第4章債務(wù)償還01

第4章債務(wù)償還【考試要求】4.1分期償還計劃

貸款余額分期償還表償還頻率與計息頻率不同時的分期償還表變動償還系列連續(xù)償還的分期償還表

4.2償債基金

償債基金表償還頻率與計息頻率不同時的償債基金法變動償還系列

【要點詳解】§4.1分期償還計劃

1．貸款余額

（1）債務(wù)償還的方式一般有以下三種：①滿期償還。借款者在貸款期滿時一次性償還貸款的本金和利息；②分期償還。借款者在貸款期內(nèi)，按一定的時間間隔，分期償還貸款的本金和利息；③償債基金。借款者每期向貸款者支付貸款利息，并且按期另存一筆款，建立一個基金，在貸款期滿時這一基金恰好等于貸款本金，一次性償還給貸款者。（2）貸款余額：是指借款人在該時刻一次性償還剩余貸款的額度。

（3）貸款余額的計算方法：在分期償還計劃中，設(shè)L為貸款額，n為分期還款次數(shù)，P為每期還款額，i為貸款利率。①過去法過去法是基于已經(jīng)歷時間的貸款及還款的積累值而計算貸款余額的方法。過去法k時（k為整數(shù)）的貸款余額（剛剛償還P后）為貸款額L按利率i的積累值與每期償還額為P的每期償還款按利率i的積累值之差，貸款余額記為，則：②未來法未來法是根據(jù)未來要償還款項的折現(xiàn)值計算貸款余額的方法。未來法k時（k為整數(shù)）的貸款余額（剛剛償還P后）應(yīng)該是未來n-k次償還款，按利率i折現(xiàn)到k時的現(xiàn)值。貸款余額記為，則：

顯然，兩種計算方法的結(jié)果是等價的，即：我們通常將k時的貸款余額記為Bk。

另外，在時刻k與k+1之間某一時刻k+t（0＜t＜1）的貸款余額為：

Bk+t=Bk（1+i）t（4.3）

注意：通常情況下，已知每次還款額以及尚未還款次數(shù)，則用未來法就較為簡便；若不知道所需還款的次數(shù)或最后一次可能的不規(guī)則還款數(shù)，則用過去法較為方便。

【例題4.1】某總額1000元的債務(wù)，原定將分10年于每年年末等額償付，合同年有效利率為5%。當(dāng)?shù)?次償付完成時，年利率上調(diào)為6%，如果余下6次等額還款，則每次還款額為（）元。[2008年春季考試真題]A．127.86B．129.57C．130.52D．133.67E．138.24

【答案】D

【解析】設(shè)原還款額為P，由題意，得：

解得：P=129.50（元）。第4次還款后的余額為：

設(shè)余下的6次等額還款，每次還款額為R，則有：

解得：R=133.67（元）。

【例題4.2】一筆20年期的貸款，借款人原計劃每年年末償還1000元，在第5年末借款人實際償還了3000元，他希望將余額在未來的12年等額還清，假設(shè)年利率為9%，則每年的還款額為（）元。[2008年春季考試真題]A．832B．846C．875D．882E．896

【答案】B

【解析】設(shè)每年的還款額為R，由題意，得：

解得：R=846.37（元）。

【例題4.3】某人購房時向銀行借款3000000元，分30年還清，每月月末還款一次，若每年計息12次的年名義利率為6.6%，則在第240次還款后的貸款余額為（）。[2011年春季考試真題]A．1678936B．1679835C．1680733D．1681639E．1682535

【答案】B

【解析】每月月末還款一次，一共還款n=360次，月實際利率為i=0.066/12=0.0055；每月還款額為X則有：（百萬）第240次還款后，還剩120次還款，貸款余額為：

【例題4.4】一筆貸款將在未來n（n＞10）年內(nèi)等額分期償還，首次付款在第一年末，如果在第n-10年末追加償還1000元，這樣在該年后各年付款額將比該年前各年度付款額減少一個數(shù)額X元。設(shè)年復(fù)利率為5%。則數(shù)額X=（）元。A．106.5B．111.5C．115.5D．120.5E．129.5

【答案】E

【解析】由題意，得：

又

所以解方程，得：X＝129.5（元）。

【例題4.5】某人現(xiàn)貸款2000000元，以后每年年未還款100000元，直至還完，已知貸款年利率為2.5%，該人還款的整數(shù)期為n，且出現(xiàn)了還款零頭，若零頭在n到n+1之間支付，則還款零頭為（）。[2011年春季考試真題]A．6837B．6910C．7022D．7098E．7173

