第七章幾何光學(xué)基礎(chǔ)

第七章幾何光學(xué)基礎(chǔ)在許多實(shí)際的光學(xué)工程應(yīng)用中，由于光的頻率很高（10-14Hz），波長很短（10-7m），光的傳輸特性可以利用波長趨于零的極限情況近似，這就是幾何光學(xué)處理光傳輸特性的基本思想。因此，可以認(rèn)為幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在波長趨于零時(shí)的極限。對(duì)于大多數(shù)光學(xué)工程技術(shù)問題，應(yīng)用幾何光學(xué)理論都可以得到較滿意的近似結(jié)果。第一節(jié)幾何光學(xué)的基本定律

一、波面、光線和光束

光波是橫波，在各向同性介質(zhì)中，其電場(chǎng)的振動(dòng)方向與傳播方向垂直，振動(dòng)相位相同的各點(diǎn)在某時(shí)刻所形成的曲面稱為波面。

波面可以是平面、球面或其它曲面。

當(dāng)發(fā)光體（光源）的大小和其輻射能的作用距離相比可以忽略不計(jì)時(shí)，該發(fā)光體稱為發(fā)光點(diǎn)或點(diǎn)光源。

在幾何光學(xué)中，發(fā)光點(diǎn)被抽象為一個(gè)既無體積又無大小的幾何點(diǎn)，任何被成像的物體都是由無數(shù)個(gè)這樣的發(fā)光點(diǎn)所組成。

在幾何光學(xué)中，光線被抽象為既無直徑又無體積的幾何線。它的方向代表光線的傳播方向即光能的傳播方向。

在各向同性介質(zhì)中，光沿著波面的法線方向傳播，可以認(rèn)為光波波面法線就是幾何光學(xué)中的光線，與波面對(duì)應(yīng)的法線束稱為光束。

平面波對(duì)應(yīng)于平行光束；球面波對(duì)應(yīng)于會(huì)聚或發(fā)散光束；其光線既不相交于一點(diǎn)，又不平行所對(duì)應(yīng)的光束稱為像散光束。如圖7-1所示。

幾何光學(xué)中的傳播規(guī)律和成像原理，是用光線的傳播途徑加以表示的，光線的這種傳播途徑稱為光路。

二、幾何光學(xué)的基本定律

1、光的直線傳播定律

在各向同性的均勻介質(zhì)中，光線按直線傳播，這就是光的直線傳播定律。--只有光在均勻介質(zhì)中無阻攔地傳播時(shí)才成立。

2、光的獨(dú)立傳播定律

從不同光源發(fā)出的光線，以不同的方向通過介質(zhì)某點(diǎn)時(shí)，各光線彼此不影響，好像其它光線不存在似的獨(dú)立傳播，這就是光的獨(dú)立傳播定律。3、光的折射定律和反射定律當(dāng)光在傳播中遇到兩種不同介質(zhì)的光滑界面時(shí)，光線將發(fā)生折射和反射，其繼續(xù)傳播的規(guī)律遵循折射定律和反射定律。

說明：

在幾何光學(xué)應(yīng)用中，必須考慮角量的符號(hào)規(guī)定。

如圖7-2，按照角度符號(hào)法規(guī)的規(guī)定：

入射角∠AON和折射角∠CON’均應(yīng)以銳角來量度，由光線沿銳角轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針轉(zhuǎn)成的角為正，反之為負(fù)。

nSinI=n’SinI’折射定律如圖7-3，根據(jù)角度符號(hào)法規(guī)的規(guī)定，I=-I”

三、全反射現(xiàn)象當(dāng)光線由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，當(dāng)入射角大于由兩種介質(zhì)折射率所決定的臨界角時(shí)，光線將完全被界面反射回來，這就是全反射。

四、費(fèi)馬原理

費(fèi)馬原理指出：光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)，是沿著光程為極值的路徑傳播的。也就是說，光由A點(diǎn)到B點(diǎn)的傳播在幾何方面存在著無數(shù)條可能的路徑，每條路徑都對(duì)應(yīng)著一個(gè)光程值，光由A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)的實(shí)際光路包含在這些可能的路徑之中。

任何一條實(shí)際的光路，其光程有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即它均滿足極值條件。亦即，或者是所有光程可能值中的極小值，或者是所有光程可能值中的極大值，或者是某一穩(wěn)定值。

