數(shù)值分析-課件-第02章插值法1

數(shù)值分析NumericalAnalysis機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院主講人：李蕾2023/2/4第2章插值法插值法的概念拉格朗日插值多項(xiàng)式

Newton插值多項(xiàng)式等距節(jié)點(diǎn)插值

Hermite插值分段插值和拋物線(xiàn)插值樣條插值2023/2/42.1插值法的概念舉例已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M）46674195014221634 水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫。2023/2/4當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點(diǎn)x0…xm

處測(cè)得函數(shù)值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)g(x)

f(x)，滿(mǎn)足條件

這個(gè)問(wèn)題稱(chēng)為“插值問(wèn)題”這里的g(x)

稱(chēng)為f(x)的插值函數(shù)。節(jié)點(diǎn)x0…xm稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn),條件（*)稱(chēng)為插值條件，區(qū)間[a,b]稱(chēng)為插值區(qū)間。2023/2/4x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)2023/2/42.2拉格朗日插值n=1使得可見(jiàn)P1(x)是過(guò)(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線(xiàn)。l0(x)l1(x)求n

次多項(xiàng)式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求2023/2/4構(gòu)造基函數(shù)

與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與f

無(wú)關(guān)j=0,1,…，n（1）2023/2/4可以證明函數(shù)組l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值區(qū)間［a,b］上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以這n+1個(gè)函數(shù)可作為Pn的一組基函數(shù)，稱(chēng)為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)插值多項(xiàng)式Pn(x)=Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)記為Pn(x)＝f(xj)lj(x)=Ln(x)稱(chēng)Pn(x)為n次Lagrange插值多項(xiàng)式2023/2/4例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50，并估計(jì)誤差。

解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用2023/2/4sin50=0.7660444…利用x0,x1

作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差0.01001利用

計(jì)算得：sin500.76008,利用x1,x2作為插值節(jié)點(diǎn)的實(shí)際誤差

0.005962023/2/4n=2sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差0.000612023/2/4拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)造簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱(chēng)，計(jì)算方便，理論分析中有重要的應(yīng)用價(jià)值。但要想在計(jì)算中進(jìn)一步提高精度，增加節(jié)點(diǎn)，則要重新構(gòu)造基函數(shù)，原來(lái)的計(jì)算要作廢，這對(duì)實(shí)際計(jì)算很不利。

為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，可把插值多項(xiàng)式表示為如下便于計(jì)算的形式2.3

Newton插值多項(xiàng)式2023/2/4差商（也叫均差）設(shè) 在 上定義，令互異的點(diǎn) ，相應(yīng)的函數(shù) 值，記兩點(diǎn)上的一階差商為，即由定義知： 即差商具有對(duì)稱(chēng)性。顯然，一階差商 是一元函數(shù)，再考慮它在點(diǎn) 的一階差商，并記 ，即稱(chēng)為點(diǎn) 上的二階差商。2023/2/4一般地，由m-1階差商 及 ，再作兩點(diǎn) 上的一階差商，便得到 點(diǎn)上的m階差商2023/2/4均差計(jì)算表一階差商二階差商……N階差商...……………………2023/2/4例題：已知 在 點(diǎn)處的值分別為 計(jì)算解 制差商表根據(jù)問(wèn)題知插值點(diǎn)x=4.01在與之間，故可用前三點(diǎn) 的二次插值多項(xiàng)式計(jì)算，即用一階差商二階差商4.00020.60208174.01040.60318770.1084314.02330.60458240.108116-0.01364.02940.60524040.107869-0.01302023/2/4計(jì)算，代入數(shù)據(jù)，得也可以取 作線(xiàn)性插值計(jì)算，即代入數(shù)據(jù)，得注：取七位有效數(shù)字的真值2023/2/42.4等距節(jié)點(diǎn)插值差分的定義設(shè)函數(shù) 在等距節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值 為已知，常數(shù)叫做步長(zhǎng)，則分別稱(chēng)為函數(shù) 在點(diǎn)的一階向前差分，一階向后差分。利用一階差分，可以定義高階差分。例如：

二階向前差分二階向后差分2023/2/4一般地，點(diǎn)的n階向前差分是 的線(xiàn)性組合。向后差分是 的線(xiàn)性組合。2023/2/4差分表及其應(yīng)用

常用的差分表的形式2023/2/4Newton前插公式（表初公式）用插值多項(xiàng)式作近似計(jì)算時(shí)，當(dāng)插值點(diǎn)位于表初附近，可用表初公式構(gòu)造插值多項(xiàng)式。令 ，插值點(diǎn) ，則表初公式余項(xiàng)2023/2/4 Newton后插公式（表末公式）用插值多項(xiàng)式作近似計(jì)算時(shí)，當(dāng)插值點(diǎn)位于表末附近，可用表末公式構(gòu)造插值多項(xiàng)式。令 ，插值點(diǎn) ，則 表末公式余項(xiàng)2023/2/4例題： 已知 在7個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值試計(jì)算 的值。解 根據(jù)函數(shù)值作出差分表0.00.10.20.30.40.50.61.000000.995000.980070.955340.921060.877580.825340.01.000000.10.99500-0.005000.20.98007-0.01493-0.009930.30.95534-0.02473-0.009800.000130.40.92106-0.03428-0.009550.000250.000120.50.87758-0.04348-0.009200.000350.00010-0.000020.60.82534-0.05224-0.008760.000440.00009-0.000012023/2/4由于五階差分接近于零，可取四次插值多項(xiàng)式計(jì)算。插值點(diǎn)0.048位于附近，故可用表初公式計(jì)算。有 ，知因此2023/2/4插值點(diǎn)0.575位于 附近，故可用表末公式計(jì)算。有 ，知 。因此2023/2/42.5

