數值分析-課件-第02章插值法1

數值分析NumericalAnalysis機械與汽車工程學院主講人：李蕾2023/2/4第2章插值法插值法的概念拉格朗日插值多項式

Newton插值多項式等距節(jié)點插值

Hermite插值分段插值和拋物線插值樣條插值2023/2/42.1插值法的概念舉例已經測得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M）46674195014221634 水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據這些數據，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫。2023/2/4當精確函數y=f(x)非常復雜或未知時，在區(qū)間[a,b]上一系列節(jié)點x0…xm

處測得函數值y0

=f(x0),…,ym

=f(xm)，由此構造一個簡單易算的近似函數g(x)

f(x)，滿足條件

這個問題稱為“插值問題”這里的g(x)

稱為f(x)的插值函數。節(jié)點x0…xm稱為插值節(jié)點,條件（*)稱為插值條件，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。2023/2/4x0x1x2x3x4

xf(x)g(x)2023/2/42.2拉格朗日插值n=1使得可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。l0(x)l1(x)求n

次多項式使得已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求2023/2/4構造基函數

與節(jié)點有關，而與f

無關j=0,1,…，n（1）2023/2/4可以證明函數組l0(x)，l1(x)，…,ln(x)在插值區(qū)間［a,b］上線性無關，所以這n+1個函數可作為Pn的一組基函數，稱為Lagrange插值基函數插值多項式Pn(x)=Ln(x)=f(x0)l0(x)+f(x1)l1(x)+…+f(xn)ln(x)記為Pn(x)＝f(xj)lj(x)=Ln(x)稱Pn(x)為n次Lagrange插值多項式2023/2/4例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50，并估計誤差。

解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用2023/2/4sin50=0.7660444…利用x0,x1

作為插值節(jié)點的實際誤差0.01001利用

計算得：sin500.76008,利用x1,x2作為插值節(jié)點的實際誤差

0.005962023/2/4n=2sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.000612023/2/4拉格朗日插值多項式構造簡單，形式對稱，計算方便，理論分析中有重要的應用價值。但要想在計算中進一步提高精度，增加節(jié)點，則要重新構造基函數，原來的計算要作廢，這對實際計算很不利。

為了克服這個缺點，可把插值多項式表示為如下便于計算的形式2.3

Newton插值多項式2023/2/4差商（也叫均差）設 在 上定義，令互異的點 ，相應的函數 值，記兩點上的一階差商為，即由定義知： 即差商具有對稱性。顯然，一階差商 是一元函數，再考慮它在點 的一階差商，并記 ，即稱為點 上的二階差商。2023/2/4一般地，由m-1階差商 及 ，再作兩點 上的一階差商，便得到 點上的m階差商2023/2/4均差計算表一階差商二階差商……N階差商...……………………2023/2/4例題：已知 在 點處的值分別為 計算解 制差商表根據問題知插值點x=4.01在與之間，故可用前三點 的二次插值多項式計算，即用一階差商二階差商4.00020.60208174.01040.60318770.1084314.02330.60458240.108116-0.01364.02940.60524040.107869-0.01302023/2/4計算，代入數據，得也可以取 作線性插值計算，即代入數據，得注：取七位有效數字的真值2023/2/42.4等距節(jié)點插值差分的定義設函數 在等距節(jié)點 上的函數值 為已知，常數叫做步長，則分別稱為函數 在點的一階向前差分，一階向后差分。利用一階差分，可以定義高階差分。例如：

二階向前差分二階向后差分2023/2/4一般地，點的n階向前差分是 的線性組合。向后差分是 的線性組合。2023/2/4差分表及其應用

常用的差分表的形式2023/2/4Newton前插公式（表初公式）用插值多項式作近似計算時，當插值點位于表初附近，可用表初公式構造插值多項式。令 ，插值點 ，則表初公式余項2023/2/4 Newton后插公式（表末公式）用插值多項式作近似計算時，當插值點位于表末附近，可用表末公式構造插值多項式。令 ，插值點 ，則 表末公式余項2023/2/4例題： 已知 在7個點處的函數值試計算 的值。解 根據函數值作出差分表0.00.10.20.30.40.50.61.000000.995000.980070.955340.921060.877580.825340.01.000000.10.99500-0.005000.20.98007-0.01493-0.009930.30.95534-0.02473-0.009800.000130.40.92106-0.03428-0.009550.000250.000120.50.87758-0.04348-0.009200.000350.00010-0.000020.60.82534-0.05224-0.008760.000440.00009-0.000012023/2/4由于五階差分接近于零，可取四次插值多項式計算。插值點0.048位于附近，故可用表初公式計算。有 ，知因此2023/2/4插值點0.575位于 附近，故可用表末公式計算。有 ，知 。因此2023/2/42.5