若把任意一條幾何上可能的路徑記為l,則與l對(duì)應(yīng)的光程L(l)可用下列方程表示：

對(duì)應(yīng)不同的路徑l,光程L(l)可能取不同的值。

如果廣義地把路徑l看是自變量，則光程L(l)可以視為是l的函數(shù)。這種形式函數(shù)取極值條件為

這就是費(fèi)馬原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

五、物像的基本概念

使用光學(xué)儀器，離不開物像的基本概念，物體通過光學(xué)系統(tǒng)成像，所成的像由人眼接收，這就是人們使用光學(xué)儀器的一般過程。

光學(xué)系統(tǒng)由一系列的光學(xué)零件所組成。

常見的光學(xué)零件有：

透鏡、棱鏡、平行平板和反射鏡等，其截面如圖7-8所示。

光學(xué)系統(tǒng)一般是軸對(duì)稱的，即有一條公共的軸線通過系統(tǒng)各表面的曲率中心，該軸線通常叫做光軸，這樣的系統(tǒng)稱為共軸光學(xué)系統(tǒng)。

絕大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)中的光學(xué)零件均由球面構(gòu)成（平面可以看作無限大的球面）。這樣的系統(tǒng)稱為“球面系統(tǒng)”。在球面系統(tǒng)中，如果所有球心均位于同一線上，由于球面對(duì)于通過球心的任意一條直線都對(duì)稱，因此該直線就是整個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱軸線，也就是系統(tǒng)的光軸。這樣的系統(tǒng)稱為“共軸球面系統(tǒng)”。

透鏡是光學(xué)儀器中最常用的光學(xué)零件。透鏡可分為正的和負(fù)的兩類。正透鏡具有正的像方焦距，對(duì)光束起會(huì)聚作用。負(fù)透鏡具有負(fù)的像方焦距，對(duì)光束具有發(fā)散作用。

物和像概念的規(guī)定：

把光學(xué)系統(tǒng)之入射線會(huì)聚點(diǎn)的集合或入射線之延長線會(huì)聚點(diǎn)的集合，稱為該系統(tǒng)的物。

出射線會(huì)聚點(diǎn)的集合或出射線之延長線會(huì)聚點(diǎn)的集合，稱為物對(duì)該系統(tǒng)所成的像。實(shí)物與虛物：

若入射線真正地會(huì)交于一點(diǎn)稱為實(shí)物；若射線不真正地會(huì)交于一點(diǎn)，只是其延長線交于同一點(diǎn)，則稱為虛物。

實(shí)像與虛像：

若出射線真正地會(huì)交于一點(diǎn)則稱為實(shí)像；若出射線不真正地會(huì)交于一點(diǎn)，只是其延長線交于同一點(diǎn)，則稱為虛像。

物和像的的概念具有相對(duì)性，在圖7-10所示的光學(xué)系統(tǒng)中，A’點(diǎn)既是物點(diǎn)又是像點(diǎn)。

物像空間：

物體所在的空間稱為物空間，像所在空間稱像空間。

六、單個(gè)折射球面的折射

研究光線經(jīng)單個(gè)球面的折射，是一般光學(xué)系統(tǒng)的成像基礎(chǔ)。

1、符號(hào)法則

如圖7-12所示，球形折射面是折射率為n和n’兩種介質(zhì)的分界面，C為球心，OC為球面曲率半徑，以r表示。頂點(diǎn)以O(shè)表示。

在包含光軸的平面（即子午面）內(nèi)，入射到球面的光線，其位置可由兩個(gè)參量來決定：

一個(gè)是頂點(diǎn)O到光線與光軸的交點(diǎn)A的距離，以L表示，稱為截距；另一個(gè)是入射光線與光軸的夾角∠EAO，以U表示，稱為孔徑角。

光線AE經(jīng)過球面折射后，交光軸于A’點(diǎn)。光線EA’的確定也和AE相似，以相同字母表示兩個(gè)參量，僅在字母右上角加“’”以示區(qū)別，即L’=A’O和u’=∠EA’O，也稱為截距和孔徑角。

為了區(qū)別，L和U稱為物方截距和孔徑角

L’和U’稱為像方截距和孔徑角

符號(hào)規(guī)定：

1）光路方向

規(guī)定光經(jīng)從左到右的傳播方向?yàn)檎较颍粗疄榉聪蚬饴贰?/p>

2）線量

沿軸線量：凡由規(guī)定的原點(diǎn)（計(jì)算起點(diǎn)）到終點(diǎn)的方向與光線的傳播方向相同者取為正，反之為負(fù)。

沿軸線段以原點(diǎn)為起始點(diǎn)，向右為正，向左為負(fù)；

規(guī)定，曲率半徑r和物方截距L，像方截距L’均以球面頂點(diǎn)為原點(diǎn)，球折射面之間的間隔以字母d表示，規(guī)定以前一球面頂點(diǎn)為原點(diǎn)。

