第七章幾何光學基礎

第七章幾何光學基礎在許多實際的光學工程應用中，由于光的頻率很高（10-14Hz），波長很短（10-7m），光的傳輸特性可以利用波長趨于零的極限情況近似，這就是幾何光學處理光傳輸特性的基本思想。因此，可以認為幾何光學是波動光學在波長趨于零時的極限。對于大多數(shù)光學工程技術問題，應用幾何光學理論都可以得到較滿意的近似結果。第一節(jié)幾何光學的基本定律

一、波面、光線和光束

光波是橫波，在各向同性介質中，其電場的振動方向與傳播方向垂直，振動相位相同的各點在某時刻所形成的曲面稱為波面。

波面可以是平面、球面或其它曲面。

當發(fā)光體（光源）的大小和其輻射能的作用距離相比可以忽略不計時，該發(fā)光體稱為發(fā)光點或點光源。

在幾何光學中，發(fā)光點被抽象為一個既無體積又無大小的幾何點，任何被成像的物體都是由無數(shù)個這樣的發(fā)光點所組成。

在幾何光學中，光線被抽象為既無直徑又無體積的幾何線。它的方向代表光線的傳播方向即光能的傳播方向。

在各向同性介質中，光沿著波面的法線方向傳播，可以認為光波波面法線就是幾何光學中的光線，與波面對應的法線束稱為光束。

平面波對應于平行光束；球面波對應于會聚或發(fā)散光束；其光線既不相交于一點，又不平行所對應的光束稱為像散光束。如圖7-1所示。

幾何光學中的傳播規(guī)律和成像原理，是用光線的傳播途徑加以表示的，光線的這種傳播途徑稱為光路。

二、幾何光學的基本定律

1、光的直線傳播定律

在各向同性的均勻介質中，光線按直線傳播，這就是光的直線傳播定律。--只有光在均勻介質中無阻攔地傳播時才成立。

2、光的獨立傳播定律

從不同光源發(fā)出的光線，以不同的方向通過介質某點時，各光線彼此不影響，好像其它光線不存在似的獨立傳播，這就是光的獨立傳播定律。3、光的折射定律和反射定律當光在傳播中遇到兩種不同介質的光滑界面時，光線將發(fā)生折射和反射，其繼續(xù)傳播的規(guī)律遵循折射定律和反射定律。

說明：

在幾何光學應用中，必須考慮角量的符號規(guī)定。

如圖7-2，按照角度符號法規(guī)的規(guī)定：

入射角∠AON和折射角∠CON’均應以銳角來量度，由光線沿銳角轉向法線，順時針轉成的角為正，反之為負。

nSinI=n’SinI’折射定律如圖7-3，根據角度符號法規(guī)的規(guī)定，I=-I”

三、全反射現(xiàn)象當光線由光密介質進入光疏介質時，當入射角大于由兩種介質折射率所決定的臨界角時，光線將完全被界面反射回來，這就是全反射。

四、費馬原理

費馬原理指出：光線從A點到B點，是沿著光程為極值的路徑傳播的。也就是說，光由A點到B點的傳播在幾何方面存在著無數(shù)條可能的路徑，每條路徑都對應著一個光程值，光由A點傳播到B點的實際光路包含在這些可能的路徑之中。

任何一條實際的光路，其光程有一個共同的特點，即它均滿足極值條件。亦即，或者是所有光程可能值中的極小值，或者是所有光程可能值中的極大值，或者是某一穩(wěn)定值。

若把任意一條幾何上可能的路徑記為l,則與l對應的光程L(l)可用下列方程表示：

對應不同的路徑l,光程L(l)可能取不同的值。

如果廣義地把路徑l看是自變量，則光程L(l)可以視為是l的函數(shù)。這種形式函數(shù)取極值條件為

這就是費馬原理的數(shù)學表達式。

五、物像的基本概念

使用光學儀器，離不開物像的基本概念，物體通過光學系統(tǒng)成像，所成的像由人眼接收，這就是人們使用光學儀器的一般過程。

光學系統(tǒng)由一系列的光學零件所組成。

常見的光學零件有：

透鏡、棱鏡、平行平板和反射鏡等，其截面如圖7-8所示。

光學系統(tǒng)一般是軸對稱的，即有一條公共的軸線通過系統(tǒng)各表面的曲率中心，該軸線通常叫做光軸，這樣的系統(tǒng)稱為共軸光學系統(tǒng)。

