第1章物體的受力分析與平衡

第1章物體的受力分析與平衡1.1基本概念1.2物體的受力分析與受力圖1.3力在坐標(biāo)軸上的投影1.4力矩和力偶1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用返回第1章物體的受力分析與平衡工程中大部分機(jī)器的零件和構(gòu)件是處于一個(gè)平衡狀態(tài)的，如起重機(jī)的底座、橋梁的衍架等。若物體處于一個(gè)平衡狀態(tài)，則作用于物體上的一組力(或力系)必須滿足一定的條件，即平衡條件。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)達(dá)到如下目標(biāo):知識(shí)目標(biāo)了解力、剛體的基本概念與力的性質(zhì)、常見的約束及約束反力的特點(diǎn)掌握物體受力分析的方法理解力矩、力偶的概念以及力偶的性質(zhì)掌握力系平衡方程的應(yīng)用下一頁(yè)返回第1章物體的受力分析與平衡能力目標(biāo)能理解力、剛體的概念能對(duì)物體進(jìn)行受力分析，并能畫出研究對(duì)象的受力圖能對(duì)簡(jiǎn)單的平面平衡力系進(jìn)行分析計(jì)算上一頁(yè)返回1.1基本概念1.1.1力和剛體的概念1.力的概念力的概念是人們?cè)谏詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中，通過(guò)觀察和分析逐漸形成起來(lái)的。例如:扛東西時(shí)感到肩膀受力、用手推車時(shí)車由靜止開始運(yùn)動(dòng)。所以，力是物體之間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化或使物體的形狀發(fā)生改變。實(shí)踐表明，力對(duì)物體的作用效果取決于力的三個(gè)要素:①力的大小;②力的方向;③力的作用點(diǎn)。當(dāng)這三個(gè)要素中任何一個(gè)改變時(shí)，力的作用效應(yīng)也就發(fā)生變化。力是一個(gè)既有大小又有方向的量，因此力是矢量，用有向線段表示，如圖1一1所示。線段的起點(diǎn)A表示力的作用點(diǎn)，用線段的方位和指向代表力的方向，用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，線段所在的直線稱為力的作用線下一頁(yè)返回1.1基本概念力的單位是牛頓，用N表示(或千牛頓，用kN表示)2.剛體的概念所謂剛體，是指在力的作用下不變形的物體，即在力的作用下，其內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)保持不變的物體這是一種理想化的力學(xué)模型，事實(shí)上，在受力狀態(tài)下不變形的物體是不存在的，不過(guò)，當(dāng)物體的變形很小，在所研究的問(wèn)題中把它忽略不計(jì)，并不會(huì)對(duì)問(wèn)題的性質(zhì)帶來(lái)本質(zhì)的影響時(shí)，該物體就可近似看做剛體。剛體是在一定條件下研究物體受力和運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)的科學(xué)抽象，這種抽象不僅使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，也能得出足夠精確的結(jié)果，因此，我們?cè)谘芯恳磺凶冃误w的平衡問(wèn)題時(shí)，都是以剛體為基礎(chǔ)的。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1基本概念1.1.2力的性質(zhì)為了討淪物體的受力分析，研究力系的簡(jiǎn)化和平衡條件，必須先掌握一些最基本的力學(xué)規(guī)律。這些規(guī)律是人們?cè)谏詈蜕a(chǎn)活動(dòng)中長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，又經(jīng)過(guò)實(shí)踐反復(fù)檢驗(yàn)，被認(rèn)為是符合客觀實(shí)際的最普遍、最一般的規(guī)律，稱為靜力學(xué)公理。靜力學(xué)公理概括了力的基本性質(zhì)，是建立靜力學(xué)理淪的基礎(chǔ)。公理一:二力平衡公理作用在剛體上的兩個(gè)力，使剛體處于平衡的充要條件是:這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上，如圖1一2所示。該兩力的關(guān)系可用如下矢量式表示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1基本概念這一公理揭示了作用于剛體上的最簡(jiǎn)單的力系平衡時(shí)所必須滿足的條件，滿足上述條件的兩個(gè)力稱為一對(duì)平衡力。需要說(shuō)明的是，對(duì)于剛體，這個(gè)條件既必要又充分，但對(duì)于變形體，這個(gè)條件是不充分的。如圖1-3所示，軟繩受兩個(gè)等值反向的拉力作用時(shí)可以平衡，當(dāng)受兩個(gè)等值反向的壓力作用時(shí)，就不能平衡了。只在兩個(gè)力作用下而平衡的剛體稱為二力構(gòu)件或二力桿，根據(jù)二力平衡條件，二力桿兩端所受兩個(gè)力大小相等、方向相反，作用線沿兩個(gè)力的作用點(diǎn)的連線，如圖1一4所示。