Hermite插值Hermite插值

許多實(shí)際的插值問(wèn)題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求更高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿(mǎn)足這種要求的插值多項(xiàng)式就是Hermite插值多項(xiàng)式。構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式的方法就是Hermite插值法。設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，已知要求構(gòu)造滿(mǎn)足該條件的插值多項(xiàng)式。2023/2/4假設(shè)待構(gòu)造的插值多項(xiàng)式H(x)需要滿(mǎn)足以下插值條件這里給出了2n+2個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式其形式為如果根據(jù)插值條件來(lái)確定系數(shù)，顯然是非常復(fù)雜。因此，我們采用類(lèi)似于拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法并用具有特殊性質(zhì)的基函數(shù)來(lái)構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式。2023/2/4利用插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造如下兩類(lèi)特殊的2n+1次多項(xiàng)式其中， 是拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)。可以驗(yàn)證， 具有以下性質(zhì)2023/2/4利用以上性質(zhì)，構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式由于 是 的線(xiàn)性組合，組合系數(shù)為 ，所以稱(chēng) 是Hermite插值多項(xiàng)式的基函數(shù)。2023/2/4低次插值多項(xiàng)式當(dāng) 時(shí)，則有兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式，注意到兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 時(shí)基函數(shù) 的形式，即知滿(mǎn)足條件的插值多項(xiàng)式為2023/2/4例題 已知函數(shù) 滿(mǎn)足條件試構(gòu)造三次Hermite插值多項(xiàng)式。解 利用公式得2023/2/42.6分段低次插值分段線(xiàn)性插值和拋物插值 分段線(xiàn)性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起來(lái)逼近被插值函數(shù)f(x)。 分段二次插值叫做拋物插值2023/2/4 設(shè)函數(shù) 在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)： 上的函數(shù)值分別為 ，記現(xiàn)在要用過(guò)曲線(xiàn) 上n+1個(gè)點(diǎn) 的折線(xiàn)近似代替曲線(xiàn)，這就是分段線(xiàn)性插值函數(shù)的幾何解釋。記這種折線(xiàn)函數(shù)為 ，則其在每個(gè)小區(qū)間上為線(xiàn)性函數(shù)2023/2/4若記并稱(chēng)為分段線(xiàn)性插值基函數(shù)，則分段線(xiàn)性插值函數(shù)可表示為

2023/2/4分段線(xiàn)性插值的算法簡(jiǎn)單，但精度不高。為了提高精度，有時(shí)取三個(gè)節(jié)點(diǎn) ，按拋物插值公式進(jìn)行計(jì)算，稱(chēng)為分段二次插值或拋物插值。其中，三點(diǎn)的取法取決于插值點(diǎn)x的位置。2023/2/4例題 已知 在區(qū)間[0,1]內(nèi)四等分點(diǎn)的函數(shù)值：試分別用分段線(xiàn)性插值和分段拋物插值的方法求各段中點(diǎn)的函數(shù)值。解 1、分段線(xiàn)性插值區(qū)間[0,0.25]的中點(diǎn)為0.125，該段上的線(xiàn)性插值函數(shù)為同理，有xi00.250.50.751f(xi)11.28401.64872.11702.71832023/2/42、分段拋物插值對(duì)于中點(diǎn)0.125，取節(jié)點(diǎn) ，根據(jù)分段拋物插值公式有從而，精確值 2023/2/4

分段線(xiàn)性插值和分段拋物插值有個(gè)共同的缺點(diǎn)，即在各分段的連接點(diǎn)處不可導(dǎo)，相鄰直線(xiàn)或拋物線(xiàn)的連接點(diǎn)處常出現(xiàn)角點(diǎn)，光滑性不夠。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)，常用的是分段三次Hermite插值。2023/2/42.7樣條插值 樣條函數(shù)的概念來(lái)源于工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐。所謂樣條（Spline）是工程設(shè)計(jì)中的一種繪圖工具，是一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條。繪圖時(shí)用亞鐵迫使樣條通過(guò)指定的型值點(diǎn)，并調(diào)整樣條，使其具有光滑的外形，然后按樣條畫(huà)出曲線(xiàn)，稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)，相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為樣條函數(shù)。當(dāng)以樣條函數(shù)為插值函數(shù)時(shí)，稱(chēng)為樣條插值。 樣條曲線(xiàn)實(shí)際上是由分段三次曲線(xiàn)并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。2023/2/4三次樣條函數(shù)定義 若函數(shù) ，且在每個(gè)小區(qū)間 ，上是三次多項(xiàng)式，其中 是給定節(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)S（x）是節(jié)點(diǎn) 上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)xj