第一章-波動方程

§1.1弦振動方程的導出§1方程的導出、定解條件§1.2定解條件§1.3定解問題適定性概念物理背景：波的傳播和彈性體振動。§1.1

弦振動方程的導出

首先，考察弦橫振動這個物理問題：給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設其長度為l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，求弦上各點的運動規(guī)律。

把實際問題提煉為數(shù)學模型時必須做一定的理想化假設，以便抓住問題的最本質特征。§1.1

弦振動方程的導出基本假設：1.弦的質量是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。

弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。

（細弦）2.弦在某一個平面內(nèi)作微小橫振動。

弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動。

（微幅）3.弦是柔軟的，它在形變時不抵抗彎曲。

弦上各質點的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形與張力的關系服從虎克定律。

（橫振動）基本規(guī)律：牛頓第二定律（沖量定律）弦線上任意一點在t時刻沿y軸上的位移研究對象：

在右圖所示的坐標系，用u(x,t)表示弦上各點在時刻t沿垂直于x方向的位移。在這條弦上任意取一弦段(x,x+Δx)，它的弧長為：

由假設3，弦線張力T(x)總是沿著弦在x處的切線方向．由于弦只在垂直x軸的方向進行橫振動，因此可以把弦線的張力T(x)在x軸的方向的分量看成常數(shù)Ｔ。對于圖中選取的弦段而言，張力在x軸的垂直方向上的合力為：假設2和假設3在時間段(t,t+Δt)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：另一方面，在時間段(t,t+Δt)內(nèi)弦段(x,x+Δx)的動量變化為：于是由沖量定理：從而有：進一步由Δt，Δx的任意性，有假定有垂直于x軸方向的外力存在，并設其線密度為F(x,t)，則弦段(x,x+Δx)上的外力為：它在時間段(t,t+Δt)內(nèi)的沖量為：類似地，三維波動方程可以表示為：于是有：簡化假設：(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：其中：其中：………一維波動方程令：非齊次方程自由項齊次方程忽略重力作用：非均勻弦的強迫橫振動方程一維波動方程不僅可以描述弦的振動，還可以描述：彈性桿的縱向振動管道中氣體小擾動的傳播………等等

因此，一個方程反應的不止是一個物理現(xiàn)象，而是一類問題。§1.1

弦振動方程的導出列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問題的解或者研究解的性質。前面我們看到，弦振動方程描述的是弦作微小橫振動時的位移函數(shù)u(x,t)所應滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運動狀況。這是因為弦的運動還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀況有關系，因此對于具體的弦振動問題而言，還需要結合實際問題附加某些特定條件。例如:在前面的推導中，弦的兩端被固定在x=0和x=l兩點，即

u(0,t)=0，u(l,t)=0，這兩個等式稱為邊界條件。此外，設弦在初始時刻t=0時的位置和速度為這兩個等式稱為初始條件。邊界條件和初始條件總稱為定解條件。把微分方程和定解條件結合起來，就得到了與實際問題相對應的定解問題。對于弦振動方程而言，與上述定解條件結合后，其定解問題可以描述為：§1.2定解條件要在區(qū)域上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x,t)，它在區(qū)域0<x<l,t>0中滿足波動方程(2.1)；在x軸上的區(qū)間[0,l]上滿足初始條件(2.2)；并在邊界x=0和x=l上滿足邊界條件(2.3)和(2.4)。

一般稱形如(2.3)和(2.4)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷（Dirichlet）邊界條件?！?.2定解條件波動方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度§1.2定解條件(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況波動方程的三類邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承?；蛑Z依曼（Neumann）邊界條件狄利克雷（Dirichlet）邊界條件

同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件?！?.2定解條件定解問題§1.3

定解問題適定性概念(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。

把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。定解問題的檢驗

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應的微小變動。

定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。如果一個定解問題的解是存在的，唯一的，而且是穩(wěn)定的，我們就稱這個問題是適定的，即認為這樣的定解問題的提法是合適的。對定解問題的適定性進行一定的分析，可以幫助我們初步判定所歸結的定解問題是否合理、所附加的定解條件是否合適以及對一個偏微分方程應該如何指定定解條件等問題，同時也可以對求解定解問題起到一定的指導作用。

