第8章數(shù)字電路基礎(chǔ)-lm

數(shù)制與邏輯代數(shù)數(shù)字化時(shí)代概述自然界的物理量：模擬量：其變化在時(shí)間上和數(shù)量上都是連續(xù)的。數(shù)字量：其變化在時(shí)間上和數(shù)量上都是不連續(xù)的。電子電路中的電信號可分為:

模擬信號：連續(xù)變化的電壓和電流

數(shù)字信號：離散的電壓值（高、低電平）對數(shù)字信號進(jìn)行傳輸、處理的電子電路什么是數(shù)字電路？

數(shù)字電路的應(yīng)用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)：主板、內(nèi)存、硬盤、顯卡……消費(fèi)類電子產(chǎn)品：手機(jī)、電子表、MP3\4……通訊產(chǎn)品：路由器、交換機(jī)……數(shù)字電路的特點(diǎn)以邏輯代數(shù)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，適合工作在存儲、控制、決策等系統(tǒng)中系統(tǒng)可靠性高、精度高集成度高、體積小、功耗低第8章數(shù)制與邏輯代數(shù)數(shù)制與碼制1邏輯代數(shù)2邏輯函數(shù)的化簡31.進(jìn)位計(jì)數(shù)制的含義：

在表示數(shù)時(shí)，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡稱進(jìn)位制。2.常用數(shù)制：十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制數(shù)制也叫記數(shù)法，是人們用一組規(guī)定的符號和規(guī)則來表示數(shù)的方法。8.1.1數(shù)制十進(jìn)制公元3世紀(jì)，古印度的一位科學(xué)家巴格達(dá)發(fā)明了阿拉伯?dāng)?shù)字。一、十進(jìn)制數(shù)碼構(gòu)成為：0～9；運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：4５6.74×１０2＝4００５×１０1＝５０6×１０0＝6

7×１０-1＝０.

7

＝4

５6.7同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同，這個(gè)數(shù)值稱為位權(quán)。＋任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2◆一般表達(dá)式位權(quán)數(shù)碼

在數(shù)字電路中，計(jì)數(shù)的基本思想是要把電路的狀態(tài)與數(shù)碼一一對應(yīng)起來。顯然，采用十進(jìn)制是十分不方便的。它需要十種電路狀態(tài)，要想嚴(yán)格區(qū)分這十種狀態(tài)是很困難的。十進(jìn)制二進(jìn)制18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)明二進(jìn)制。二進(jìn)制是計(jì)算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)。數(shù)碼構(gòu)成：0、1；運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：例如(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10各數(shù)位的權(quán)是２的冪二、二進(jìn)制◆一般表達(dá)式

1、易于電路實(shí)現(xiàn)---每一位數(shù)只有兩個(gè)值，可以用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點(diǎn)的閉合或斷開來表示。

2、基本運(yùn)算規(guī)則簡單二進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：二進(jìn)制的缺點(diǎn)：

位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要將其轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制后，才能反映。二進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)碼為：0-9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

；運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：例如(D8.A)16＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各數(shù)位的權(quán)是16的冪◆一般表達(dá)式三、十六進(jìn)制

十六進(jìn)制在數(shù)字電路中，尤其在計(jì)算機(jī)中得到廣泛的應(yīng)用

1、與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換容易；

2、計(jì)數(shù)容量較其它進(jìn)制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進(jìn)制最多可計(jì)至11112=1510；十進(jìn)制可計(jì)至999910；十六進(jìn)制可計(jì)至FFFF16=6553510，即64K。其容量最大。

3、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，大量的寄存器、計(jì)數(shù)器等往往按四位一組排列。故使十六進(jìn)制的使用獨(dú)具優(yōu)越性。十六進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：十六進(jìn)制常用數(shù)制的書寫規(guī)則（1）括號外面加下標(biāo)例如，（10011）2、（237）8、（8079）10和（45ABF）16分別表示二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制。（2）字母后綴二進(jìn)制數(shù)用B（Binary）表示。十進(jìn)制數(shù)用D（Decimal）表示。D一般可以省略。十六進(jìn)制數(shù)用H（Hexadecimal）表示。例如，10011B、237O、8079和45ABFH分別表示二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制。常用數(shù)制間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制十進(jìn)制方法:按權(quán)展開并求和(100110.101)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=(38.625)10(1)把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)為十進(jìn)制(2)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制整數(shù)部分：除以2取余數(shù)，直到商為0，余數(shù)從下到上排列,首次取得的余數(shù)排在最右.小數(shù)部分：將小數(shù)部分乘以2取整數(shù)，直到小數(shù)部分為0或達(dá)到要求的精度為止，整數(shù)從上到下排列,首次取得的整數(shù)排在最左.例1(100.345)10=(1100100.01011)2100250225212262321000100110.3451.38020.69022

