第8章數(shù)字電路基礎(chǔ)-lm

數(shù)制與邏輯代數(shù)數(shù)字化時代概述自然界的物理量：模擬量：其變化在時間上和數(shù)量上都是連續(xù)的。數(shù)字量：其變化在時間上和數(shù)量上都是不連續(xù)的。電子電路中的電信號可分為:

模擬信號：連續(xù)變化的電壓和電流

數(shù)字信號：離散的電壓值（高、低電平）對數(shù)字信號進行傳輸、處理的電子電路什么是數(shù)字電路？

數(shù)字電路的應(yīng)用計算機系統(tǒng)：主板、內(nèi)存、硬盤、顯卡……消費類電子產(chǎn)品：手機、電子表、MP3\4……通訊產(chǎn)品：路由器、交換機……數(shù)字電路的特點以邏輯代數(shù)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，適合工作在存儲、控制、決策等系統(tǒng)中系統(tǒng)可靠性高、精度高集成度高、體積小、功耗低第8章數(shù)制與邏輯代數(shù)數(shù)制與碼制1邏輯代數(shù)2邏輯函數(shù)的化簡31.進位計數(shù)制的含義：

在表示數(shù)時，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進位計數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進位規(guī)則稱為進位計數(shù)制，簡稱進位制。2.常用數(shù)制：十進制二進制十六進制數(shù)制也叫記數(shù)法，是人們用一組規(guī)定的符號和規(guī)則來表示數(shù)的方法。8.1.1數(shù)制十進制公元3世紀，古印度的一位科學(xué)家巴格達發(fā)明了阿拉伯數(shù)字。一、十進制數(shù)碼構(gòu)成為：0～9；運算規(guī)律：逢十進一，即：9＋1＝10十進制數(shù)的權(quán)展開式：4５6.74×１０2＝4００５×１０1＝５０6×１０0＝6

7×１０-1＝０.

7

＝4

５6.7同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同，這個數(shù)值稱為位權(quán)。＋任意一個十進制數(shù)都可以表示為各個數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2◆一般表達式位權(quán)數(shù)碼

在數(shù)字電路中，計數(shù)的基本思想是要把電路的狀態(tài)與數(shù)碼一一對應(yīng)起來。顯然，采用十進制是十分不方便的。它需要十種電路狀態(tài)，要想嚴格區(qū)分這十種狀態(tài)是很困難的。十進制二進制18世紀德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)明二進制。二進制是計算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進制數(shù)據(jù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)。數(shù)碼構(gòu)成：0、1；運算規(guī)律：逢二進一，即：1＋1＝10。二進制數(shù)的權(quán)展開式：例如(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10各數(shù)位的權(quán)是２的冪二、二進制◆一般表達式

1、易于電路實現(xiàn)---每一位數(shù)只有兩個值，可以用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點的閉合或斷開來表示。

2、基本運算規(guī)則簡單二進制的優(yōu)點：二進制的缺點：

位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要將其轉(zhuǎn)換成十進制后，才能反映。二進制的優(yōu)缺點數(shù)碼為：0-9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

；運算規(guī)律：逢十六進一，即：F＋1＝10。十六進制數(shù)的權(quán)展開式：例如(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是16的冪◆一般表達式三、十六進制

十六進制在數(shù)字電路中，尤其在計算機中得到廣泛的應(yīng)用

1、與二進制之間的轉(zhuǎn)換容易；

2、計數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進制最多可計至11112=1510；十進制可計至999910；十六進制可計至FFFF16=6553510，即64K。其容量最大。

