第5章 積分變換與復變函數(shù)問題的計算機求解

2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02第5章積分變換與復變

函數(shù)問題的計算機求解Laplace變換及其反變換Fourier變換及其反變換其他積分變換問題及求解Z變換及其反變換復變函數(shù)問題的計算機求解差分方程的求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1Laplace變換及其反變換Laplace變換及反變換定義與性質Laplace變換的計算機求解數(shù)值Laplace變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.1Laplace變換及

反變換定義與性質Laplace變換的數(shù)學描述Laplace變換的性質線性性質其中，a與b均為標量2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Laplace變換的性質時域平移性質:

s-域平移性質:微分性質：n階微分2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02當所有的初值為0時，那么積分性質零初始條件：多重積分：初值性質2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02終值性質如果沒有的極點，卷積性質：其中卷積算子*的定義:2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02其他性質：Laplace反變換:

其中，s大于函數(shù)F(s)奇點的實部2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.2Laplace變換的計算機求解Laplace變換問題的求解步驟：定義符號變量

t，在定義時域函數(shù)直接調用laplace()函數(shù)采用默認的t

為時域變量用戶指定時域變量v和復域變量名u2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02調用pretty()函數(shù)或latex()函數(shù)對結果進行進一步處理Laplace反變換：函數(shù)調用格式： 采用默認的為時域變量用戶指定時域變量和復域變量名2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.1給定函數(shù)求它的Laplace變換MATLAB求解語句化簡答案結果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.2給定求它的Laplace變換對結果求反變換，看看能不能還原Laplace變換Laplace反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.3求下列函數(shù)的Laplace反變換直接求解高精度數(shù)值解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.4給定推導和之間的關系

和與兩者之間的比較誤差是什么？2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02考慮到初值條件:回憶公式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.5試推導出的微分公式MATLAB求解語句函數(shù)8階導數(shù)的Laplace變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.6對求MATLAB求解語句：分子多項式合并同類項：結果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.3Laplace變換問題的數(shù)值求解為什么要研究數(shù)值求解原函數(shù)過于復雜，沒有解析解無需解析表達式，得到圖形即可時Laplace反變換數(shù)值解工具JurajValsa函數(shù)調用方法一般不建議給出otherpars，采用默認值注意，函數(shù)本身bug，初始時刻不能為02/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.7例5.3中的例子，現(xiàn)在求數(shù)值解前面的解析解（可讀性差）可讀性差的原因是代數(shù)方程沒有解析解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02數(shù)值求解參數(shù)對精度的影響運算速度2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02復雜系統(tǒng)的輸出計算系統(tǒng)框圖用數(shù)值方法計算輸出輸出信號系統(tǒng)復雜，如分數(shù)階系統(tǒng)，解析解不能求出輸入為復雜信號，不能求其Laplace變換輸入信號只給出數(shù)據(jù)點，沒有函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.8不能求解析解的問題（分數(shù)階模型）感興趣區(qū)間解析解不存在（無窮級數(shù)）數(shù)值求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02輸入信號的Laplace數(shù)值變換使用定義式數(shù)值積分求取MATLAB新版本的integral數(shù)值積分函數(shù)已知數(shù)據(jù)點，采用插值方法第8章詳細介紹插值，這里用interp1函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02系統(tǒng)輸出數(shù)值求取的函數(shù)編寫函數(shù)（利用INVLAP）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02接上頁調用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.9前面的系統(tǒng)輸入信號求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02如果輸入信號不知道函數(shù)，只已知數(shù)據(jù)假設數(shù)據(jù)點由前面函數(shù)以0.2為步距生成需要在積分中用插值方法得出輸入計算量大，速度慢其他快速方法的探索？2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2Fourier變換及其反變換Fourier變換及反變換定義與性質Fourier變換的計算機求解Fourier正弦和余弦變換離散Fourier正弦、余弦變換快速Fourier變換——數(shù)值方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.1Fourier變換

及反變換定義與性質Fourier變換的定義：Fourier反變換的定義：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier變換的性質線性性質：其中a