公理二:加減平衡力系公理在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用。這一公理是研究力系等效替換與簡(jiǎn)化的重要依據(jù)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1基本概念根據(jù)上述公理可以得出如下兩個(gè)重要推淪:推論1:力的可傳性原理作用于剛體上某點(diǎn)的力，可以沿著它的作用線滑移到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，并不改變?cè)摿?duì)剛體的作用效果。如圖1-5所示，作用于剛體A點(diǎn)的力F，在B點(diǎn)加上一對(duì)平衡力系，其大小與A點(diǎn)力的大小相等。因此，可以得出A點(diǎn)的力傳到了B點(diǎn)。由此可見，對(duì)剛體而言，力的作用點(diǎn)不是決定力的作用效應(yīng)的要素，它已為作用線所代替。因此作用于剛體上的力的三要素是:力的大小、方向和作用線作用于剛體上的力可以沿著其作用線滑移，這種矢量稱為滑移矢量。推論2:三力平衡匯交定理若剛體受三個(gè)力作用而平衡，且其中兩個(gè)力的作用線相交于一點(diǎn)，則此三個(gè)力必共面且匯交于同一點(diǎn)，如圖1一6所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1基本概念公理三:力的平行四邊形法則作用在物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，可以合成為一個(gè)合力。合力的作用點(diǎn)也在該點(diǎn)，合力的大小和方向，由這兩個(gè)力為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表示，如圖1-7所示。這一公理提供了力的合成與分解的方法，合力FR稱為F1和F2的矢量和，用公式表示為公理四:作用與反作用公理兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是同時(shí)存在，且大小相等，方向相反，沿著同一條直線，分別作用在兩個(gè)物體上。若用F表示作用力.F'表示反作用力.則該公理表明，作用力與反作用力總是成對(duì)出現(xiàn)，但它們分別作用在兩個(gè)物體上，因此不能視作平衡力。上一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖1.2.1約束和約束反力物體按照運(yùn)動(dòng)所受限制條件的不同可以分為兩類:自由體與非自由體。自由體是指物體在空間可以有任意方向的位移，即運(yùn)動(dòng)不受任何限制。如空中飛行的炮彈、飛機(jī)、人造衛(wèi)星等。非自由體是指在某些方向的位移受到一定限制而不能隨意運(yùn)動(dòng)的物體，如軸承內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸、汽缸中運(yùn)動(dòng)的活塞等。對(duì)非自由體的位移起限制作用的周圍物體稱為約束，如鐵軌對(duì)于機(jī)車、軸承對(duì)于電機(jī)轉(zhuǎn)軸、吊車鋼索對(duì)于重物等，都是約束約束限制著非自由體的運(yùn)動(dòng)，與非自由體接觸相互產(chǎn)生了作用力，約束作用于非自由體上的力稱為約束反力。約束反力作用于接觸點(diǎn)，其方向總是與該約束所能限制的運(yùn)動(dòng)方向相反，據(jù)此，可以確定約束反力的方向或作用線的位置。至于約束反力的大小卻是未知的，在以后根據(jù)平衡方程求出。下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖工程中約束的種類很多，下面介紹幾種常見的典型約束以及約束方向的確定方法。1.柔性約束由繩索、鏈條、皮帶等所構(gòu)成的約束統(tǒng)稱為柔性約束，這種約束的特點(diǎn)是柔軟易變形，它對(duì)物體的約束反力只能是拉力。因此，柔性對(duì)物體的約束反力作用在接觸點(diǎn)，方向沿繩索且背離物體，如圖1一8所示。2.光滑接觸面約束物體受到光滑平面或曲面的約束稱作光滑面約束。這類約束不能限制物體沿約束表面切線的位移，只能限制物體沿接觸表面法線并指向約束的位移。因此約束反力作用在接觸點(diǎn)，方向沿接觸表面的公法線，并指向被約束物體。如圖1一9所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖3.固定鉸鏈約束鉸鏈?zhǔn)枪こ躺铣Ｒ姷囊环N約束。鉸鏈約束的典型構(gòu)造是將構(gòu)件1和固定支座3在連接處鉆出圓孔，再用圓柱銷釘2連接起來(lái)，使物體只能繞銷釘?shù)妮S線轉(zhuǎn)動(dòng)。這種約束稱為固定鉸鏈約束，或固定鉸鏈支座，如圖1一10所示。工程上固定座鉸鏈常用圖1一10(d)所示的簡(jiǎn)圖表示，通過(guò)鉸鏈中心而方向待定的約束力F常用兩個(gè)正交分力Fx和Fy來(lái)表示，如圖1一10(e)所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖4.