3、計算機系統(tǒng)中，大量的寄存器、計數(shù)器等往往按四位一組排列。故使十六進制的使用獨具優(yōu)越性。十六進制的優(yōu)點：十六進制常用數(shù)制的書寫規(guī)則（1）括號外面加下標例如，（10011）2、（237）8、（8079）10和（45ABF）16分別表示二進制、八進制、十進制和十六進制。（2）字母后綴二進制數(shù)用B（Binary）表示。十進制數(shù)用D（Decimal）表示。D一般可以省略。十六進制數(shù)用H（Hexadecimal）表示。例如，10011B、237O、8079和45ABFH分別表示二進制、八進制、十進制和十六進制。常用數(shù)制間的轉(zhuǎn)換二進制八進制十六進制十進制方法:按權(quán)展開并求和(100110.101)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=(38.625)10(1)把二進制數(shù)轉(zhuǎn)為十進制(2)十進制轉(zhuǎn)化成二進制整數(shù)部分：除以2取余數(shù)，直到商為0，余數(shù)從下到上排列,首次取得的余數(shù)排在最右.小數(shù)部分：將小數(shù)部分乘以2取整數(shù)，直到小數(shù)部分為0或達到要求的精度為止，整數(shù)從上到下排列,首次取得的整數(shù)排在最左.例1(100.345)10=(1100100.01011)2100250225212262321000100110.3451.38020.69022

0.7602

1.5202

1.04最低↑∣∣∣最高↑∣∣∣最高最低例2(100)10=(64)1610016604616十六進制11

0110

1110.1101

01=(36E.D4)1636ED4二進制轉(zhuǎn)化成十六進制整數(shù)部分：從右向左按四位進行分組小數(shù)部分：從左向右按四位進行分組不足補零下列各數(shù)中，最大的一個數(shù)是？A(11011001)2

B(75)10

C(A7)16思考題下列各數(shù)中，最大的一個數(shù)A.(11011001)2B.(75)10 C.(A7)16AA、(11011001)2=1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=(217)10B、(75)10=(75)10C、(A7)16=10×161+7×160=(167)10答：數(shù)碼：代表一個確切的數(shù)字，如二進制數(shù)，八進制數(shù)等。編碼：n位二進制數(shù)可以組合成2n個不同的信息，給每個信息規(guī)定一個具體碼組，這種過程叫編碼。

8.1.2碼制1、BCD碼

BCD碼又稱二～十進制碼，通常用四位二進制碼為一組，表示一位十進制數(shù)，只取十個狀態(tài)，而且每組之間是“逢十進一”。

8421BCD碼是按順序取四位二進制碼中的前十種狀態(tài)，即0000～1001，代表十進制的0～9，而1010～1111棄之不用。

8421碼是一種有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)依次為8、4、2、1，按權(quán)相加，即可得到所代表的十進制數(shù)，如：例如：701111200010010例如：1001＝0+4+2+0=60110＝8+0+0+1=92、格雷碼（Gray）

格雷碼是一種無權(quán)碼。編碼特點是：任何兩個相鄰代碼之間僅有一位不同。十進8421制數(shù)b3b2b1b0格雷碼G3G2G1G000000100012001030011401005010160110701118000910010000000100110010011001110101010011001000例如，8421碼中的0111和1000是相鄰碼，當7變到8時，四位均變了。若采用格雷碼，0100和1100是相鄰碼，僅最高一位變了。011111110011010101108.2邏輯代數(shù)一、邏輯代數(shù)及其表示方法

邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)； 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量（邏輯自變量和邏輯因變量），用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。二、基本邏輯運算1.與運算（邏輯乘）（AND）只有決定事件結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生。ABY

ABY斷開斷開不亮斷開閉合不亮閉合斷開不亮閉合閉合燈亮與運算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

ABY

000010100111與運算真值表與運算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示與運算表達式

Y=A·B=AB與門邏輯符號&AYBYABAYB所謂真值表，就是將邏輯變量各種可能取值的組合及其相應(yīng)邏輯函數(shù)值列成的表格。2.或運算（邏輯加）（OR）決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個滿足，結(jié)果就會發(fā)生。BYA

ABY斷開斷開不亮斷開閉合燈亮閉合斷開燈亮閉合閉合燈亮或運算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮或運算符，也可用“∨”、“∪”表示

ABY

000011101111或運算真值表或運算表達式

Y=A+B或門邏輯符號≥1

ABYYAB

+

ABY3.非運算（邏輯反）（NOT）只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生；而條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生。AY