Hermite插值Hermite插值

許多實際的插值問題不但要求在節(jié)點上函數值相等，而且還要求對應的導數值也相等，甚至要求更高階導數也相等，滿足這種要求的插值多項式就是Hermite插值多項式。構造Hermite插值多項式的方法就是Hermite插值法。設在節(jié)點上，已知要求構造滿足該條件的插值多項式。2023/2/4假設待構造的插值多項式H(x)需要滿足以下插值條件這里給出了2n+2個條件，可唯一確定一個次數不超過2n+1的多項式其形式為如果根據插值條件來確定系數，顯然是非常復雜。因此，我們采用類似于拉格朗日插值多項式的構造方法并用具有特殊性質的基函數來構造Hermite插值多項式。2023/2/4利用插值節(jié)點構造如下兩類特殊的2n+1次多項式其中， 是拉格朗日插值多項式的插值基函數?？梢则炞C， 具有以下性質2023/2/4利用以上性質，構造Hermite插值多項式由于 是 的線性組合，組合系數為 ，所以稱 是Hermite插值多項式的基函數。2023/2/4低次插值多項式當 時，則有兩點三次Hermite插值多項式，注意到兩個節(jié)點 時基函數 的形式，即知滿足條件的插值多項式為2023/2/4例題 已知函數 滿足條件試構造三次Hermite插值多項式。解 利用公式得2023/2/42.6分段低次插值分段線性插值和拋物插值 分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近被插值函數f(x)。 分段二次插值叫做拋物插值2023/2/4 設函數 在n+1個節(jié)點： 上的函數值分別為 ，記現在要用過曲線 上n+1個點 的折線近似代替曲線，這就是分段線性插值函數的幾何解釋。記這種折線函數為 ，則其在每個小區(qū)間上為線性函數2023/2/4若記并稱為分段線性插值基函數，則分段線性插值函數可表示為

2023/2/4分段線性插值的算法簡單，但精度不高。為了提高精度，有時取三個節(jié)點 ，按拋物插值公式進行計算，稱為分段二次插值或拋物插值。其中，三點的取法取決于插值點x的位置。2023/2/4例題 已知 在區(qū)間[0,1]內四等分點的函數值：試分別用分段線性插值和分段拋物插值的方法求各段中點的函數值。解 1、分段線性插值區(qū)間[0,0.25]的中點為0.125，該段上的線性插值函數為同理，有xi00.250.50.751f(xi)11.28401.64872.11702.71832023/2/42、分段拋物插值對于中點0.125，取節(jié)點 ，根據分段拋物插值公式有從而，精確值 2023/2/4

分段線性插值和分段拋物插值有個共同的缺點，即在各分段的連接點處不可導，相鄰直線或拋物線的連接點處常出現角點，光滑性不夠。為了解決這個問題，可構造導數連續(xù)的分段插值函數，常用的是分段三次Hermite插值。2023/2/42.7樣條插值 樣條函數的概念來源于工程設計的實踐。所謂樣條（Spline）是工程設計中的一種繪圖工具，是一種富有彈性的細長條。繪圖時用亞鐵迫使樣條通過指定的型值點，并調整樣條，使其具有光滑的外形，然后按樣條畫出曲線，稱為樣條曲線，相應的函數關系稱為樣條函數。當以樣條函數為插值函數時，稱為樣條插值。 樣條曲線實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階導數連續(xù)，從數學上加以概括就得到數學樣條這一概念。2023/2/4三次樣條函數定義 若函數 ，且在每個小區(qū)間 ，上是三次多項式，其中 是給定節(jié)點，則稱S（x）是節(jié)點 上的三次樣條函數。若在節(jié)點xj