除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等?！?.3

定解問題適定性概念課后作業(yè)：題1和7，P6─7?！?.1疊加原理§2達朗貝爾公式、波的傳播§2.2弦振動方程的達朗貝爾解法§2.3傳播波§2.4依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域§2.5齊次化原理§2.1疊加原理從本節(jié)開始我們討論弦振動方程的各類定解問題。在此之前，先介紹疊加原理在物理學研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨（假設其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。典型例子：力和加速度的關系，萬有引力場的可疊加性復雜的聲音——各種單音的疊加電磁場中的疊加原理則對于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)是方程的解。例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，因此，弦振動方程滿足疊加原理線性方程都滿足疊加原理線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性

幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)§2.2弦振動方程的達朗貝爾解法先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計的情況（如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關注的又只是在較短時間內(nèi)且距離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長）。這樣的情況下，定解問題歸結為如下形式：

這個定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題(也稱柯西（Cauchy）問題）。相應地，前一節(jié)中的定解問題(1.1)~(1.4)由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問題或混合問題。方程(1.5)中的自由項f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(1.5)中f(x,t)恒為零的情況對應于自由振動；f(x,t)不為零的情況對應于強迫振動。

下面，我們求解上述初值問題。首先注意到微分方程及定解條件都是線性的。對于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分別是下述初值問題和的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值問題(1.5)、(1.6)的解(證明作為課后習題)。這樣求解初值問題(1.5)、(1.6)就轉化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的初值問題(I)和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題(II)單獨初始振動狀態(tài)對振動過程的影響。單獨考慮外力因素對振動過程的影響。

首先，我們考察代表自由振動情況的初值問題(I)，它可以通過自變量變換的方法求解。引如新自變量：ξ=x-at，η=x+at。利用復合函數(shù)求導的法則，有類似地，從而，方程(1.7)就化為，這個方程可以直接求解。把它關于η積分一次，再關于ξ積分一次，就可以得到它的通解為u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中，F(xiàn)和G是任意兩個可微分的單變量函數(shù)。代回原來的自變量，方程(1.7)的通解表示為u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。

利用這個通解表達式，就可以利用初始條件(1.8)來決定函數(shù)F和G，進而求出初值問題(I)的解。把上述通解表達式代入初始條件(1.8)，得到：(1.12)式是一個簡單的常微分方程，求解它得到由(1.11)和(1.13)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)F和G把它們代入方程(1.7)的通解表達式就得到了初值問題(I)的解

這個公式(1.14)稱為達朗貝爾公式。從以上推導過程可以看出：如果初值問題(I)有解，則解一定可以根據(jù)初始條件由達朗貝爾公式表達出來，因此該問題的解是唯一的。唯一性同時，若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，ψ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么可以驗證公式(1.14)給出的的確是初值問題(I)的解。存在性另外，初值問題(I)的解關于初始條件的連續(xù)依賴性也可以很容易地從達朗貝爾公式中看出。穩(wěn)定性

如右圖所示，在t=0時，?(x,0)=F(x)，它對應于初始振動狀態(tài)（弦在初始時刻各點位移狀態(tài)）。經(jīng)過時刻t0后，?(x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上，它相當于原來的圖形向右平移了一段距離at0。這說明振動的波形以常速度a向右傳播。因此，齊次波動方程的形如F(x-at)的解所描述的運動規(guī)律稱為右傳播波，同樣形如G(x+at)的解稱為左傳播波。并且，我們知道了方程(1.5)中的常數(shù)a實際上表示了波動的傳播速度。（行波法）§2.3傳播波