AY

斷開燈亮閉合不亮非運算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮“－”非邏輯運算符

AY

0110

非運算真值表非運算表達式

Y=A非門邏輯符號1AYYAAY一、二極管與門和或門電路1．與門電路基本邏輯門電路輸入輸出VA（V）VB（V）VL（V）0V0V5V5V0V5V0V5V0V0V0V5V0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表與門在電路中的波形圖0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表

2．或門電路輸入輸出VA（V）VB（V）VL（V）0V0V5V5V0V5V0V5V0V5V5V5V0101BLA0011輸入0111輸出

或邏輯真值表二、三極管非門電路輸入輸出VA（V）VL（V）0V5V5V0VLA01輸入10輸出非邏輯真值表與非門的復(fù)合三、復(fù)合門電路TTL邏輯門電路一、TTL與非門的基本結(jié)構(gòu)及工作原理1．TTL與非門的基本結(jié)構(gòu)TTL與非門電路的基本結(jié)構(gòu)2．TTL與非門的邏輯關(guān)系（1）輸入全為高電平3.6V時。

T2、T3飽和導(dǎo)通，實現(xiàn)了與非門的邏輯功能之一：輸入全為高電平時，輸出為低電平。由于T2飽和導(dǎo)通，VC2=1V。T4和二極管D都截止。由于T3飽和導(dǎo)通，輸出電壓為：

VO=VCES3≈0.3V該發(fā)射結(jié)導(dǎo)通，VB1=1V。T2、T3都截止。（2）輸入有低電平0.3V

時。實現(xiàn)了與非門的邏輯功能的另一方面：輸入有低電平時，輸出為高電平。忽略流過RC2的電流，VB4≈VCC=5V

。由于T4和D導(dǎo)通，所以：

VO≈VCC-VBE4-VD

=5-0.7-0.7=3.6（V）綜合上述兩種情況，該電路滿足與非的邏輯功能，即：（2）對于或非門及或門，多余輸入端應(yīng)接低電平，比如直接接地；也可以與有用的輸入端并聯(lián)使用。多余輸入端的處理

（1）對于與非門及與門，多余輸入端應(yīng)接高電平。如直接接電源正端，在前級驅(qū)動能力允許時，也可以與有用的輸入端并聯(lián)使用。3．一端消去或加上小圓圈，同時將相應(yīng)變量取反，其邏輯關(guān)系不變。2．任一條線一端上的小圓圈移到另一端，其邏輯關(guān)系不變。

2.5混合邏輯中邏輯符號的變換1．邏輯圖中任一條線的兩端同時加上或消去小圓圈，其邏輯關(guān)系不變。8.2.3邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的基本定律0-1律重疊律互補律交換律結(jié)合律分配律反演律例：用真值表證明反演律000101101111000110010101000證明:練習(xí)：證明成立。證明:8.3邏輯函數(shù)的化簡

同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同形式的邏輯式，邏輯函數(shù)式越簡單，它所表示的邏輯關(guān)系越明顯，也有利于用最少的電子器件實現(xiàn)這個邏輯函數(shù)。最簡“與或”式的標準：１.含的與項最少；－－門最少２.各與項中的變量數(shù)最少。－－門的輸入端最少以后主要討論“與或”式的化簡。其中，最常用的為“與或”邏輯表達式。1.吸收法（消項法）例：用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，將多余項吸收（消去）。8.3.1公式和定理化簡法（代數(shù)化簡法）：2.并項法

例：用并項法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式將兩項合并成一項，并消去互補因子。由代入規(guī)則，A和B也可是復(fù)雜的邏輯式。解：⊙解：3.消去法例：用消去法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式或，將多余因子吸收（消去）。4.配項法例：用配項法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，配項或增加多余項，再和其他項合并。解：解：解法1：解法2：代數(shù)化簡法

優(yōu)點:不受變量數(shù)目的限制。

缺點：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需要一定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結(jié)果是否最簡。由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖（KarnaughMap）。（1）卡諾圖的構(gòu)成AB00011011

m0

m1

m2

m3AABBABAB1010

m0

m1

m2

m3

miABABABAB1010

0

1

2

3二變量K圖

建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個邏輯變量就以原卡諾圖的右邊線（或底線）為對稱軸作一對稱圖形，對稱軸左面（或上面）原數(shù)字前增加一個0，對稱軸右面（或下面）原數(shù)字前增加一個1。ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7000111100001

