第八章一元?dú)怏w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)-終1

第八章一元?dú)怏w動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§8.1聲速和馬赫數(shù)§8.2一元?dú)饬鞯牧鲃?dòng)特性§8.3等熵和絕熱氣流的基本方程式與基本概念§8.4收縮噴管和拉瓦爾噴管的計(jì)算流速密度氣體的一元流動(dòng)雖然簡單但很實(shí)用。除航空科學(xué)外，許多技術(shù)領(lǐng)域中氣體問題大都可簡化為一元流動(dòng)問題，如發(fā)動(dòng)機(jī)的空氣供給、風(fēng)動(dòng)工具、燃?xì)廨喓蜏u輪增壓器等。前言3．氣體狀態(tài)參數(shù)：氣體的絕對溫度本章主要介紹氣體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本理論。1．氣體動(dòng)力學(xué)：就是研究可壓縮氣體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其在工程中應(yīng)用的一門科學(xué)。2．氣體的一元流動(dòng)：是氣體動(dòng)力學(xué)中最基本的內(nèi)容，只研究氣體流動(dòng)參數(shù)在過流斷面上的平均值的變化規(guī)律，而不研究氣體流場的空間變化情況。壓強(qiáng)1.聲速的定義：微弱擾動(dòng)在介質(zhì)中的傳播速度?！?.1聲速和馬赫數(shù)一、聲速的定義及聲速方程式將聲速作為微弱擾動(dòng)波傳播速度的統(tǒng)稱。聲波即是一種微弱擾動(dòng)波。2.聲速方程式等直圓管中充滿著靜止的可壓縮流體，溫度為T壓強(qiáng)為密度ρ活塞突然以微小速度向右運(yùn)動(dòng)

微弱的擾動(dòng)以速度c向右傳播波后氣體處于受擾動(dòng)狀態(tài)：（1）受到擾動(dòng)的氣體在dt時(shí)間前和dt時(shí)間后的質(zhì)量守恒方程式dt時(shí)間前氣體的質(zhì)量為：dt時(shí)間后氣體的質(zhì)量為:根據(jù)質(zhì)量守恒定律：消去dtA，展開，并略去高階微量得：

（2）分析受到擾動(dòng)這部分氣體的動(dòng)量方程：dt時(shí)間前氣體的動(dòng)量為0，dt時(shí)間后氣體的動(dòng)量為：氣體所受的合外力為：因此，動(dòng)量方程為：消去dtA：

越大，越易壓縮，

越小——聲速定義式液體：解得：得：代表密度隨壓強(qiáng)的變化率，可壓縮性越大，其倒數(shù)則越小因而：音速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)3．聲速方程式的另外兩種形式因?yàn)槲⑷醯臄_動(dòng)波的傳播速度很快，所引起的氣體的壓強(qiáng)、溫度和密度的變化也很微小，因此可以假設(shè)此過程不僅絕熱而且可逆（等熵過程）對于絕熱并且可逆的等熵過程，有：絕熱或等熵指數(shù):氣體的比體積又根據(jù)完全氣體狀態(tài)方程：對于空氣來說，絕熱指數(shù)：氣體常數(shù)：因此空氣中的音速為：Rg－氣體常數(shù)（空氣：287J/kg·K）討論：（1）音速與本身性質(zhì)有關(guān)（2）越大，越易壓縮，c越小音速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)（3）當(dāng)?shù)匾羲伲?）空氣M<1亞音速流動(dòng)M=1音速流動(dòng)M>1超音速流動(dòng)二、馬赫數(shù)Ma1．定義：即流體速度u與介質(zhì)中音速C之比。在流速一定的情況下，當(dāng)?shù)芈曀僭酱?，Ma越小，氣體壓縮性就越小。則，其馬赫數(shù)Ma為：例：在風(fēng)洞中，空氣流速u＝150m/s，其溫度為25℃，試求其馬赫數(shù)Ma？解;當(dāng)空氣為25℃，其聲速為：2．氣流流動(dòng)狀態(tài)在無界可壓縮流場中，某處設(shè)一間隙性聲源，每隔1秒法一次聲。設(shè)：聲速為c來流速度為V，觀察者與聲源距離為r馬赫數(shù)越大，馬赫角越小。一般M＞3稱為高超音速流動(dòng)，此時(shí)擾動(dòng)區(qū)域只有2d＜40°的范圍，馬赫錐外320°空間中皆不受擾動(dòng)。3．超聲速流場中馬赫角

M<1亞音速流動(dòng)M=1音速流動(dòng)M>1超音速流動(dòng)聲速V=cMa=1聲源上游不同亞聲速0<V<c0<Ma<1無不同靜止V=0Ma=0無相同流場名稱流速馬赫數(shù)是否有寂靜區(qū)聽到聲音的頻率超聲速V>cMa>1馬赫錐外不同§8.2可壓縮氣體一元流動(dòng)的基本方程式及流動(dòng)特性對于液體或氣體的一元流動(dòng)都是普遍適用的。氣體在管道中作定常等熵流動(dòng)時(shí)，取有效截面上流動(dòng)參數(shù)的平均值代替截面上各點(diǎn)的參數(shù)值，這洋的管道流動(dòng)即可認(rèn)為是一維定常等墑流動(dòng)。下面通過討論一元?dú)饬鞯幕痉匠淌窖芯苛鲃?dòng)特性。