【答案】C

【解析】設(shè)經(jīng)過n期還完貸款，則有（十萬），求得：故還款的整數(shù)次為28次，k=0.07103453，于是還款零頭為：

2．分期償還表

（1）分期償還表就是包括各期償還款中的利息和本金的額度以及每期還款后的貸款余額的列表。（2）分期償還款按標準型年金進行。貸款額為，年利率為i，還款期限為n，每期末還款額為l的分期償還表4-1如下。

表4-1可見，對于每期末還款額為1，期限為n的標準型年金，有：

Ik=1－vn-k+1（4.4）

Pk=vn-k+1（4.5）若貸款額不是，而是L，則每期償還款為

（4.6）

【例題4.6】某人以分期償還法每年等額償還一筆10年期貸款，第5年度末和第8年度末的分期付款額中償還的本金之和恰好是年度付款額的1.8倍。則貸款的年復(fù)利率為（）。A．2.18%B．2.38%C．2.58%D．2.78%E．2.88%

【答案】B

【解析】設(shè)年還款額為P，則：第5年末還款額中的本金部分為：P5=Pv10-5+1=Pv6，第8年末還款額中的本金部分為：P8=Pv10-8+1=Pv3,由題意，得：

Pv6+Pv3=1.8P，即v6+v3=1.8，解得：v=0.976723，故利率i=v-1－1=0.0238。

3．償還頻率與計息頻率不同時的分期償還表

（1）償還頻率小于計息頻率若每償還期計息k次，即償還頻率小于計息頻率，計息期為n，則共有n/k次償還款，n/k為整數(shù)。若利率為i，每次償還款額為1，則貸款額為。貸款償還只發(fā)生在時刻k，2k，…，n。表4-2列出了這種情形下每次償還款包含的利息部分、本金部分以及剛剛還畢一次款后的貸款余額。

表4-2

（2）償還頻率大于計息頻率若每計息期償還貸款m次，即償還頻率大于計息頻率，共n個計息期，每計息期利率為i，則每次還款額為1／m，總共有mn次還款，最初貸款額為，表4-3列出了這種情形下的每次償還款包含的利息部分、本金部分以及剛剛還畢一次款后的貸款余額。

表4-3

【例題4.7】甲向乙借款10000元，約定在未來的6年內(nèi)按季度等額還款，利率為季度轉(zhuǎn)換8%。在第2年的年末，乙將未來的收款權(quán)轉(zhuǎn)讓給了丙，轉(zhuǎn)讓價產(chǎn)生季度轉(zhuǎn)換年收益率10%，則丙收到的總利息為（）元。[2008年春季考試真題]A．1512B．1524C．1538D．1557E．1568

【答案】D

【解析】由已知，每季度實際利率為：8%÷4＝0.02。設(shè)甲每次的付款額為R，由題意得：

解得：R＝528.71。于是，丙收到的款項為：528.71×16=8459.37（元）又丙的購買價為：

故丙收到的總利息為：8459.37－6902.31=1557.06（元）

【例題4.8】某借款人半年末還貸款一次，每次1000元，共5年，每年計息兩次的年名義利率為8%，則第6次還款中的本金部分為（）元。A．754B．822C．895D．913E．984

【答案】B【解析】由已知，每半年的實際利率為：8%÷2＝0.04。第5次還款后的借款余額為：

于是，第6次還款中的利息部分為：I6=0.04×B5=178.07（元）；故第6次還款中的本金部分為：P6=R－I6=821.93（元）。

4．變動償還系列

分期償還貸款的每期償還額可以不同，例如：均衡的分期償還款后，有一個不規(guī)則的還款額的情況；各期償還款均不相同的情況等。假設(shè)計息頻率與還款頻率是一致的。以Rk表示第k期末的分期還款額，k=1，2，…，n，貸款利率為i，則有：

這是一般情形下的分期償還現(xiàn)值公式，且Rk>0。

【例題4.9】某人向銀行貸了10年的款，年利率為6%，每年末還款一次，首期還款300元，以后每期比前期還款增加10元。計算第6次還款中的利息與本金部分分別為（）元。A．83.2；266.8B．87.2；262.8C．93.2；256.8D．98.2；251.8E．107.2；242.8