0.7602

1.5202

1.04最低↑∣∣∣最高↑∣∣∣最高最低例2(100)10=(64)1610016604616十六進(jìn)制11

0110

1110.1101

01=(36E.D4)1636ED4二進(jìn)制轉(zhuǎn)化成十六進(jìn)制整數(shù)部分：從右向左按四位進(jìn)行分組小數(shù)部分：從左向右按四位進(jìn)行分組不足補(bǔ)零下列各數(shù)中，最大的一個(gè)數(shù)是？A(11011001)2

B(75)10

C(A7)16思考題下列各數(shù)中，最大的一個(gè)數(shù)A.(11011001)2B.(75)10 C.(A7)16AA、(11011001)2=1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=(217)10B、(75)10=(75)10C、(A7)16=10×161+7×160=(167)10答：數(shù)碼：代表一個(gè)確切的數(shù)字，如二進(jìn)制數(shù)，八進(jìn)制數(shù)等。編碼：n位二進(jìn)制數(shù)可以組合成2n個(gè)不同的信息，給每個(gè)信息規(guī)定一個(gè)具體碼組，這種過程叫編碼。

8.1.2碼制1、BCD碼

BCD碼又稱二～十進(jìn)制碼，通常用四位二進(jìn)制碼為一組，表示一位十進(jìn)制數(shù)，只取十個(gè)狀態(tài)，而且每組之間是“逢十進(jìn)一”。

8421BCD碼是按順序取四位二進(jìn)制碼中的前十種狀態(tài)，即0000～1001，代表十進(jìn)制的0～9，而1010～1111棄之不用。

8421碼是一種有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)依次為8、4、2、1，按權(quán)相加，即可得到所代表的十進(jìn)制數(shù)，如：例如：701111200010010例如：1001＝0+4+2+0=60110＝8+0+0+1=92、格雷碼（Gray）

格雷碼是一種無權(quán)碼。編碼特點(diǎn)是：任何兩個(gè)相鄰代碼之間僅有一位不同。十進(jìn)8421制數(shù)b3b2b1b0格雷碼G3G2G1G000000100012001030011401005010160110701118000910010000000100110010011001110101010011001000例如，8421碼中的0111和1000是相鄰碼，當(dāng)7變到8時(shí)，四位均變了。若采用格雷碼，0100和1100是相鄰碼，僅最高一位變了。011111110011010101108.2邏輯代數(shù)一、邏輯代數(shù)及其表示方法

邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進(jìn)行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)； 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量（邏輯自變量和邏輯因變量），用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。二、基本邏輯運(yùn)算1.與運(yùn)算（邏輯乘）（AND）只有決定事件結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。ABY

ABY斷開斷開不亮斷開閉合不亮閉合斷開不亮閉合閉合燈亮與運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

ABY

000010100111與運(yùn)算真值表與運(yùn)算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示與運(yùn)算表達(dá)式

Y=A·B=AB與門邏輯符號&AYBYABAYB所謂真值表，就是將邏輯變量各種可能取值的組合及其相應(yīng)邏輯函數(shù)值列成的表格。2.或運(yùn)算（邏輯加）（OR）決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會發(fā)生。BYA

ABY斷開斷開不亮斷開閉合燈亮閉合斷開燈亮閉合閉合燈亮或運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮或運(yùn)算符，也可用“∨”、“∪”表示

ABY

000011101111或運(yùn)算真值表或運(yùn)算表達(dá)式

Y=A+B或門邏輯符號≥1

ABYYAB

+

ABY3.非運(yùn)算（邏輯反）（NOT）只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。AY

AY

斷開燈亮閉合不亮非運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮“－”非邏輯運(yùn)算符

AY

0110

非運(yùn)算真值表非運(yùn)算表達(dá)式

Y=A非門邏輯符號1AYYAAY一、二極管與門和或門電路1．與門電路基本邏輯門電路輸入輸出VA（V）VB（V）VL（V）0V0V5V5V0V5V0V5V0V0V0V5V0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表與門在電路中的波形圖0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表