活動(dòng)鉸鏈約束在橋梁、屋架等工程結(jié)構(gòu)中經(jīng)常采用這種約束，如圖1一11(a)所示為橋梁采用的滾動(dòng)鉸支座，這種支座可以沿固定面滾動(dòng)，常用于支承較長(zhǎng)的梁，它允許梁的支承端沿支承面移動(dòng)。因此這種約束的特點(diǎn)與光滑接觸面約束相同，約束反力垂直于支承面指向被約束物體，如圖1一11(c)所示。5.球形鉸鏈物體的一端為球體，能在球殼中轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1一12(a)所示，這種約束稱為球形鉸支座，簡(jiǎn)稱球鉸。球鉸能限制物體任何徑向方向的位移，所以球鉸的約束反力的作用線通過(guò)球心并可能指向任一方向，通常用過(guò)球心的3個(gè)互相垂直的分力FAx、FAy、FAz表示，如圖1一12(c)所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖6.固定端約束有時(shí)物體會(huì)受到完全固結(jié)作用，如深埋在地里的電線桿，如圖1一13(a)所示。這時(shí)物體的A端在空間各個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)(包括平移和轉(zhuǎn)動(dòng))都受到限制，這類約束稱為固定端約束。其簡(jiǎn)圖如圖1一13(b)所示。其約束反力可這樣理解:一方面，物體受約束部位不能平移，因而受到一約束反力FA作用;另一方面，也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，因而還受到一約束反力偶MA的作用(力偶將在1.3中介紹)，如圖1一13(c)所示。約束反力FA和約束反力偶MA。均作用在接觸部位，而方位和指向均未知。在空間情形下，通常將固定端約束的約束反力畫成6個(gè)獨(dú)立分量。符號(hào)為兀FAx、FAy、FAz、MAx、MAy、MAz，如圖1一13(d)所示。對(duì)平面情形，則只需畫出3個(gè)獨(dú)立分量FAx、FAy、MA，如圖1一13(e)所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖1.2.2受力圖在求解力的平衡問(wèn)題時(shí)，必須首先分析物體的受力情況，即進(jìn)行受力分析，也就是將所究的物體或物體系統(tǒng)從與其聯(lián)系的周圍物體或約束中分離出來(lái)，并分析它受幾個(gè)力作用，確定每個(gè)力的作用位置和力的作用方向。物體的受力分析包括三個(gè)主要步驟:(1)確定研究對(duì)象根據(jù)問(wèn)題中的已知量和待求量之間的關(guān)系，確定選取某一個(gè)物體或幾個(gè)物體或整個(gè)物體系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱物系)來(lái)研究其平衡，則該物體或某幾個(gè)物體或物系稱為研究對(duì)象。(2)進(jìn)行受力分析分析研究對(duì)象上所受的全部外力。(3)畫受力圖畫出研究對(duì)象和它所受的全部外力的圖，稱為受力圖。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖在研究對(duì)象所受的全部外力中，凡能主動(dòng)引起物體運(yùn)動(dòng)或使物體有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力稱為主動(dòng)力。主動(dòng)力的大小和方向通常都是已知的。而阻礙、限制研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)的物體稱為約束物，簡(jiǎn)稱約束。約束作用在研究對(duì)象(被約束物)上的力稱為約束力。約束力的大小需要根據(jù)平衡條件求出，而約束力的方向一般根據(jù)約束的類型即可予以確定。確定的原則是約束力的方向總是與約束所能限制的運(yùn)動(dòng)方向相反，并通過(guò)兩物體的接觸點(diǎn)?！纠?.1】如圖1一14(a)所示的梁AB，其A端為固定座鉸鏈，B端為活動(dòng)座鉸鏈，在梁的C點(diǎn)處受到主動(dòng)力F的作用，試作出梁AB的受力圖上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖解:取梁AB為研究對(duì)象，其所受的外力有:C處的主動(dòng)力F;A端固定座鉸鏈的約束力F。和?！瓸端活動(dòng)座鉸鏈的約束力F,}，方向垂直向上。畫出研究對(duì)象及其所受各力，即得到梁AB的受力圖，如圖1一14(b)所示【例1.2】簡(jiǎn)易支架如圖1一15(a)所示，圖中A,B,D三點(diǎn)為鉸接。懸物為P2,CD梁自重不計(jì)，AB梁自重P,，分別畫出梁AB和桿CD的受力圖