與b

均為標量平移性質：復域平移性質：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02微分性質：n階微分的Fourier變換積分性質n重積分的Fourier變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02尺度變換性質卷積性質：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.2Fourier變換的計算機求解Fourier變換的函數(shù)調用格式按默認變量進行Fourier變換將的函數(shù)變換成的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier反變換的函數(shù)調用格式按默認變量進行Fourier反變換將的函數(shù)變換成的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.10給定寫出該函數(shù)的Fourier變換式Fourier變換Heaviside函數(shù)、手工化簡Fourier反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.11給定試求出其Fourier變換Fourier變換手工化簡結果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.12給定，求Fourier變換數(shù)學手冊結果使用fourier()命令2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02使用直接積分方法注意：MATLAB不是對任一個函數(shù)都能求其Fourier變換的2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.3Fourier正弦和余弦變換Fourier正弦正反變換的一般定義為Fourier余弦正反變換的一般定義為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02求解Fourier正弦正反變換求解Fourier余弦正反變換早期版本還直接調用Maple中的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13給定試求出其余弦Fourier變換MATLAB求解命令2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13給定用Maple中的函數(shù)求其Fourier余弦變換和Fourier余弦反變換問題Fourier余弦變換Fourier余弦反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.14分段函數(shù)試求其Fourier余弦變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02分段函數(shù)描述的直接求解數(shù)學表達式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.4離散Fourier正弦、余弦變換離散Fourier正、余弦變換離散Fourier正、余弦反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.15給定其中a>0，計算其離散Fourier正弦變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.5快速Fourier變換離散Fourier變換反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02快速Fourier變換快速Fourier變換（fastFouriertransform，F(xiàn)FT）技術是求解離散Fourier變換的最實用、也是最通用的方法。MATLAB直接求解特點：高效、快速任意序列長度，長度不要求為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.16原型函數(shù)先FFT，再FFT反變換，看看能否還原MATLAB求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02多維FFT二維FFT正變換fft2()反變換ifft2()多維FFT正變換fftn()反變換ifftn()2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3其他積分變換問題及求解Mellin變換Hankel變換及求解說明：以Maple為引擎的符號運算可以調用Maple函數(shù)直接求解，新版本的MATLAB下MuPAD不支持這樣的變換，所以只能通過底層命令求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3.1Mellin變換Mellin變換的定義Mellin反變換的定義2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.17給定試求其Mellin變換MATLAB求解語句結果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.18給定，對若干個n值求取Mellin變換，并總結出對一般n值的規(guī)律MATLAB求解語句（對）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02一般的Mellin變換規(guī)律：函數(shù)調用格式早期MATLAB，新版不支持Mellin變換Mellin反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.16給定，用Maple

函數(shù)求其Mellin變換，并對結果進行反變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3.2Hankel變換及求解

階Hankel變換的數(shù)學表達式為其中，為Bessel函數(shù)求解Hankel變換的語句調用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02

階Hankel反變換的數(shù)學表達式為求解Hankel反變換的語句調用格式早期MATLAB。新版得用積分語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.20給定，求取函數(shù)的0階Hankel變換MATLAB求解語句結果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02給定求取函數(shù)的0階Hankel變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4z

變換及其反變換z變換及反變換定義與性質z

變換的計算機求解雙邊z

變換有理函數(shù)z反變換的數(shù)值求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.1z變換及反變換定義與性質離散序列信號z

變換的定義z

變換的性質：線性性質：其中，a與b

均為標量2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02時域后向平移性質：前向平移性質零初值z

域比例性質：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02頻域微分性質頻域積分性質初值性質：終值性質：其中，F(xiàn)(z)無單位圓外的極點2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02卷積性質：式中離散信號的卷積算子*定義為函數(shù)F(z)的z

反變換定義為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.2z

變換的計算機求解z

變換的函數(shù)調用格式z

反變換的函數(shù)調用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.21給定試求出其z

變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.22給定對不同的m

值進行z反變換，總結一般規(guī)律一般規(guī)律2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.3雙邊z

變換n

拓展到整個整數(shù)空間MATLAB沒有現(xiàn)成函數(shù)可以用底層求和命令直接分段求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.23分段函數(shù)MATLAB求解結果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.4有理函數(shù)z