一、可壓縮氣體總流的連續(xù)性方程式對上式取對數(shù)，得：再微分：可壓縮氣體密度變化狀態(tài)方程R——?dú)怏w常數(shù)（空氣：287J/kg·K）二、可壓縮氣體的能量方程式理想流體做定常流動(dòng)，沿流線的積分方程為：忽略質(zhì)量力，力的勢函數(shù)并且等熵氣流不計(jì)摩擦則：微分得：——理想氣體一元恒定流的能量方程——?dú)W拉運(yùn)動(dòng)微分方程——理想氣體一元恒定流的能量方程一些常見的熱力過程（1）等容過程積分：——機(jī)械能守恒（2）等溫過程代入積分得可壓縮理想氣體在等溫過程中的能量方程（3）絕熱過程理想氣體的絕熱過程→等熵過程——絕熱指數(shù)代入積分得或證明：可壓縮理想氣體在絕熱過程中的能量方程或——焓內(nèi)能u（4）多變過程——多變指數(shù)可壓縮理想氣體的能量方程n→±∞等容過程n=0等壓過程n=1等溫過程n=k絕熱過程例1：文丘里流量計(jì)，進(jìn)口直徑d1=100mm，溫度t1=20℃，壓強(qiáng)p1=420kPa，喉管直徑d2=50mm，壓強(qiáng)p2=350kPa，已知當(dāng)?shù)卮髿鈮簆a=101.3kPa，求通過空氣的質(zhì)量流量解：噴管——等熵過程空氣k=1.4R=287J/kg·KT——熱力學(xué)溫標(biāo)（K）p——絕對壓強(qiáng)解題思路：狀態(tài)（過程）方程、連續(xù)性方程、能量方程絕熱過程方程狀態(tài)方程連續(xù)性方程能量方程解得例2：理想氣體在兩個(gè)狀態(tài)下的參數(shù)分別為T1、p1和T2、p2（1）密度的相對變化率密度相對變化率（2）內(nèi)能變化（3）焓的變化（4）熵的變化為了分析通道截面積的變化對一維定常等熵流動(dòng)流速變化的影響，可以由連續(xù)性方程的微分形式與忽略重力作用的理想流體一維定常流動(dòng)歐拉微分方程聯(lián)立、推導(dǎo)出如下的微分方程式：1．流速度與密度的關(guān)系三、一元?dú)饬魉?dú)特具有的兩個(gè)重要基本特性由兩式可以看出：（1）不論Ma＜1或Ma＞1，只要du＞0，則dp＜0，反之，du＜0時(shí)，則dp＞0，即：加速氣流，必然引起壓強(qiáng)降低，密度下降，氣體體積膨脹；減速氣流，必然引起壓強(qiáng)升高，密度上升，氣體體積壓縮；（2）Ma＜1時(shí)．密度的相對變化量小于速度的相對變化量，即：（3）Ma＞1時(shí)．密度的相對變化量大于速度的相對變化量，即：由連續(xù)性方程:2．氣流速度與流道截面積的關(guān)系

由此可以看到：又：∴（1）當(dāng)Ma＜1，即氣流速度v＜c。，氣流作亞音速流動(dòng)時(shí)，dA與dv異號。若要：氣流加速(dv＞0)，則dA＜0，即通道截面積須沿流動(dòng)方向變小。若要：氣流減速(dv＜0)，則dA＞0，即通道截面積須沿流動(dòng)方向增大，這意味著：通道截面積在此時(shí)有極值。最小斷面才可能達(dá)到音速（2）當(dāng)Ma>1，即氣流速度v＞c，氣流作超音速流動(dòng)時(shí)，dA與dv同號。若要：氣流加速(dv＞0)，須有dA＞0，即通道截面積須沿流動(dòng)方向增大。若要：氣流減速(dv＜0)，則有dA＜0，即通道截面必須沿流動(dòng)方向減小。（3）當(dāng)Ma＝l，即氣流速度v＝c，氣流作音速流動(dòng)，這時(shí)有：實(shí)驗(yàn)證明，該極值是極小值。通道中截面積最小的部分稱為喉部。因此可以說，Ma＝1的臨界狀態(tài)只能出現(xiàn)在通道的截面最小處，即喉部。收縮管擴(kuò)張管2.討論dv與dp、dρ、dT異號流動(dòng)參數(shù)Ma<1Ma>1漸縮管漸擴(kuò)管漸縮管漸擴(kuò)管流速v壓強(qiáng)p密度ρ溫度T增大減小減小減小減小增大增大增大減小增大增大增大增大減小減小減小一元等熵氣流各參數(shù)沿程的變化趨勢Ma>1dV<0dV>0Ma<1dV>0dV<0忽3．拉瓦爾噴管（1）拉瓦爾噴管的結(jié)構(gòu)收縮段加速→喉部聲速→擴(kuò)張段超聲速（2）拉瓦爾噴管的目的將氣流由亞聲速加速到超聲速其收縮段如果按照下列維托辛斯基公式繪制，可以避免流場的不均勻性。拉伐爾噴管壓強(qiáng)下降擴(kuò)壓管壓強(qiáng)上升引射器（噴管+擴(kuò)壓管）例：滯止參數(shù)為p0=10.35×105Pa，T0=350K的空氣進(jìn)入收縮噴管，出口截面的直徑d=12mm，當(dāng)出口的外部環(huán)境壓力Pa（背壓）分別為7×105Pa和5×105Pa，計(jì)算噴管的質(zhì)量流量解：空氣k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K（1）臨界參數(shù)p*（2）當(dāng)pa=7×105Pa>P*噴管出口壓強(qiáng)（3）當(dāng)pa=5×105Pa<P*出口參數(shù)均按臨界參數(shù)p*、T*、ρ*§8-3等熵和絕熱氣流的基本方程式和基本概念一、基本方程式當(dāng)氣體在絕熱短管中作高速流動(dòng)時(shí)，邊界層的影響可以忽略不計(jì)，流動(dòng)簡化為等熵流能量方程。為推廣的伯努利方程。又：