。解:(1)選取CD桿為研究對(duì)象，將CD桿單獨(dú)取出，CD桿為二力桿，受到Fc和FD兩個(gè)平衡力的作用，如圖1一15(b)所示。(2)選取梁AB為研究對(duì)象，主動(dòng)力為:重力P1,P2約束反力為:，如圖1一15(c)所示上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖【例1.3】如圖1-16(a)所示三鉸拱橋，由左右兩拱鉸接而成。設(shè)各拱自重不計(jì)，在拱AC上作用有豎直載荷P，試分別畫出拱AC和CB的受力圖。解:分析對(duì)于拱CB，因?yàn)樗辉贐,C兩處受鉸鏈約束，因此拱CB是一個(gè)二力構(gòu)件。而拱AC三點(diǎn)受力，并且三個(gè)力彼此不平行，在同一平面內(nèi)，可以應(yīng)用三力匯交確定。(1)研究拱CB,CB拱是一個(gè)二力桿，受力圖如圖1一16(b)所示。在鉸B,C處所受到的約束反力分別為FR,FC，并且等值、反向、共線。因此FR,FC。的作用線在CB的連線上，指向先假設(shè)，以后再根據(jù)主動(dòng)力方向，以及平衡條件來(lái)確定。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2物體的受力分析與受力圖(2)研究拱AC，受到主動(dòng)力P。由于AC拱在C處受到CB拱給它的約束反力與FC是作用力和反作用力的關(guān)系，所以用FC’來(lái)表示，A處是固定鉸支座，約束反力為FAx、FAy，如圖1-16(c)所示還可以根據(jù)三力平衡匯交，可以確定FAx、FAy的合力F,，通過(guò)P和FC’作用線的匯交于點(diǎn)0，沿OA的連線，如圖1一16(d)所示。上一頁(yè)返回1.3力在坐標(biāo)軸上的投影1.3.1力在坐標(biāo)軸上投影的概念力F在坐標(biāo)軸上的投影定義為:過(guò)F兩端向坐標(biāo)兩端作垂線，垂足為a、b和a’，b‘，如圖1一18所示，線段ab、a’b’分別為F在x軸和J軸上的投影。因此，力在坐標(biāo)軸上的投影是一個(gè)代數(shù)量，符號(hào)規(guī)定為:從a到b(或從b‘到a’)的指向與坐標(biāo)軸正向一致為正，反之為負(fù)。F在x軸和y軸上的投影分別記作Fx和Fy。若已知F的大小以及與x軸正向間的夾角為a，則力F在x軸上的投影為:如將F沿坐標(biāo)軸方向分解，所得分力Fx和Fy的值與F在同軸上的投影Fx、Fy相等，力的分量是矢量，力的投影是代數(shù)量，如圖1一18所示下一頁(yè)返回1.3力在坐標(biāo)軸上的投影若已知Fx、Fy的值，則可求出F的大小和方向，即1.3.2合力投影定理若作用于一點(diǎn)的n個(gè)力F1,F2，……，F(xiàn)n的合力為FR，則:合力在某軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。在直角坐標(biāo)系中，有上一頁(yè)返回1.4力矩和力偶1.4.1力矩力對(duì)物體的作用有移動(dòng)效應(yīng)，也有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力使物體繞某點(diǎn)(或某軸)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，稱為力對(duì)點(diǎn)(或軸)之矩1.力對(duì)點(diǎn)的矩經(jīng)驗(yàn)告訴我們，用扳手轉(zhuǎn)動(dòng)螺母時(shí)，如圖1一19所示，作用于扳手一端的力F使扳手繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這是力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，它不僅與力的大小和方向有關(guān)，而且與0點(diǎn)到力F的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，在力學(xué)上以乘積Fd作為力F是物體繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，這個(gè)量稱為力F對(duì)0點(diǎn)的矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)MO(F)表示，即下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶式中:0點(diǎn)稱為力矩中心(簡(jiǎn)稱矩心);0點(diǎn)到F點(diǎn)作用線的垂直距離d稱為力臂通常規(guī)定:力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。力矩具有大小和轉(zhuǎn)動(dòng)方向，因此，平面內(nèi)力矩是一個(gè)代數(shù)量。力矩的單位是N·m或kN·m綜上所述可知:(1)力F對(duì)0點(diǎn)之矩不僅取決于力F的大小，同時(shí)還與矩心的位置有關(guān)(2)力F對(duì)任一點(diǎn)之矩，不會(huì)因該力沿其作用線而改變，因?yàn)榇藭r(shí)力和力臂的大小均未改變。(3)力的作用線通過(guò)矩心時(shí)，力矩為零上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶[例1.4]如圖1一19所示的扳手所受的力F=200kN,r=0.4m,a=1200,試求力F對(duì)0點(diǎn)之矩。解:根據(jù)式(1一5)