垂軸線量：以光軸為準(zhǔn)，在光軸之上為正，光軸之下為負(fù)。

3）角量

一律以銳角來衡量，由規(guī)定的起始邊沿順時(shí)針轉(zhuǎn)成者為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)成者為負(fù)。

對(duì)光線與光軸的夾角U和U’，規(guī)定光軸為起始邊，由光軸轉(zhuǎn)向光線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。

對(duì)光線與法線的夾角，即入射角I和折射角I’，規(guī)定光線為起始邊，由光線順時(shí)針轉(zhuǎn)到法線為正，反之為負(fù)。

對(duì)法線與光軸的夾角，球心角ψ，規(guī)定光軸為起始邊，由光軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到法線為正，反之角負(fù)。

2、單個(gè)折射球隊(duì)面的光路計(jì)算公式

如圖7-12，在ΔAEC中

，有：在ΔA’EC中，有：折射定律：

由圖可知：

上述四式，是計(jì)算子午面內(nèi)光線光路的基本公式?？捎梢阎腖和U通過上列四式求U’和L’。

由公式可知，當(dāng)L為定值時(shí)，L’是角U的函數(shù)。

在圖7-13中，若A為軸上物點(diǎn)，發(fā)出同心光束，由于各光線具有不同的U角值，所以光束經(jīng)球折射后，將有不同的L’值，即在像方和光束不和光軸交于一點(diǎn)，失去了同心性。因此，當(dāng)軸上點(diǎn)寬光束經(jīng)球面成像時(shí)，其像是不完善的，這種成像缺陷稱為像差。

若物體位于物方光軸上無限遠(yuǎn)處，這時(shí)可認(rèn)為由物體發(fā)出的光束是平行光束，即L=-∞，u=0，如圖7-14所示。校對(duì)公式：

為保證光路計(jì)算的準(zhǔn)確性，需對(duì)結(jié)果進(jìn)行校對(duì)，下面為大L公式的校對(duì)公式。

3、近軸光的光路計(jì)算公式

在圖7-12中，如果U角很小，即從A點(diǎn)發(fā)出的光線都離光軸很近，這樣的光線稱為近軸光。

此時(shí)，光路計(jì)算公式為：

當(dāng)光線平行于光軸時(shí)，有由（5）式可知，當(dāng)u角改變k倍時(shí)，i,i’,u’亦改變k倍，而l’不隨u角改變而改變。即表明由物點(diǎn)發(fā)出的一束細(xì)光束經(jīng)折射后仍交于一點(diǎn)，其像是完全像，稱為高斯像。

高斯像的位置由l’決定，通過高斯像點(diǎn)垂直于光軸的像面，稱為高斯像面。構(gòu)成物像關(guān)系的這一對(duì)點(diǎn)，稱為其軛點(diǎn)。

校對(duì)公式：

近軸光線光路計(jì)算的校對(duì)公式為：

第二節(jié)單個(gè)折射球面近軸區(qū)成像

根據(jù)前面六個(gè)公式可以導(dǎo)出以下三個(gè)公式：

表示單個(gè)折射球面，物方和像方的一些參量具有不變量形式，稱為阿貝不變量，用字母Q表示，Q值的大小只與共軛點(diǎn)的位置有關(guān)。

表示近軸光經(jīng)球面折射前后的孔徑角u和u’的關(guān)系。

表示折射球面成像時(shí)，物像位置l（物距）和l’（像距）之間的關(guān)系。

一、物像公式

如圖7-16，F(xiàn)’點(diǎn)（軸上無限遠(yuǎn)特點(diǎn)的像點(diǎn)），稱為球面的像方主焦點(diǎn)或第二焦點(diǎn)。（用f’表示），稱為第二主焦距。