2．或門電路輸入輸出VA（V）VB（V）VL（V）0V0V5V5V0V5V0V5V0V5V5V5V0101BLA0011輸入0111輸出

或邏輯真值表二、三極管非門電路輸入輸出VA（V）VL（V）0V5V5V0VLA01輸入10輸出非邏輯真值表與非門的復(fù)合三、復(fù)合門電路TTL邏輯門電路一、TTL與非門的基本結(jié)構(gòu)及工作原理1．TTL與非門的基本結(jié)構(gòu)TTL與非門電路的基本結(jié)構(gòu)2．TTL與非門的邏輯關(guān)系（1）輸入全為高電平3.6V時(shí)。

T2、T3飽和導(dǎo)通，實(shí)現(xiàn)了與非門的邏輯功能之一：輸入全為高電平時(shí)，輸出為低電平。由于T2飽和導(dǎo)通，VC2=1V。T4和二極管D都截止。由于T3飽和導(dǎo)通，輸出電壓為：

VO=VCES3≈0.3V該發(fā)射結(jié)導(dǎo)通，VB1=1V。T2、T3都截止。（2）輸入有低電平0.3V

時(shí)。實(shí)現(xiàn)了與非門的邏輯功能的另一方面：輸入有低電平時(shí)，輸出為高電平。忽略流過RC2的電流，VB4≈VCC=5V

。由于T4和D導(dǎo)通，所以：

VO≈VCC-VBE4-VD

=5-0.7-0.7=3.6（V）綜合上述兩種情況，該電路滿足與非的邏輯功能，即：（2）對于或非門及或門，多余輸入端應(yīng)接低電平，比如直接接地；也可以與有用的輸入端并聯(lián)使用。多余輸入端的處理

（1）對于與非門及與門，多余輸入端應(yīng)接高電平。如直接接電源正端，在前級驅(qū)動能力允許時(shí)，也可以與有用的輸入端并聯(lián)使用。3．一端消去或加上小圓圈，同時(shí)將相應(yīng)變量取反，其邏輯關(guān)系不變。2．任一條線一端上的小圓圈移到另一端，其邏輯關(guān)系不變。

2.5混合邏輯中邏輯符號的變換1．邏輯圖中任一條線的兩端同時(shí)加上或消去小圓圈，其邏輯關(guān)系不變。8.2.3邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的基本定律0-1律重疊律互補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律反演律例：用真值表證明反演律000101101111000110010101000證明:練習(xí)：證明成立。證明:8.3邏輯函數(shù)的化簡

同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成不同形式的邏輯式，邏輯函數(shù)式越簡單，它所表示的邏輯關(guān)系越明顯，也有利于用最少的電子器件實(shí)現(xiàn)這個(gè)邏輯函數(shù)。最簡“與或”式的標(biāo)準(zhǔn)：１.含的與項(xiàng)最少；－－門最少２.各與項(xiàng)中的變量數(shù)最少。－－門的輸入端最少以后主要討論“與或”式的化簡。其中，最常用的為“與或”邏輯表達(dá)式。1.吸收法（消項(xiàng)法）例：用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，將多余項(xiàng)吸收（消去）。8.3.1公式和定理化簡法（代數(shù)化簡法）：2.并項(xiàng)法

例：用并項(xiàng)法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。由代入規(guī)則，A和B也可是復(fù)雜的邏輯式。解：⊙解：3.消去法例：用消去法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式或，將多余因子吸收（消去）。4.配項(xiàng)法例：用配項(xiàng)法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，配項(xiàng)或增加多余項(xiàng)，再和其他項(xiàng)合并。解：解：解法1：解法2：代數(shù)化簡法

優(yōu)點(diǎn):不受變量數(shù)目的限制。

缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡結(jié)果是否最簡。由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖（KarnaughMap）。（1）卡諾圖的構(gòu)成AB00011011

m0

m1

m2

m3AABBABAB1010

m0

m1

m2

m3

miABABABAB1010

0

1

2

3二變量K圖

建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個(gè)邏輯變量就以原卡諾圖的右邊線（或底線）為對稱軸作一對稱圖形，對稱軸左面（或上面）原數(shù)字前增加一個(gè)0，對稱軸右面（或下面）原數(shù)字前增加一個(gè)1。ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7000111100001