絕大多數(shù)光學系統(tǒng)中的光學零件均由球面構成（平面可以看作無限大的球面）。這樣的系統(tǒng)稱為“球面系統(tǒng)”。在球面系統(tǒng)中，如果所有球心均位于同一線上，由于球面對于通過球心的任意一條直線都對稱，因此該直線就是整個系統(tǒng)的對稱軸線，也就是系統(tǒng)的光軸。這樣的系統(tǒng)稱為“共軸球面系統(tǒng)”。

透鏡是光學儀器中最常用的光學零件。透鏡可分為正的和負的兩類。正透鏡具有正的像方焦距，對光束起會聚作用。負透鏡具有負的像方焦距，對光束具有發(fā)散作用。

物和像概念的規(guī)定：

把光學系統(tǒng)之入射線會聚點的集合或入射線之延長線會聚點的集合，稱為該系統(tǒng)的物。

出射線會聚點的集合或出射線之延長線會聚點的集合，稱為物對該系統(tǒng)所成的像。實物與虛物：

若入射線真正地會交于一點稱為實物；若射線不真正地會交于一點，只是其延長線交于同一點，則稱為虛物。

實像與虛像：

若出射線真正地會交于一點則稱為實像；若出射線不真正地會交于一點，只是其延長線交于同一點，則稱為虛像。

物和像的的概念具有相對性，在圖7-10所示的光學系統(tǒng)中，A’點既是物點又是像點。

物像空間：

物體所在的空間稱為物空間，像所在空間稱像空間。

六、單個折射球面的折射

研究光線經單個球面的折射，是一般光學系統(tǒng)的成像基礎。

1、符號法則

如圖7-12所示，球形折射面是折射率為n和n’兩種介質的分界面，C為球心，OC為球面曲率半徑，以r表示。頂點以O表示。

在包含光軸的平面（即子午面）內，入射到球面的光線，其位置可由兩個參量來決定：

一個是頂點O到光線與光軸的交點A的距離，以L表示，稱為截距；另一個是入射光線與光軸的夾角∠EAO，以U表示，稱為孔徑角。

光線AE經過球面折射后，交光軸于A’點。光線EA’的確定也和AE相似，以相同字母表示兩個參量，僅在字母右上角加“’”以示區(qū)別，即L’=A’O和u’=∠EA’O，也稱為截距和孔徑角。

為了區(qū)別，L和U稱為物方截距和孔徑角

L’和U’稱為像方截距和孔徑角

符號規(guī)定：

1）光路方向

規(guī)定光經從左到右的傳播方向為正方向，反之為反向光路。

2）線量

沿軸線量：凡由規(guī)定的原點（計算起點）到終點的方向與光線的傳播方向相同者取為正，反之為負。

沿軸線段以原點為起始點，向右為正，向左為負；

規(guī)定，曲率半徑r和物方截距L，像方截距L’均以球面頂點為原點，球折射面之間的間隔以字母d表示，規(guī)定以前一球面頂點為原點。

垂軸線量：以光軸為準，在光軸之上為正，光軸之下為負。

3）角量

一律以銳角來衡量，由規(guī)定的起始邊沿順時針轉成者為正，逆時針轉成者為負。

對光線與光軸的夾角U和U’，規(guī)定光軸為起始邊，由光軸轉向光線，順時針為正，逆時針為負。

對光線與法線的夾角，即入射角I和折射角I’，規(guī)定光線為起始邊，由光線順時針轉到法線為正，反之為負。

對法線與光軸的夾角，球心角ψ，規(guī)定光軸為起始邊，由光軸順時針轉到法線為正，反之角負。

2、單個折射球隊面的光路計算公式

如圖7-12，在ΔAEC中

，有：在ΔA’EC中，有：折射定律：

由圖可知：

上述四式，是計算子午面內光線光路的基本公式?？捎梢阎腖和U通過上列四式求U’和L’。

由公式可知，當L為定值時，L’是角U的函數(shù)。

在圖7-13中，若A為軸上物點，發(fā)出同心光束，由于各光線具有不同的U角值，所以光束經球折射后，將有不同的L’值，即在像方和光束不和光軸交于一點，失去了同心性。因此，當軸上點寬光束經球面成像時，其像是不完善的，這種成像缺陷稱為像差。