F點(diǎn)稱為第一主焦點(diǎn)，稱為第二主焦距。

上式表明，單個(gè)球面像方焦距f’與物方焦距f的比等于相應(yīng)介質(zhì)折射率之比。

二、高斯公式和牛頓公式

物距l(xiāng)、像距l(xiāng)’，物方焦距f以及像方焦距f’有以下關(guān)系：

上式稱為球面折射的高斯公式。

如果物距和像距不以球折射面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，而分別從物方焦點(diǎn)F和像方焦點(diǎn)F’算起，并用x和x’表示，分別稱為焦物距和焦像距，如圖7-17所示。

則有：xx’=ff’

上式為牛頓公式。

三、光焦度

令：

對(duì)于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來說，是一個(gè)不變量，它表征球面的光學(xué)特征，稱之為光焦度。

當(dāng)r以米為單位時(shí)，的單位稱為折光度，以字母D表示。

四、垂軸放大率β

物體經(jīng)球面折射成像后，通常不僅需要知道像的位置，而且還希望知道像的大小、虛實(shí)和倒正。因此，引入垂直放大率β。如圖7-18所示。

當(dāng)求得一對(duì)共軛點(diǎn)的截距l(xiāng)和l’后，便可求得β。

結(jié)論：

當(dāng)β<0時(shí)，表示y’和y異號(hào)，成倒像；同時(shí)l和l’異號(hào)表示物像處于球面兩側(cè)，實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像。當(dāng)β>0時(shí)，y’和y同號(hào)，成正像；同時(shí)l和l’同號(hào)物像處于球面的同側(cè)，實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像。，表示為放大像；，表示為縮小像。五、軸向放大率

對(duì)于有一定體積的物體，除垂軸放大率外，其軸向也有尺寸，故還有軸向放大率α。

---只在物體軸向尺寸很小時(shí)適用

如果物體軸向尺寸足夠大，如圖7-19則軸向放大率用表示。

β1和β2分別為物在A1和A2兩點(diǎn)的垂軸放大率

六、角放大率γ

令：

三個(gè)放大率的關(guān)系：

七、拉亥不變量J（拉格朗日—亥姆霍茲不變量）

上式表明，在一對(duì)共軛平面內(nèi)，成像的物高y，成像光束的孔徑角u和所在介質(zhì)的折射率n三者的乘積是一個(gè)常數(shù)—J。

--拉格朗日—亥姆霍茲恒等式第三節(jié)球面反射鏡

只需在單個(gè)折射球面的公式中，使，即可得到反射球面的相應(yīng)公式。

1、球面反射鏡的物像位置公式

2、球面反射鏡的焦距

球面反射鏡的二焦點(diǎn)重合。對(duì)凸球面反射鏡，r>0，則f’>0；對(duì)凹球面鏡，r<0，則f’<0。

3、球面反射鏡的高斯公式

4、球面反射鏡的放大率公式

球面反射鏡的軸向放大率永為負(fù)值，當(dāng)物體沿光軸移動(dòng)時(shí)，像總以相反方向沿軸移動(dòng)。

5、球面反射情況下的拉亥不變量

球面反射鏡的物像關(guān)系如圖7-21所示。當(dāng)物體處于球面反射鏡的球心時(shí)，則球心處的放大率為β=1，α=1,γ=1。

第四節(jié)平面鏡、棱鏡系統(tǒng)

一、平面反射鏡

平面反射鏡又稱為平面鏡，是光學(xué)系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單而且也是唯一能成完善像的光學(xué)零件。

1、單平面鏡的成像特性

如圖7-22所示。

反射光線PA和BO延長線的交點(diǎn)A’就是A經(jīng)平面反射鏡所成的虛像。

如果射向平面反射鏡的是一會(huì)聚同心光束，即物點(diǎn)是一個(gè)虛物點(diǎn)，如圖7-23所示，則當(dāng)光束經(jīng)平鏡反射后成一實(shí)像點(diǎn)。

不管物和像是虛還是實(shí)，相對(duì)于平面反射鏡來說，物和像始終是對(duì)稱的。由于其對(duì)稱性，如果物體為左手坐標(biāo)系O-XYZ，其像的大小與物相同，但卻是右手坐標(biāo)系O’-X’Y’Z’，如圖7-24所示，這種物像不一致的像，叫做“鏡象”或“非一致像”。反之，稱為一致像。

平面鏡還有一個(gè)性質(zhì)，即當(dāng)保持入射光線的方向不變，而使平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)α角，則反射光線將轉(zhuǎn)動(dòng)2α角。

綜上所述，單個(gè)平面鏡的成像特性可歸納為：

點(diǎn)物成點(diǎn)像

物和像以平面鏡對(duì)稱，成非一致像

實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像

平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng)具有“光放大作用”