【答案】C

【解析】第5次還款后的貸款余額為：

第6次還款中的利息部分為：

I6=B5×i=1553.67×0.06=93.2（元）所以第6次還款中的本金部分為：

P6=350－93.2=256.8（元）

5．連續(xù)償還的分期償還表

假設(shè)每計息期償還額相等，貸款額為貸款期限為n年，按每計息期償還額為1的連續(xù)償還形式償還貸款，則t時的貸款余額為：（4.8）（4.9）設(shè)t時償還的利息的變化率記為本金的變化率記為則有：

【例題4.10】某貸款額為1，期限為8年，采取連續(xù)還款方式，每年的還款使得這8年的貸款余額連續(xù)地由1線性地減到0，貸款年利率按δ=0.08計，前4年還款中的利息部分為（）。A．0.08B．0.24C．0.32D．0.40E．0.64

【答案】B

【解析】t時的貸款余額為：Bt=1－t/8，所以前4年還款中的利息部分為：

§4.2償債基金

1．償債基金表

（1）償債基金借款人在每還款期將在該期內(nèi)貸款產(chǎn)生的利息支付給貸款人，同時也在專門建立的一個基金中存入一筆款，使得這些款項建立的基金在貸款期末積累至貸款本金的額度，正好用于償還貸款本金。這一基金就稱為償債基金，每期支付的利息稱為使用費或服務(wù)費。（2）①貸款利率與償債基金存款利率相同的情況若貸款額為1，年利率為i，貸款期限為n，按償債基金法償還貸款，則每期支付利息為i，設(shè)各期存入償債基金的款項為D，償債基金存款利率也為i，則有：借款人每期末需要支付的款項為：

說明：償債基金法與分期償還法在貸款利率與償債基金存款利率相等時是等價的，即：貸款額為，期限為n，貸款利率與償債基金存款利率都為i的償債基金表，如表4—4。表4—4②貸款利率與償債基金存款利率不同的情況為避免引入過多的符號，假定每期存入償債基金的金額以及每期借款人的支出額都相等。設(shè)：L為貸款額；

n為貸款期限；

i為貸款利率；

j為償債基金存款利率；

D為每期存入償債基金的金額；

P為每期借款人的總支出額（利息部分+存入基金部分）則有：

?貸款凈余額NBk：即第k次利息支付后同時向基金存款后的貸款凈余額。

?凈利息支出NIk：即第k期內(nèi)支出的貸款利息與償債基金所得利息之差。

?凈本金支付NPk：即第k期末償債基金與第k期初償債基金額之差。

【例題4.11】某借款人分15年償還數(shù)額為X的借款，每年年未還款2000元，貸款年利率為6%。已知貸款的1/3用分期償還方式償還，其余2/3用償債基金方式償還，若償債基金存款利率為5%，則貸款金額為（）。[2011年春季考試真題]A．18909B．19009C．19173D．19273E．19357

【答案】B

【解析】設(shè)分期償還中，每年末還款P，則有；償債基金中，每年末存入基金D，則有；每年年未還款2000元，有；由以上三式可得：

【例題4.12】計算=（）。A．7.1661B．7.4694C．8.5498D．8.9574E．9.1285

【答案】A【解析】由，得：

【例題4.13】王先生借款10萬元，為期15年，年利率4%。若采用償債基金還款方式，償債基金存款利率為3%，計算第3次付款中凈利息部分為（）元。A．3000B．3247.82C．3456.72D．3672.56E．4000

【答案】D

【解析】已知i=0.04，j=0.03，按償債基金還款方式，每年還款額為：故第3次付款中的凈利息為：

2．償還頻率與計息頻率不同時的償債基金法

償還頻率與計息頻率不同時可能會出現(xiàn)四種頻率：（1）貸款利息支付頻率；（2）貸款計息頻率；（3）償債基金存款頻率；（4）償債基金計息頻率。這四種頻率可以部分不同，也可以全部不同，使得相關(guān)的計算復(fù)雜化，但是可以根據(jù)基本的原理，進行分析計算。

【例題4.14】某人以半年度轉(zhuǎn)換利率12%借款10000元，期限為5年，他以償債基金的方式償還本金，在未來的5年內(nèi)每年末向基金等額存款，假設(shè)償債基金的年利率為8%，則他總共支付的金額為（）元。[2008年春季考試真題]A．14166B．14287C．14326D．14467E．14523

【答案】E

【解析】設(shè)償債基金