若物體位于物方光軸上無限遠處，這時可認為由物體發(fā)出的光束是平行光束，即L=-∞，u=0，如圖7-14所示。校對公式：

為保證光路計算的準確性，需對結果進行校對，下面為大L公式的校對公式。

3、近軸光的光路計算公式

在圖7-12中，如果U角很小，即從A點發(fā)出的光線都離光軸很近，這樣的光線稱為近軸光。

此時，光路計算公式為：

當光線平行于光軸時，有由（5）式可知，當u角改變k倍時，i,i’,u’亦改變k倍，而l’不隨u角改變而改變。即表明由物點發(fā)出的一束細光束經折射后仍交于一點，其像是完全像，稱為高斯像。

高斯像的位置由l’決定，通過高斯像點垂直于光軸的像面，稱為高斯像面。構成物像關系的這一對點，稱為其軛點。

校對公式：

近軸光線光路計算的校對公式為：

第二節(jié)單個折射球面近軸區(qū)成像

根據前面六個公式可以導出以下三個公式：

表示單個折射球面，物方和像方的一些參量具有不變量形式，稱為阿貝不變量，用字母Q表示，Q值的大小只與共軛點的位置有關。

表示近軸光經球面折射前后的孔徑角u和u’的關系。

表示折射球面成像時，物像位置l（物距）和l’（像距）之間的關系。

一、物像公式

如圖7-16，F(xiàn)’點（軸上無限遠特點的像點），稱為球面的像方主焦點或第二焦點。（用f’表示），稱為第二主焦距。

F點稱為第一主焦點，稱為第二主焦距。

上式表明，單個球面像方焦距f’與物方焦距f的比等于相應介質折射率之比。

二、高斯公式和牛頓公式

物距l(xiāng)、像距l(xiāng)’，物方焦距f以及像方焦距f’有以下關系：

上式稱為球面折射的高斯公式。

如果物距和像距不以球折射面的頂點為原點，而分別從物方焦點F和像方焦點F’算起，并用x和x’表示，分別稱為焦物距和焦像距，如圖7-17所示。

則有：xx’=ff’

上式為牛頓公式。

三、光焦度

令：

對于一定的介質及一定形狀的表面來說，是一個不變量，它表征球面的光學特征，稱之為光焦度。

當r以米為單位時，的單位稱為折光度，以字母D表示。

四、垂軸放大率β

物體經球面折射成像后，通常不僅需要知道像的位置，而且還希望知道像的大小、虛實和倒正。因此，引入垂直放大率β。如圖7-18所示。

當求得一對共軛點的截距l(xiāng)和l’后，便可求得β。

結論：

當β<0時，表示y’和y異號，成倒像；同時l和l’異號表示物像處于球面兩側，實物成實像，虛物成虛像。當β>0時，y’和y同號，成正像；同時l和l’同號物像處于球面的同側，實物成虛像，虛物成實像。，表示為放大像；，表示為縮小像。五、軸向放大率

對于有一定體積的物體，除垂軸放大率外，其軸向也有尺寸，故還有軸向放大率α。

---只在物體軸向尺寸很小時適用

如果物體軸向尺寸足夠大，如圖7-19則軸向放大率用表示。

β1和β2分別為物在A1和A2兩點的垂軸放大率

六、角放大率γ

令：

三個放大率的關系：

七、拉亥不變量J（拉格朗日—亥姆霍茲不變量）

上式表明，在一對共軛平面內，成像的物高y，成像光束的孔徑角u和所在介質的折射率n三者的乘積是一個常數(shù)—J。

--拉格朗日—亥姆霍茲恒等式第三節(jié)球面反射鏡

只需在單個折射球面的公式中，使，即可得到反射球面的相應公式。

1、球面反射鏡的物像位置公式

2、球面反射鏡的焦距

球面反射鏡的二焦點重合。對凸球面反射鏡，r>0，則f’>0；對凹球面鏡，r<0，則f’<0。

3、球面反射鏡的高斯公式

4、球面反射鏡的放大率公式

球面反射鏡的軸向放大率永為負值，當物體沿光軸移動時，像總以相反方向沿軸移動。

5、球面反射情況下的拉亥不變量

球面反射鏡的物像關系如圖7-21所示。當物體處于球面反射鏡的球心時，則球心處的放大率為β=1，α=1,γ=1。

第四節(jié)平面鏡、棱鏡系統(tǒng)