正號(hào)表示扳手繞0點(diǎn)作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。2.合力矩定理設(shè)作用于同一點(diǎn)的n個(gè)力F1,F2，……，F(xiàn)n的合力為FR，則該合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和(或代數(shù)量)，這就是合力矩定理合力矩定理可用如下式表示上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶1.4.2力偶1.力偶的概念在生產(chǎn)中，?？吹轿矬w同時(shí)受到大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個(gè)力的作用，如圖1-20所示，汽車司機(jī)旋轉(zhuǎn)方向盤時(shí)，兩手作用在方向盤上的力，這兩個(gè)力不滿足二力平衡條件，顯然不平衡。因此把大小相等，方向相反，作用線平行但不共線的兩個(gè)力組成的特殊力系，稱為力偶，記為(F,F')。組成力偶的兩個(gè)力之間的距離稱為力偶臂，用d表示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶實(shí)踐證明，力偶只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。如何度量力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)呢?顯然可用力偶中兩個(gè)力對(duì)矩心的力矩之和來(lái)衡量。力偶對(duì)矩心0點(diǎn)的力矩只與力F和力偶臂d的大小有關(guān)，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。因此，在力學(xué)上以乘積Fd作為度量力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，這個(gè)量稱為力偶矩，以符號(hào)M(F,F')或M表示，即式(1-7)中正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。在平面內(nèi)，力偶矩是代數(shù)量若作用在平面內(nèi)有;:個(gè)力偶，它們組成的力系稱為平面力偶系。平面力偶系的合成結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各已知力偶矩的代數(shù)和。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶2.力偶的性質(zhì)由于力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)完全決定于力偶矩的大小，因此，力偶矩大小相等的兩個(gè)力偶必然等效。據(jù)此，可推淪出力偶的性質(zhì)如下:(1)力偶對(duì)任意點(diǎn)之矩等于力偶矩，力偶對(duì)任意軸之矩等于力偶矩矢在該軸上的投影。(2)若要保持力偶矩大小不變，力偶可以在其作用面內(nèi)及相互平行的平面內(nèi)任意搬移而不會(huì)改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。例如汽車的方向盤，無(wú)淪安裝得高一些或低一些，只要保證兩個(gè)位置的轉(zhuǎn)盤平面平行，對(duì)轉(zhuǎn)盤施以力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相同的力偶，其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)是相同的。由此可見，只要不改變力偶矩的大小和方向，不淪將M畫在同一剛體上的任何位置都一樣。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4力矩和力偶(3)若要保持力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小(即力與力偶臂的乘積)不變，可將力偶中的力和力偶臂做相應(yīng)的改變，或?qū)⒘ε荚谄渥饔妹鎯?nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不會(huì)改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。正因?yàn)槿绱?，常常只在力偶的作用面?nèi)畫出彎箭頭加M來(lái)表示力偶，其中M表示力偶矩的大小，箭頭則表示力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向，如圖1一21所示需要指出的是，在平面情形下，由于力偶的作用面就是該平面，此時(shí)不必表明力偶的作用面，只需表示出力偶矩的大小及力偶的轉(zhuǎn)向即可，因此可將力偶定義為代數(shù)量:M-=±Fd，如圖1-21所示。并且規(guī)定當(dāng)力偶為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)力偶矩為正，反之為負(fù)。上一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用在工程實(shí)際問(wèn)題中，物體的受力情況往往比較復(fù)雜，為了研究力系對(duì)物體的作用效應(yīng)，或討淪物體在力系作用下的平衡規(guī)律，需要將力系進(jìn)行等效簡(jiǎn)化。