2、雙平面鏡的成像特性

將兩個(gè)平面反射鏡組合在一起，使兩個(gè)反射面構(gòu)成一個(gè)二面角，這就是所謂的雙平面鏡系統(tǒng)。

物體經(jīng)雙平面鏡的成像特性可分為光線經(jīng)雙平面鏡多次反射和兩次反射的情況進(jìn)行討論。

如圖7-27所示，兩平面反射鏡RP和QP相交于P棱，圖面為垂直于棱線P的任意平面，該平面稱為主截面。

圖中，像點(diǎn)數(shù)目的多少與雙面鏡的夾角α有關(guān)，α愈小，數(shù)目愈多，直到像點(diǎn)位于兩反射鏡背后不能再被反射鏡反射為止。

下面討論物體被雙平面鏡相繼反射一次時(shí)的成像情況。

如圖7-28所示，兩平面鏡間夾角為α，主截面內(nèi)任意一條光線經(jīng)兩平面鏡依次反射后，入射線和出射線的夾角為β，則有：

β=2α

上式表明，出射光線和入射光線之間的夾角與入射角無關(guān)，只決定于反射鏡夾角α。因此，光線方向的改變可以根據(jù)實(shí)際需要通過選擇適當(dāng)?shù)摩两莵韺?shí)現(xiàn)。

雙平面反射鏡的成像特性可歸納為：二次反射像的坐標(biāo)系統(tǒng)與原物坐標(biāo)系統(tǒng)相同，成一致像。

位于主截面內(nèi)的光線，不論其入射方向如何，出射線轉(zhuǎn)角永遠(yuǎn)等于兩平面鏡夾角的二倍。

二、平面折射

1、平面折射的基本公式

在光學(xué)系統(tǒng)中經(jīng)常遇到一些平面光學(xué)零件，如平凸、平凹透鏡及全反射棱鏡等，因此需要導(dǎo)出光線入射于平面時(shí)折射成像的公式。

如圖7-29所示，一光線AO入射到平面介面上，將產(chǎn)生折射。由圖可知：以上四式為平面折射的基本公式，由此就能夠確定任意一條光線經(jīng)過平面折射后的光路。

由上式可知，對(duì)于一個(gè)折射平面來說，L’也是U角的函數(shù)，即由光軸上同一物點(diǎn)發(fā)出的具有不同U角的光線，經(jīng)過平面折射之后，并不能都相交于一點(diǎn)。也就是說，不能成完善像。

如果入射光線為近軸光線，則上述平面折射的基本公式可表示如下形式：

由上式可知，近軸光線經(jīng)過平面折射，可以成完善像，并β=±1，即為正像，像的大小與物一樣。

2、光線經(jīng)平行平板時(shí)的折射

光學(xué)儀器中常用到由兩個(gè)折射平面構(gòu)成的玻璃平板，或者由一些特定材料構(gòu)成的平行平板，如紅外探測(cè)器的窗口等。

圖7-30給出了一個(gè)厚度為d的平行平板，設(shè)它處于空氣中，即兩邊折射率都等于1，平行平板玻璃的折射率為n。

結(jié)論：

(1)光線經(jīng)平行平板折射后方向不變。

(2)放大率為:α=β=γ=1

(3)光線經(jīng)平行平板折射后，雖然方向不變，但要產(chǎn)生位移。

側(cè)向位移（即平行位移）

軸向位移

同樣可知，從物點(diǎn)A發(fā)出的同心光束經(jīng)過平行平板后，就不再是同心光束，成像是不完善的。

如果入射光束以近于無限細(xì)的近軸光束通過平行平板成像，則

因此，物點(diǎn)以近軸光經(jīng)平行平板成像是完善的。

三、反射棱鏡

1、反射棱鏡的分類及作用

反射棱鏡一般有兩個(gè)折射面和若干個(gè)反射面，統(tǒng)稱為工作面。兩個(gè)工作面之交線稱為棱，垂直棱的截面稱為主截面。

2、屋脊棱鏡

在光學(xué)系統(tǒng)中有奇數(shù)個(gè)反射面時(shí)，物體成鏡像。為了獲得和物相似的像，在不宜增加反射面的情況下，可以利用兩個(gè)互相垂直的反射面代替其中的一個(gè)反射面，這兩個(gè)互相垂直的反射面叫作屋脊面。

帶有