例題4

銷釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動(dòng)，OA=R=0.1m。已知擺桿的轉(zhuǎn)角（時(shí)間以s計(jì)，φ以rad計(jì)），試求銷釘在t1=1/4s和t2=1s時(shí)的加速度。ROωφREDBCsO'Aθ-s+s運(yùn)動(dòng)演示已知銷釘B的軌跡是圓弧DE，中心在A點(diǎn)，半徑是R。選滑道上O'點(diǎn)作為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以O(shè)'D為正向。則B點(diǎn)在任一瞬時(shí)的弧坐標(biāo)這就是B點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)方程。解：但是，由幾何關(guān)系知，且，將其代入上式，得

ROωφREDBCsO'Aθ-s+sROωφREDBCsO'Aθ-s+sB點(diǎn)的速度vtB點(diǎn)的加速度a在切向的投影而在法向的投影atan且a1沿切線的負(fù)向。當(dāng)

時(shí),,，又

,?？梢?這時(shí)B點(diǎn)的加速度大小當(dāng)t1=1s

時(shí),

又可見，這時(shí)點(diǎn)B的加速度大小且a2沿半徑B2A。a2=a1nADB1B2Rθ1Ea1=a1t描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法比較●變矢量法－結(jié)果簡(jiǎn)明，具有概括性，且與坐標(biāo)選擇無關(guān)。對(duì)于實(shí)際問題需將變矢量及其導(dǎo)數(shù)表示成標(biāo)量及其導(dǎo)數(shù)的形式?！裰苯亲鴺?biāo)法－實(shí)際問題中，一種廣泛應(yīng)用的方法?！窕∽鴺?biāo)法－應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情形，其最大特點(diǎn)是將速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開來，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義物理意義更加清晰。結(jié)論與討論點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)應(yīng)用的兩類問題第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)軌跡，確定速度與加速