反變換的數(shù)值求解有理函數(shù)的通式的冪級數(shù)展開自編函數(shù)的調用2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02函數(shù)清單函數(shù)調用函數(shù)內容2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.24有理函數(shù)變換成求解與繪圖2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5復變函數(shù)問題的計算機求解復數(shù)矩陣及其變換復變函數(shù)映射及其微積分運算Riemann曲面的繪制留數(shù)的概念與計算有理函數(shù)的部分分式展開基于部分分式展開的Laplace變換封閉曲線積分問題計算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.1復數(shù)矩陣及其變換函數(shù)調用格式（已知復數(shù)矩陣Z）共軛復數(shù)矩陣實部、虛部提取幅值、相位表示2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.25試求出下述矩陣的對角矩陣變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.2復變函數(shù)映射例5.26已知復變函數(shù)求MATLAB語句復函數(shù)的映射平移、反演雙線性2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.27復函數(shù)映射左半平面點的映射2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.3Riemann曲面的繪制復變函數(shù)映射圖形繪制步驟生成網格計算數(shù)據(jù)：通過點運算計算函數(shù)值，如繪圖（Riemann曲面）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.28復變函數(shù)繪制Riemann曲面MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02多值函數(shù)的Riemann曲面方根函數(shù)的繪制例5.29該函數(shù)只能繪制方根函數(shù)，對其他多值復變函數(shù)無能為力，函數(shù)修改另存cmpxmap1；刪除mesh、hold語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5-30用新函數(shù)cplxmap1繪制根函數(shù)的三個分支一個分支其余兩個分支直接繪制優(yōu)點：可以擴展到其他多值函數(shù)，如果能求出所有的分支2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.4留數(shù)的概念與計算函數(shù)解析的概念：若函數(shù)f(z)在復平面的區(qū)域內各點處均為單值，且其導數(shù)為有限值，則稱f(z)在復平面內為解析的如果z=a

為f(z)函數(shù)的單奇點，則留數(shù)的定義為單極點的函數(shù)調用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02若z=a

為函數(shù)f(z)的m

重奇點，則該點的留數(shù)定義為m

重奇點的計算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.31計算下列函數(shù)的留數(shù)找出奇點z=0,z=1MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.32計算下面函數(shù)的留數(shù)找出奇點z=0，重數(shù)m=6?MATLAB求解語句：結果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02真正的重數(shù)是多少？滿足上式的最小整數(shù)k改變k

的值2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.33函數(shù)找出奇點z=0點的留數(shù)：

2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.5有理函數(shù)的部分分式展開有理函數(shù)其中，和均為常數(shù)直接求出兩個多項式的最大公約數(shù)(GCD)的函數(shù)調用格式得出互質多項式，約簡A/C,B/C2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.34給定判定它們是否互質MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02化簡兩個多項式假設A(x)和B(x)互質，并且A(x)=0的根都為單根，那么留數(shù)的計算如下：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02假設是k重根各個系數(shù)如下有理函數(shù)的部分分式展開的函數(shù)調用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.35求部分分式展開MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.36給定其中求其部分分式展開MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02部分分數(shù)展開的符號運算早期版本，編寫的重載函數(shù)residue新版本，不支持重載函數(shù)MuPAD內核partfrac函數(shù)，底層命令編寫一個接口2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.37重新求解：求部分分式展開MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5-40求部分分數(shù)展開試圖用MATLAB求解理論上不能展開2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02如果分母多項式D(x)=0的解析解無法獲得，則應使用高精度數(shù)值解數(shù)學表示其中，是數(shù)值解MATLAB求解新函數(shù)變通方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02函數(shù)清單2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.41求下式的部分分式展開MATLAB近似求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.6基于部分分式展開的

Laplace反變換實系數(shù)有理函數(shù)如果有則必有可以推導出其中2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02算法的實現(xiàn)MATLAB函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.42有理函數(shù)計算出部分分式展開MATLAB求解命令：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.7封閉曲線積分問題計算封閉曲線積分的數(shù)學表達式其中，G

是一個逆時針方向的閉曲線，那么該封閉曲線內包圍m

個奇點2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.34給定計算在|z|=6上的封閉曲線積分2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02直接積分方法圓的方程封閉曲線積分直接計算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.44計算其中G

是|z|=2（逆時針圓周封閉曲線）曲線內奇點MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02與進行比較直接曲線積分方法改變積分路徑G

為|z|=42/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6差分方程迭代求

解與復平面映射分形一般差分方程的解析求解方法線性時變差分方程的數(shù)值解法線性時不變差分方程的解法一般非線性差分方程的數(shù)值求解方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02差分方程求解常系數(shù)線性差分方程的一般形式為差分方程簡單記號T采樣周期，常系數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.1一般差分方程的解析求解方法差分方程求z

變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02得出其中2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02算法的實現(xiàn)MATLAB函數(shù)求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.45差分方程初值輸入信號求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.2線性時變差分方程

的數(shù)值解法線性時變差分狀態(tài)方程其中，遞推2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02繼續(xù)最終得出可通過遞推方法求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.46求解離散線性時變差分方程其中可以通過遞推方法直接求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02采用迭代方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.3線性時不變差分方程的解法若線性時不變系統(tǒng)有則有線性時不變狀態(tài)方程2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02兩邊取z

變換由此得出解析解由iztrans函數(shù)可以直接求解2/4/2023