1．等熵氣流的基本方程式1積分得：又：2.滯止參數(shù)（駐點(diǎn)參數(shù)）

2．等熵氣流的基本方程式1（1）完全氣體狀態(tài)方程：Rg為氣體常數(shù)，空氣Rg=287J/kg·K（2）比熱容：單位質(zhì)量流體溫度升高一度所需要的熱量。當(dāng)容積保持不變時(shí)稱為比定容熱容:當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時(shí)稱為比定壓熱容:比熱比:空氣γ=1.4（3）等熵和絕熱氣流的基本方程式方程式的物理意義通過最后一式可以看得很清楚。因?yàn)椋簡挝毁|(zhì)量氣體所具有的動(dòng)能：單位質(zhì)量氣體所具有的壓能：單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能焓h＝壓能＋內(nèi)能總能量守恒二、一元?dú)饬鞯幕緺顟B(tài)及狀態(tài)參數(shù)（1）滯止?fàn)顟B(tài)及滯止參數(shù)（駐點(diǎn)參數(shù)）速度為零時(shí)的狀態(tài)為滯止?fàn)顟B(tài)。速度為零處的狀態(tài)參數(shù)稱為滯止參數(shù)。用下標(biāo)0表示，如滯止?fàn)顟B(tài)參數(shù)：此時(shí)，內(nèi)能和壓力能的總和（焓）升到最大同理：

氣體的溫度升到最大值，因此T0稱為總溫氣體的滯止溫度滿足：氣體在大容器中流速為零的狀態(tài)，可以認(rèn)為是滯止?fàn)顟B(tài)1.一元?dú)饬鞯幕緺顟B(tài)。（2）臨界狀態(tài)及臨界參數(shù)當(dāng)流速恰好等于當(dāng)?shù)芈曀俚慕孛?，稱為臨界斷面拉瓦爾管M＝1的喉部為臨界斷面臨界斷面上的一切參數(shù)均稱為臨界參數(shù)，并用下標(biāo)*表示在臨界狀態(tài)下：（3）極限速度狀態(tài)此時(shí)氣流的狀態(tài)稱為極限速度狀態(tài)。都為0氣體的全部能量都轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能的狀態(tài)。此時(shí)，而最大速度僅是理論上速度的極限值．因?yàn)榻^對壓強(qiáng)為零的絕對真空與熱力學(xué)溫度為零度的狀態(tài)實(shí)際上是達(dá)不到的，而且早在絕對溫度降至零度之前，氣體早已液化了。性質(zhì)：（1）在等熵流動(dòng)中，滯止參數(shù)值不變；（2）在等熵流動(dòng)中，速度增大，參數(shù)值降低；（3）氣流中最大音速是滯止音速；（4）在有摩擦的絕熱過程中，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，總能量不變——T0，c0，h0不變，

p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RgT0不變。如有能量交換，吸收能量T0↑，放出能量T0↓2.基本狀態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系（1）流動(dòng)參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系（2）極限速度與滯止參數(shù)的關(guān)系2.基本狀態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系（3）臨界聲速與與滯止參數(shù)的關(guān)系在臨界斷面上:因此：由此得：（4）臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系空氣:

（5）流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系因?yàn)椋豪喝萜髦械膲嚎s氣體經(jīng)過一收縮噴嘴射出，出口絕對壓力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中壓強(qiáng)和溫度？解：噴口處已知:空氣在一噴管內(nèi)作定常等熵流動(dòng)。設(shè)截面1的狀態(tài)參數(shù)為：設(shè)截面2的狀態(tài)參數(shù)為：求：截面1和2上的其他狀態(tài)參數(shù)與流速？解：截面1的其他參數(shù)為：由M1＝0.4及M2＝0.9查等熵流動(dòng)氣動(dòng)函數(shù)表可得：設(shè):噴管前的滯止參數(shù)為:§8-4收縮噴