力系簡(jiǎn)化理淪也是靜力學(xué)的重要內(nèi)容。根據(jù)力系中諸力的作用線在空間的分布情況，可將力系進(jìn)行分類。力的作用線均在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系，力的作用線為空間分布的力系稱為空間力系，力的作用線均匯交于同一點(diǎn)的力系稱為匯交力系，力的作用線互相平行的力系稱為平行力系，若組成力系的元素都是力偶，這樣的力系稱為力偶系，若力的作用線的分布是任意的，既不相交于一點(diǎn)，也不都相互平行，這樣的力系稱為任意力系。此外，若諸力的作用線均在同一平面內(nèi)且匯交于同一點(diǎn)的力系稱為平面匯交力系，照此類推，還有平面力偶系、平面任意力系、平面平行力系以及空間匯交力系、空間力偶系、空間任意力系、空間平行力系等。下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用1.5.1力系的平衡方程1.平面匯交力系的平衡方程工程中經(jīng)常會(huì)遇到平面匯交力系問(wèn)題。例如，型鋼U、上焊接三根角鋼，受力情況如圖1-24所示。F1、F2和F3三個(gè)力的作用線均通過(guò)0點(diǎn)，且在同一個(gè)平面內(nèi)。這是一個(gè)平面匯交力系。又如當(dāng)?shù)踯嚻鸬踔貫镕的鋼梁時(shí)，如圖1-25所示，鋼梁受F1、F2和F三個(gè)力的作用，這三個(gè)力在同一個(gè)平面內(nèi)，且交于一點(diǎn)，也是平面匯交力系。求解平面匯交力系問(wèn)題時(shí)，常用的有幾何法和解析法。最常用的是解析法，下面僅以解析法做簡(jiǎn)單介紹。由前面講述的力在坐標(biāo)軸上的投影以及合力投影定理可知:合力FR的大小和方向?yàn)樯弦豁?yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用從靜力學(xué)中我們可以知道平面匯交力系平衡的條件是合力FR等于零，由式(1一8)則有所以即平面匯交力系平衡的解析條件是各力在x軸和J軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(1-9)稱為平面匯交力系平衡方程。運(yùn)用這兩個(gè)平衡方程，可以求解兩個(gè)未知量。注意:當(dāng)用解析法求解平衡問(wèn)題時(shí)，未知力的指向可先假設(shè)，如計(jì)算結(jié)果為正值，則表示所假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相同;如為負(fù)值，則表示所假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用2.平面力偶系的平衡方程作用在物體上同一平面內(nèi)的幾個(gè)力偶稱為平面力偶系。平面力偶系的合成就是把平衡力偶系中所有的力偶用一個(gè)與它們等效的合力偶來(lái)代替由于力偶沒(méi)有合力，因此可以推斷，力偶系合成的結(jié)果不會(huì)得到一個(gè)合力，而是一個(gè)合力偶，且其合力偶矩等于該力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。即由上可知，平面力偶系的合成結(jié)果是一個(gè)合力偶，若平面力偶系平衡，則合力偶矩必須等于零，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用反之，若合力偶矩為零，則平面力偶系平衡由此可知，平面力偶系平衡的充分和必要條件是:力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。式(1一11)是解平面力偶系平衡問(wèn)題的基本方程，運(yùn)用這個(gè)平衡方程，可以求出一個(gè)未知量。3.平面任意力系的平衡方程平面任意力系是指各力的作用線都分布在同一平面內(nèi)，既不匯交于一點(diǎn)，也不完全平行如圖1-26所示的房架，受風(fēng)力FQ、載荷FP和支座的反力FAx、FAy,FB。的作用，顯然這是一個(gè)平面任意力系因而不能像匯交力系或力偶系那樣直接求矢量和得到最終簡(jiǎn)化結(jié)果，但我們可以將各力的作用線向某點(diǎn)平移得到匯交力系以利用前面已得到的結(jié)果。為此，這里先介紹力線平移定理。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用力線平移定理是平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的依據(jù)，其定理是:作用在剛體上的力F可以平行移動(dòng)到剛體的任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)之矩。如圖1-27(a)所示，有一力F作用于A點(diǎn)，在剛體上任取一點(diǎn)B，在B點(diǎn)加上大小相等、方向相反且與力F平行的兩個(gè)力F’與F“，并使F‘=F”=F，如圖1一27(b)所示。顯然，力系(F，F(xiàn)’，F(xiàn)“>>)與力F是等效的。但力系(F，F(xiàn)‘，F(xiàn)”>>)可看做是一個(gè)作用在B點(diǎn)的力F’和一個(gè)力偶(F,F“)。