第6章正弦穩(wěn)態(tài)電路

第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.1正弦信號(hào)的基本概念4.2正弦信號(hào)的相量表示4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律的相量形式4.4復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納型4.5相量法分析4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.7諧振電路4.1正弦信號(hào)的基本概念

4.1.1正弦信號(hào)的三要素正弦信號(hào)的大小與方向都是隨時(shí)間作周期性變化的，信號(hào)在任一時(shí)刻的值，稱(chēng)為瞬時(shí)值。在指定的參考方向下，正弦電流、電壓的瞬時(shí)值可表示為

i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)u(t)=Umsin(ωt

+ψu(yù))(2)隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電流、電壓稱(chēng)為正弦信號(hào)。正弦交流電容易產(chǎn)生、便于控制和變換，能遠(yuǎn)距離傳輸。以i(t)為例，說(shuō)明正弦信號(hào)的三要素:i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)Im

是正弦信號(hào)在整個(gè)變化過(guò)程中可能達(dá)到的最大幅值，稱(chēng)為振幅。（ωt+ψi）是正弦信號(hào)的相位，t=0時(shí)的相位ψi稱(chēng)為初相位。通常規(guī)定初相滿足|ψi|≤π。ω=d(ωt+ψi)/dt

稱(chēng)為角速度或角頻率，單位（rad/s），表示正弦信號(hào)變化的快慢程度。4.1.2同頻率正弦量的相位差兩同頻率的正弦量為：

i1(t)=Im1sin(ωt

+ψ1)(1)i2(t)=Im2sin(ωt

+ψ2)(2)則，相位差：Δψ=ψ1-

ψ2結(jié)論：兩個(gè)同頻率的正弦量，相位差在任意瞬間都是常數(shù)，等于初相之差。若Δψ>0，則電流i1超前電流i2，或電流i2滯后電流i1；若Δψ=0，則電流i1與i2同相位；若Δψ=±π，電流i1與i2反相；若Δψ=π/2，電流i1與i2正交；4.1.3正弦量的有效值為什么引入有效值？正弦量隨時(shí)間變化，不能確切反映周期信號(hào)在電路中的整體效應(yīng)，因此，引入有效值度量正弦量的大小。有效值的定義：按照熱效應(yīng)定義：設(shè)有兩個(gè)相同的電阻，分別通以周期電流和直流電流。如果在一周期內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相同，就稱(chēng)該直流電流值為周期電流的有效值。4.1.3正弦量的有效值例：已知正弦電壓源的頻率為50Hz，初相為π/6弧度，由交流電壓表測(cè)得電源開(kāi)路電壓為220V。求該電源電壓的振幅、角頻率，并寫(xiě)出其瞬時(shí)值表達(dá)式。解：因?yàn)閒=50HZ，ψ=π/6。所以電源電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為：4.2正弦信號(hào)的相量表示4.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一個(gè)復(fù)數(shù)A可以表示成代數(shù)型、指數(shù)型或極坐標(biāo)型，即代數(shù)型：A=a

+jb

=rcosθ+jrsinθ

指數(shù)型：

A=rejθ

極坐標(biāo)型：A=r∠θ

式中，為復(fù)數(shù)單位；a和b分別為復(fù)數(shù)A的實(shí)部和虛部；r和θ分別是A的模和輻角。復(fù)數(shù)代數(shù)型與指數(shù)型(或極型)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：4.2正弦信號(hào)的相量表示4.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算：

復(fù)數(shù)加減：A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)

復(fù)數(shù)乘除：A·B=

r1∠θ1·r2∠θ2=r1r2∠(θ1+θ2)

A／B=

(r1∠θ1)／(r2∠θ2)=r1／r2∠(θ1-θ2)4.2.2正弦量的相量表示正弦信號(hào)由振幅、角頻率和初相三個(gè)要素確定。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，所有的激勵(lì)都是同頻率的正弦量，則電路中的響應(yīng)也是與激勵(lì)同頻的正弦量；因此，只需要確定響應(yīng)的振幅和初相。用復(fù)數(shù)表示正弦量由歐拉公式:Imexp[j(ωt+ψ)]=Imcos(ωt+ψ)+jImsin(ωt+ψ)則：

Imsin(ωt+ψ)=

IM{

Imexp[j(ωt+ψ)]}

=

IM{

Imexp(jψ)exp(jωt)

}4.2.2正弦量的相量表示其模和輻角恰好分別對(duì)應(yīng)正弦電流的振幅和初相；用復(fù)數(shù)形式表示的正弦量稱(chēng)為正弦量的相量表示；令：Im=Imexp(jψ)=Im∠ψ，