11

1001

2

34

5

6

7

12

13

14

15

8

9

10

11ABCDABC0100011110

0

1

2

3

456

7三變量K圖四變量K圖∴卡諾圖是上下，左右閉合的圖形。邏輯相鄰：僅有一個變量不同；（2）邏輯函數(shù)的卡諾圖①給出真值表將真值表的每一行的取值填入卡諾圖即可。填入Y＝1的項即可。ABCY00000101001110010111011100010101例：ABC0100011110

0

0

0

1

010

1ABC0100011110

1

1

1①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項。③將每一個圈對應(yīng)的與項相或，即得到最簡與或式。①盡量畫大圈，但每個圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。邏輯相鄰性。②圈的個數(shù)盡量少。③卡諾圖中所有取值為“1”的方格均要被圈過，即不能漏下取值為“1”的最小項。④保證每個圈中至少有一個“1格”只被圈過一次，否則該圈是多余的。畫圈原則：2.最簡與或式的求法①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項。③將每一個圈對應(yīng)的與項相或，即得到最簡與或式。（3）邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項均可以合并。①任何一個合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2n個。②必須按照邏輯相鄰畫出卡諾圈③2n個方格合并，消去n個變量。1.卡諾圖中最小項合并規(guī)律A0

1

11

1BC100011110

1

1給出真值表或卡諾圖ABC0100011110

1

1

111

1000111100001

11

101

1

11

1

1

1

1

1

1

1

ABCD000111100001

11

101

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ABCD給出的最小項之和式③給出的不是最小項之和式確定使每個與項為1的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對應(yīng)方格填1；其余的方格填0(或不填)。也可化為標準與或式，再填入。例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110

1

111

1解：：當ABC=×10時該與項為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格(m2，m6)處填1。：當ABC=A××?xí)r該與項為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格(m4，m5，m6，m7)處填1。000111100001

11

101

1

1

1

1

1

1

11

1ABCD

D：當ABCD=×××1時該與項為1，對應(yīng)八個方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)處填1。：當ABCD=001×?xí)r該與項為1，對應(yīng)兩個方格(m2、m3)處填1。：當ABCD=101×?xí)r該與項為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個方格(m10、m11)處填1。解：AD：當ABCD=1××1時該與項為1，對應(yīng)四個方格(m9、m11、m13、m15)處填1。某些最小項重復(fù)，只需填一次即可。例：7.具有約束項邏輯函數(shù)的化簡

1)邏輯函數(shù)中的約束項。2)具有約束項的函數(shù)化簡。

①將具有約束項的邏輯函數(shù)填入卡諾圖中(約束項的小方格用“×”，其他項與普通函數(shù)一樣填寫)。

②畫卡諾圈(合并函數(shù)時，需要使約束項為“1”便將其圈入卡諾圈中，否則視為“0”)。

③寫出簡化結(jié)果(消去不同，保留相同)。

解：(1)根據(jù)題意列真值表(見表8-15),并將約束項的最小項填上“×”。

①當A、B、C、D的取值為0000~0100時，Y=0。表8-?15例8.16真值表②當A、B、C、D的取值為0101~1001時，Y=1。

③由于十進制數(shù)只有0~9這10個數(shù)碼，對應(yīng)的二進制編碼是0000~1001，所以A、B、C、D的取值1010~1111這6組取值是不允許出現(xiàn)的,也就是說，這6組最小項是“約束項”。例8.16設(shè)輸入A、B、C、D是十進制數(shù)X的二進制編碼，當X≥5時，輸出Y為1，否則為0，求Y的最簡“與或”表達式。(2)根據(jù)真值表和約束條件填寫卡諾圖，如圖8-47b所示。

(3)寫出化簡后的函數(shù)式。圖8-47例8.16的卡諾圖圖a的結(jié)果：圖b的結(jié)果：Y(A,B,C,D)=A+BD+BC

例8.17已知Y(A，B，C，D)=∑m(0，2，7，8，13，15)+∑d(1，5，