一、平面反射鏡

平面反射鏡又稱為平面鏡，是光學系統(tǒng)中最簡單而且也是唯一能成完善像的光學零件。

1、單平面鏡的成像特性

如圖7-22所示。

反射光線PA和BO延長線的交點A’就是A經平面反射鏡所成的虛像。

如果射向平面反射鏡的是一會聚同心光束，即物點是一個虛物點，如圖7-23所示，則當光束經平鏡反射后成一實像點。

不管物和像是虛還是實，相對于平面反射鏡來說，物和像始終是對稱的。由于其對稱性，如果物體為左手坐標系O-XYZ，其像的大小與物相同，但卻是右手坐標系O’-X’Y’Z’，如圖7-24所示，這種物像不一致的像，叫做“鏡象”或“非一致像”。反之，稱為一致像。

平面鏡還有一個性質，即當保持入射光線的方向不變，而使平面鏡轉動一個α角，則反射光線將轉動2α角。

綜上所述，單個平面鏡的成像特性可歸納為：

點物成點像

物和像以平面鏡對稱，成非一致像

實物成虛像，虛物成實像

平面鏡轉動具有“光放大作用”

2、雙平面鏡的成像特性

將兩個平面反射鏡組合在一起，使兩個反射面構成一個二面角，這就是所謂的雙平面鏡系統(tǒng)。

物體經雙平面鏡的成像特性可分為光線經雙平面鏡多次反射和兩次反射的情況進行討論。

如圖7-27所示，兩平面反射鏡RP和QP相交于P棱，圖面為垂直于棱線P的任意平面，該平面稱為主截面。

圖中，像點數(shù)目的多少與雙面鏡的夾角α有關，α愈小，數(shù)目愈多，直到像點位于兩反射鏡背后不能再被反射鏡反射為止。

下面討論物體被雙平面鏡相繼反射一次時的成像情況。

如圖7-28所示，兩平面鏡間夾角為α，主截面內任意一條光線經兩平面鏡依次反射后，入射線和出射線的夾角為β，則有：

β=2α

上式表明，出射光線和入射光線之間的夾角與入射角無關，只決定于反射鏡夾角α。因此，光線方向的改變可以根據實際需要通過選擇適當?shù)摩两莵韺崿F(xiàn)。

雙平面反射鏡的成像特性可歸納為：二次反射像的坐標系統(tǒng)與原物坐標系統(tǒng)相同，成一致像。

位于主截面內的光線，不論其入射方向如何，出射線轉角永遠等于兩平面鏡夾角的二倍。

二、平面折射

1、平面折射的基本公式

在光學系統(tǒng)中經常遇到一些平面光學零件，如平凸、平凹透鏡及全反射棱鏡等，因此需要導出光線入射于平面時折射成像的公式。

如圖7-29所示，一光線AO入射到平面介面上，將產生折射。由圖可知：以上四式為平面折射的基本公式，由此就能夠確定任意一條光線經過平面折射后的光路。

由上式可知，對于一個折射平面來說，L’也是U角的函數(shù)，即由光軸上同一物點發(fā)出的具有不同U角的光線，經過平面折射之后，并不能都相交于一點。也就是說，不能成完善像。

如果入射光線為近軸光線，則上述平面折射的基本公式可表示如下形式：

由上式可知，近軸光線經過平面折射，可以成完善像，并β=±1，即為正像，像的大小與物一樣。

2、光線經平行平板時的折射

光學儀器中常用到由兩個折射平面構成的玻璃平板，或者由一些特定材料構成的平行平板，如紅外探測器的窗口等。

圖7-30給出了一個厚度為d的平行平板，設它處于空氣中，即兩邊折射率都等于1，平行平板玻璃的折射率為n。

結論：

(1)光線經平行平板折射后方向不變。

(2)放大率為:α=β=γ=1

(3)光線經平行平板折射后，雖然方向不變，但要產生位移。

側向位移（即平行位移）

軸向位移

同樣可知，從物點A發(fā)出的同心光束經過平行平板后，就不再是同心光束，成像是不完善的。

如果入射光束以近于無限細的近軸光束通過平行平板成像，則

因此，物點以近軸光經平行平板成像是完善的。

三、反射棱鏡

1、反射棱鏡的分類及作用

反射棱鏡一般有兩個折射面和若干個反射面，統(tǒng)稱為工作面。兩個工作面之交線稱為棱，垂直棱的截面稱為主截面。

2、屋脊棱鏡

在光學系統(tǒng)中有奇數(shù)個反射面時，物體成鏡像。為了獲得和物相似的像，在不宜增加反射面的情況下，可以利用兩個互相垂直的反射面代替其中的一個反射面，這兩個互相垂直的反射面叫作屋脊面。

帶有