I=Iexp(jψ)=I

∠ψ；??符號(hào)上方標(biāo)記圓點(diǎn)“·”，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別；復(fù)數(shù)與正弦量之間只是對(duì)應(yīng)關(guān)系，不具有相等關(guān)系；可以在復(fù)平面上用矢量表示，稱(chēng)為相量圖。只有同頻率的正弦量才能畫(huà)在同一相量圖上，采用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算；用相量表示正弦量進(jìn)行正弦電路運(yùn)算的方法稱(chēng)相量法；幅值相量有效值相量例：已知電壓u1=4sin(ωt+60°)V,u2=6sin(ωt+135°)V和u3=8sin(ωt-60°)V。試寫(xiě)出各電壓的振幅相量，并畫(huà)出相量圖。解：正弦電壓u1、u2和u3的振幅相量分別為

U1m=4

∠60，U2m=6

∠135，U3m=8

∠-60；

???例：已知

試求電流：i=i1+i2。解：由已知條件可得：i1←→5∠-36.9Ai2←→10∠51.1A因此，正弦電流i的表達(dá)式為:I=i1+i2=(4-j3)+(6+j8)=10+5j=11.18∠26.6A4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律

的相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

1.電阻元件

2.電感元件

3.電容元件1.電阻元件設(shè)電阻R的端電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)正弦電流由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為

比較兩式:U=RI，Um=Rim

可見(jiàn)：電阻元件的I、U是同頻率的正弦量，且電流與電壓同相位。U=RI??以相量形式的伏安關(guān)系描述電阻元件特性，故稱(chēng)為相量模型2.電感元件設(shè)電感L的端電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)正弦電流通過(guò)電感時(shí)，端電壓為：

其中，U=ωLI

為電感電壓的有效值，θu=θi+90°為初相?？芍海?）電感電壓和電流是同頻率的正弦量。（2）電感電壓超前電流90°2.電感元件??其相量表達(dá)式：U=jωLI令：XL

=ωL=2πfL，叫感抗，單位為歐姆；表明電感受對(duì)交流電路的阻礙作用，隨頻率改變。因此，電感具有通直流，阻交流的作用；電壓一定時(shí)，感抗越大，電路中的電流越??；U∠θu=ωLI∠θi+90°例:已知一電感元件L=3H，接在的電源上，求（1）感抗的大??；（2）電感元件電流i的表達(dá)式。解：3.電容元件設(shè)電容C的端電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)電容電壓為通過(guò)電容的電流為：

u(t)=Usin(ωt+θu)其中，I=ωCU

為電容電流的有效值，θu=θi-90為初相?？芍海?）電容電壓和電流是同頻率的正弦量。（2）電容電流超前電壓90°3.電容元件??其相量表達(dá)式：I=jωCU令：XC

=1/ωC=1/(2πfC)，叫容抗，單位為歐姆；表明電容在充放電時(shí)對(duì)電流的阻礙作用，隨頻率改變。因此，電容感具有通交流，阻直流的作用；電壓一定時(shí)，容抗越大，電路中的電流越??；I∠θi=ωCU∠θi-90°例.已知2μF電容兩端的電壓有效值為10V，初相為60o，角頻率為1000rad/s。試求流過(guò)電容的電流，寫(xiě)出其瞬時(shí)值解析式。解：電壓的相量形式為：

電容的容抗為：

得:電流的瞬時(shí)值解析式為:4.3.2KCL、KVL的相量形式

KCL指出：對(duì)于電路中的任意結(jié)點(diǎn)，在任一時(shí)刻，流出(或流入)該結(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和恒為零。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為：對(duì)應(yīng)的相量關(guān)系表示為：

或

??這就是KCL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，各支路電流相量的代數(shù)和恒為零。同理，對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，KVL的相量形式為:或

??例.在圖（a）電路中，已知電流，R=100Ω，L=50mH，C=10μF，試用相量法求iR、iL、uS、及i并畫(huà)出相量圖。解：畫(huà)出電路的相量模型如圖所示。寫(xiě)出電流iC的相量形式根據(jù)各元件電壓、電流的相量關(guān)系式可得由基爾霍夫電流定律的相量形式得

即：

4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.1復(fù)阻抗

由上節(jié)討論可知，在電流、電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，三種基本元件VAR的相量形式是如用振幅相量表示，則為上式與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱(chēng)為歐姆定律的相量形式。????????????4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.1復(fù)阻抗正弦激勵(lì)下：無(wú)源線性+-?U?IZ+-?U?I，單位：IUZ=iuψ-ψ

=ψ阻抗模阻抗角4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.1復(fù)阻抗阻抗Z可表示成代數(shù)式形式：Z=R+jX式中：R是Z的實(shí)部，稱(chēng)為阻抗的電阻分量；