于是原來(lái)作用在A點(diǎn)的力F，現(xiàn)在被一個(gè)作用在B點(diǎn)的力F’和一個(gè)力偶所代替，如圖1一27(c)所示。因此作用于平面內(nèi)的任意力就可以分解為一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系，如圖1一28所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用由此可以將平面任意力系的平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求解平面匯交力系和平面力偶系的問(wèn)題上，然后在將這兩個(gè)力系進(jìn)行合成。因此對(duì)于平面匯交力系來(lái)說(shuō)，其合力等于平面匯交力系中合力的矢量和。即FR’稱為原力系的主矢，如圖1一28(C)所示平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，這個(gè)合力偶矩M0等于各附加力偶矩的代數(shù)和。即上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用M0稱為原力系的主矩，如圖1-28(C)所示。它等于原力系中各力對(duì)O點(diǎn)之矩的代數(shù)和。綜上所述可知，當(dāng)主矢FR’和主矩M0中任何一個(gè)不等于零時(shí)，力系是不平衡的因此，要使平面力系平衡，就必有FR’=0,M0=0反之FR’=0,M0=0,則力系必然平衡。所以物體在平面任意力系作用下平衡的充分必要條件是:力系的主矢FR’和力系對(duì)任一點(diǎn)0的主矩M0都等于零。即故上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用即平面一般力系平衡的解析條件是:力系中各力在兩個(gè)正交坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。式(1一13)稱為平面任意力系的平衡方程，它是平衡方程的基本形式1.5.2平衡方程的應(yīng)用受到約束的物體，在外力的作用下處于平衡，應(yīng)用力系的平衡方程可以求出未知反力。求解過(guò)程按照以下步驟進(jìn)行:(1)根據(jù)題意選取研究對(duì)象，取出分離體(2)分析研究對(duì)象的受力情況，正確地在分離體上畫出受力圖。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用(3)應(yīng)用平衡方程求解未知量。應(yīng)當(dāng)注意判斷所選取的研究對(duì)象受到何種力系作用，所列出的方程個(gè)數(shù)不能多于該種力系的獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)，并注意列方程時(shí)力求一個(gè)方程中只出現(xiàn)一個(gè)未知量，盡量避免解聯(lián)立方程。【例1.5】桿AC,BC在C處鉸接，另一端均與墻面鉸接，如圖1一29(a)所示，F(xiàn)1和F2作用在銷釘C上，F(xiàn)1=445N,F2=535N，不計(jì)桿重，試求兩桿所受的力。解:(1)根據(jù)題意，選銷釘C為研究對(duì)象(2)畫受力圖。銷釘C受四個(gè)力的作用:已知F1和F2兩個(gè)力以及桿AC、桿BC給它的約束反力。而AC,BC均為二力桿。三力匯交于C點(diǎn)，如圖1一29(b)所示。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用(3)以水平向右為x軸方向，豎直向上為y軸方向，列平衡方程:得所以，AC桿受拉，BC桿受壓【例1.6】如圖1一30所示，電動(dòng)機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工作軸相連接，聯(lián)軸器上四個(gè)螺栓A,B,C,D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑AC=BD=150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M0=2.5kN·m，試求每個(gè)螺栓所受的力為多少?上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用解:(1)取聯(lián)軸器為研究對(duì)象作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶、每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖1一31所示。假設(shè)四個(gè)螺栓的受力均勻，即F1=F2=F3=F4=F，則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。(2)列平面力偶系平衡方程由ΣM=0，有故上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5力系的平衡方程及其應(yīng)用【例1.7】懸臂梁AB長(zhǎng)L,A端為固定端，如圖1-32(a)所示，已知均布載荷的集度為q，不計(jì)梁自重，求固定端A的約束反力。解:(1)取梁