11

1001

2

34

5

6

7

12

13

14

15

8

9

10

11ABCDABC0100011110

0

1

2

3

456

7三變量K圖四變量K圖∴卡諾圖是上下，左右閉合的圖形。邏輯相鄰：僅有一個(gè)變量不同；（2）邏輯函數(shù)的卡諾圖①給出真值表將真值表的每一行的取值填入卡諾圖即可。填入Y＝1的項(xiàng)即可。ABCY00000101001110010111011100010101例：ABC0100011110

0

0

0

1

010

1ABC0100011110

1

1

1①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項(xiàng)。③將每一個(gè)圈對應(yīng)的與項(xiàng)相或，即得到最簡與或式。①盡量畫大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。邏輯相鄰性。②圈的個(gè)數(shù)盡量少。③卡諾圖中所有取值為“1”的方格均要被圈過，即不能漏下取值為“1”的最小項(xiàng)。④保證每個(gè)圈中至少有一個(gè)“1格”只被圈過一次，否則該圈是多余的。畫圈原則：2.最簡與或式的求法①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項(xiàng)。③將每一個(gè)圈對應(yīng)的與項(xiàng)相或，即得到最簡與或式。（3）邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。①任何一個(gè)合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2n個(gè)。②必須按照邏輯相鄰畫出卡諾圈③2n個(gè)方格合并，消去n個(gè)變量。1.卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律A0

1

11

1BC100011110

1

1給出真值表或卡諾圖ABC0100011110

1

1

111

1000111100001

11

101

1

11

1

1

1

1

1

1

1

ABCD000111100001

11

101

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ABCD給出的最小項(xiàng)之和式③給出的不是最小項(xiàng)之和式確定使每個(gè)與項(xiàng)為1的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對應(yīng)方格填1；其余的方格填0(或不填)。也可化為標(biāo)準(zhǔn)與或式，再填入。例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110

1

111

1解：：當(dāng)ABC=×10時(shí)該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個(gè)方格(m2，m6)處填1。：當(dāng)ABC=A××?xí)r該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個(gè)方格(m4，m5，m6，m7)處填1。000111100001

11

101

1

1

1

1

1

1

11

1ABCD

D：當(dāng)ABCD=×××1時(shí)該與項(xiàng)為1，對應(yīng)八個(gè)方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)處填1。：當(dāng)ABCD=001×?xí)r該與項(xiàng)為1，對應(yīng)兩個(gè)方格(m2、m3)處填1。：當(dāng)ABCD=101×?xí)r該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對應(yīng)兩個(gè)方格(m10、m11)處填1。解：AD：當(dāng)ABCD=1××1時(shí)該與項(xiàng)為1，對應(yīng)四個(gè)方格(m9、m11、m13、m15)處填1。某些最小項(xiàng)重復(fù)，只需填一次即可。例：7.具有約束項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡

1)邏輯函數(shù)中的約束項(xiàng)。2)具有約束項(xiàng)的函數(shù)化簡。

①將具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)填入卡諾圖中(約束項(xiàng)的小方格用“×”，其他項(xiàng)與普通函數(shù)一樣填寫)。

②畫卡諾圈(合并函數(shù)時(shí)，需要使約束項(xiàng)為“1”便將其圈入卡諾圈中，否則視為“0”)。

③寫出簡化結(jié)果(消去不同，保留相同)。

解：(1)根據(jù)題意列真值表(見表8-15),并將約束項(xiàng)的最小項(xiàng)填上“×”。

①當(dāng)A、B、C、D的取值為0000~0100時(shí)，Y=0。表8-?15例8.16真值表②當(dāng)A、B、C、D的取值為0101~1001時(shí)，Y=1。

③由于十進(jìn)制數(shù)只有0~9這10個(gè)數(shù)碼，對應(yīng)的二進(jìn)制編碼是0000~1001，所以A、B、C、D的取值1010~1111這6組取值是不允許出現(xiàn)的,也就是說，這6組最小項(xiàng)是“約束項(xiàng)”。例8.16設(shè)輸入A、B、C、D是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X≥5時(shí)，輸出Y為1，否則為0，求Y的最簡“與或”表達(dá)式。(2)根據(jù)真值表和約束條件填寫卡諾圖，如圖8-47b所示。

(3)寫出化簡后的函數(shù)式。圖8-47例8.16的卡諾圖圖a的結(jié)果：圖b的結(jié)果：Y(A,B,C,D)=A+BD+BC

例8.17已知Y(A，B，C，D)=∑m(0，2，7，8，13，15)+∑d(1，5，