X是Z的虛部，稱(chēng)為阻抗的電抗分量；它們與阻抗模和阻抗角之間有如下關(guān)系

RXφ|Z|阻抗三角形4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.1復(fù)阻抗電路中，電抗X取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻抗性質(zhì)不同。(1)當(dāng)X>0時(shí)，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓u在相位上超前電流i，此時(shí)電路的阻抗性質(zhì)是電感性的；(2)當(dāng)X<0時(shí)，電壓u在相位上滯后電流i，此時(shí)電路的阻抗性質(zhì)是電容性的；(3)當(dāng)X=0時(shí)，電壓u與電流i同相，此時(shí)電路是電阻性的。

基本元件R、L和C的阻抗分別為：其中，XL稱(chēng)為感抗；XC稱(chēng)為容抗；單位為Ω。4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.2復(fù)導(dǎo)納復(fù)阻抗的倒數(shù)定義為復(fù)導(dǎo)納Y，單位為S；UIY=iuψ-ψ

=ψ導(dǎo)納模導(dǎo)納角4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.2復(fù)導(dǎo)納導(dǎo)納Y可表示成代數(shù)形式：Y=G+jB式中：G是Y的實(shí)部，稱(chēng)為導(dǎo)納的電導(dǎo)分量；

B是Y的虛部，稱(chēng)為導(dǎo)納的電納分量；基本元件R、L和C的導(dǎo)納分別為:其中，BL稱(chēng)為感納；BC稱(chēng)為容納；G叫電導(dǎo)。單位為S。導(dǎo)納等效轉(zhuǎn)換為阻抗時(shí)，有式中

4.4復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納4.4.2復(fù)導(dǎo)納4.4.3阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)

下面給出阻抗和導(dǎo)納串、并聯(lián)的有關(guān)結(jié)論，其證明方法與電阻電路相似，這里不再重復(fù)。設(shè)：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；····則，當(dāng)兩個(gè)阻抗Z1和Z2串聯(lián)時(shí)，其等效阻抗Z為：Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)

分壓公式為：4.4.3阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)設(shè)：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；當(dāng)兩個(gè)阻抗Z1和Z2并聯(lián)時(shí)，其等效阻抗Z為：Z=Z1Z2

／（Z1+Z2）

分流公式為：····4.4.3阻抗和導(dǎo)納的串、并聯(lián)設(shè)：導(dǎo)納Y1=G1+jB1，Y2=G2+jB2。當(dāng)兩個(gè)導(dǎo)納Y1和Y2并聯(lián)時(shí)，其等效導(dǎo)納Y為：Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)

分流公式為：····例:

解:電路如圖,已知R=3Ω，L=2H，ω

=2rad/s。求u1(t)、u2(t)、u

(t)。+u-+u1-iSL+u2-R=3ΩjωL=j4R=3Ω相量模型電流相量：由RL元件相量關(guān)系式得：由KVL：寫(xiě)出u1(t)、u2(t)、u(t)表達(dá)式為：畫(huà)相量圖+1+j例:如圖(a)電路，已知r=10Ω，L=50mH,R=50Ω，C=20μF,電源us(t)=100sin(103t)V。求:電路的等效阻抗和各支路電流，并畫(huà)出電流相量圖。解:電壓源相量和jXL、jXC分別為Us=100

∠0V，jXL=jωL=j50ΩjXC=－j／ωC=－j50Ω

；

?電路的相量模型如圖(b)所示。設(shè)R、L串聯(lián)支路的阻抗為ZrL,R、C并聯(lián)電路的阻抗為ZRC,可得：電路總阻抗Z為電路總電流

由并聯(lián)電路分流公式，求得R、C支路電流······例：兩個(gè)負(fù)載Z1=5+j5Ω和Z2=6-j8Ω相串聯(lián)，接在的電源上。試求等效阻抗Z和電路電流i。解：等效阻抗電壓u的相量形式為電流相量為：電流的表達(dá)式為：4.5正弦交流電路的相量法分析在簡(jiǎn)單的交流電路中，歐姆定律、基爾霍夫定律都可以應(yīng)用，因此支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、疊加原理、戴維南定理都可以應(yīng)用。相量法分析的主要步驟(1)畫(huà)電路的相量模型(2)根據(jù)KCL、KVL和元件的相量形式，求解得到電壓電流的相量表達(dá)式；(3)根據(jù)計(jì)算得到的電壓、電流相量，寫(xiě)出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式。各正弦電壓、電流用相量表示，R、L、C元件用相應(yīng)的阻抗或?qū)Ъ{表示。例:在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知Z1=1+j2Ω，Z2=0.8+j2.8Ω，Z3=40+j30Ω，US1=US2=220V，US2滯后US120?角，

試用支路電流法求各支路電流。解：設(shè)US1為參考相量，則

根據(jù)KCL、KVL的相量形式列出電路方程代入已知數(shù)據(jù)得解方程得4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

對(duì)于電阻、電容、電感組成的無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)，都可以等效為復(fù)阻抗Z=R+jX，也就是等效為一個(gè)電阻與一個(gè)電抗串聯(lián)的電路。一般的可分別設(shè)：式中，φ是端口電壓與電流的相位差。在任一時(shí)刻t，電路N的吸收功率：

p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(ωt)sin(ωt+φ)=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)稱(chēng)為瞬時(shí)功率

瞬時(shí)功率波形圖(1)當(dāng)u＞0,i＞0或u＜0,i＜0時(shí),p(t)＞0:電路N從外電路吸收功率；(2)當(dāng)u＞0,i＜0或u＜0,i＞0時(shí),p(t)＜0:電路N向外電路發(fā)出功率。

pu，ip

itu

i+u-N1.平均功率P電路的平均功率也稱(chēng)有功功率，它是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即平均功率代表電路所消耗的功率，所以在正弦穩(wěn)態(tài)電路中通常所說(shuō)的功率是指平均功率。平均功率的單位是瓦(W)。平均功率不僅與電壓、電流有關(guān)，還與電壓、電流的相位差、即電路的阻抗角有關(guān)，定義：

λ=cosφ

稱(chēng)為電路的功率因數(shù).1.平均功率P在RLC串聯(lián)電路中，（1）若電路中只包含電阻元件，則φ=0，此時(shí)P=I2R，說(shuō)明電阻是耗能元件；（2）若電路中只包含電容或電感元件時(shí)，則φ=±π／2，此時(shí)P=0，說(shuō)明電容或電感是儲(chǔ)能元件，不消耗電能；

2.無(wú)功功率Q

為了描述交流電路電源與外電路的能量交換規(guī)模，定義：Q=UIsinφ為無(wú)功功率，代表二端網(wǎng)絡(luò)與外電路交換能量的最大值。無(wú)功功率的單位是乏爾(Var)。(1)對(duì)于電阻性電路N，φ=0，Q=0，表示N與外電路沒(méi)有發(fā)生能量互換現(xiàn)象，流入N的能量全部被電阻消耗；(2)N為電感性電路時(shí)，φ＞0，Q＞0;Q≠0，表示電路N與外電路之間存在能量互換現(xiàn)象，而不是消耗能量。

(3)N為電容性電路時(shí)，φ＜0，Q＜0。電阻元件：電容元件：電感元件：3.視在功率S在二端網(wǎng)絡(luò)中，定義電壓與電流有效值的乘積為視在功率：S=UI，單位VA（伏安）。實(shí)際用電設(shè)備的功率以視在功率表示。

視在功率、有功功率和無(wú)功功率的關(guān)系如下：

SQ

Pφ功率三角形4.復(fù)功率

在工程上為了計(jì)算方便，取有功功率P作為實(shí)部、無(wú)功功率Q作為虛部組成復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)被定義為復(fù)功率：

復(fù)功率的模為視在功率S，輻角為功率因數(shù)角φ。

4.7諧振電路在正弦電源激勵(lì)下的RLC串聯(lián)電路，通過(guò)改變?cè)?shù)或調(diào)節(jié)電源頻率，可使電路端電壓與流入的電流同相，此時(shí)稱(chēng)電路發(fā)生了諧振。

4.7.1串聯(lián)諧振電路RLC串聯(lián)電路如圖所示，設(shè)圖中正弦電壓源的角頻率為ω。串聯(lián)電路的等效阻抗為:·電路中電流：

若使電壓與電流同相位，則應(yīng)有φZ(yǔ)=0。即：稱(chēng)電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。上式是電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件根據(jù)諧振條件，可得諧振（角）頻率為：··|Z|、X及I隨ω的變化曲線（頻率特性）由頻率特性知：串聯(lián)諧振回路對(duì)不同頻率信號(hào)具有不同的響應(yīng)，能將ω0附近的信號(hào)選擇出來(lái)，同時(shí)將遠(yuǎn)離頻率ω0的信號(hào)加以消弱。因此，串聯(lián)諧振電路可用作選頻電路。在上面討論中，保持電路參數(shù)不變，即ω0一定，通過(guò)改變電源角頻率ω，使之與ω0相等，電路產(chǎn)生諧振。實(shí)際上，若固定電源角頻率ω，調(diào)節(jié)電路參數(shù)L或C，ω0發(fā)生變化，使ω0=ω,則電路也會(huì)發(fā)生諧振。串聯(lián)諧振電路具有以下特點(diǎn)：(1)諧振時(shí)，電抗X=0,故電路阻抗電路呈電阻性。阻抗模達(dá)最小。

(2)諧振時(shí)電路電流達(dá)到最大?！ぁぁ?3)諧振時(shí)電路元件上電壓串聯(lián)諧振時(shí)，電感和電容上的電壓遠(yuǎn)大于電阻上的電壓，因此串聯(lián)諧振又叫電壓諧振。諧振時(shí)UL0=UC0Q