由前文中推導可見，自由振動情況下的波動方程的解可以表示為形如F(x-at)和G(x+at)的兩個函數(shù)的和。由此可以特別清楚地看出波動傳播的性質。考察?(x,t)=F(x-at)(a>0)，顯然它是齊次波動方程的解。給出不同的t值就可以看出作一維振動的物體在各個時刻的相應位置。結論：達朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，

代表以速度a沿x

軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負向傳播的波b.只有初始速度時：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0換一個角度看波的傳播例2在上述問題中，初值條件為試說明其解的物理意義。-22011可見右行波與左行波分別為由達朗貝爾公式有于是右行波與左行波的波形均為隨著時間的推移，其波形如圖所示：0-2-42412-224012-42012-2-424012-2-424012-2-424012-2-424小結——行波法適用范圍：無界域內(nèi)波動方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。一維波動方程的達朗貝爾公式

行波法

結論：達朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.

只有初始位移時，代表以速度a沿x

軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0§2.4

依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域看達朗貝爾公式，回答下面三個問題：（1），即在(x,t)處函數(shù)值由哪些初值決定？進一步由x軸上哪些點對應的初值決定？

答：由區(qū)間[x-at,x+at]上的初值決定。將此區(qū)間稱為點(x,t)的依賴區(qū)間。進一步分析：方程的特征線為過(x,t)的兩條特征線與x軸的交點正好是x-at和x+at.如圖（2）區(qū)間上的初值都能確定哪些點處的函數(shù)值？特征線，斜率1/a特征線答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的三角形區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值都可由上的初值決定。稱此區(qū)域為的決定域。依賴區(qū)間決定區(qū)域（3）區(qū)間上的初值都能影響到哪些點處的函數(shù)值？答：過和分別作斜率為和的兩條直線，與x軸圍成的無界區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值都能受到上的初值的影響。稱此區(qū)域為的影響域。一點的影響域如右圖影響區(qū)域影響區(qū)域

在前面的討論中，我們看到在(x,t)平面上斜率為1/a的直線x=x0-at和x=x0+at對波動方程的研究起著重要作用，它們稱為波動方程的特征線。

我們看到，擾動實際上沿特征線傳播。擾動以有限速率傳播，是弦振動方程的一個重要特點。重要結論例：利用行波法來討論一端固定的半無界弦的自由振動問題

為了求解此問題，我們可以設想在x=0的左側仍然有弦存在,只是在振動過程中x=0點始終不動。問題于是轉化為：如何將x>0上已知的初始函數(shù)延拓為整個直線-∞<x<+∞上的函數(shù)，并使得用延拓后的函數(shù)作初值的柯西問題的解在x=0點恒為零。

記Φ(x)及Ψ(x)是由φ(x)和ψ(x)分別延拓而得到的函數(shù)。由達朗貝爾公式，以Φ(x)及Ψ(x)為初值的柯西問題的解為要使U(x,t)在x=0點恒為零，就應當成立為此只需要將φ(x)和ψ(x)分別作奇延拓就可以滿足上式，也就是說，令于是將上面定義的Φ(x)及Ψ(x)的表達式代入(1.15)式即得到問題的解§2.5齊次化原理考慮非齊次問題不能用達朗貝爾公式可分解成如下兩個問題和用達朗貝爾公式求解如何求解？用齊次化原理齊次化原理的物理背景齊次化原理（Duhamel原理）（以一維弦振動為例）解：由如上公式，有例1：求解下列初值問題：課后作業(yè)：題8，Page15。§3.1分離變量法§3初邊值問題的分離變量法§3.2解的物理意義§3.3非齊次方程的情形§3.4非齊次邊界條件的情形本節(jié)進一步考察波動方程的初邊值問題，并介紹一種常用的解法—分離變量法。首先考察波動方程的初邊值問題：§3.1分離變量法利用疊加原理，上述初邊值問題可以分解為下面兩個初邊值問題：

與上一節(jié)中一樣，關鍵是求解問題(Ⅰ)，因為問題(Ⅱ)可以運用齊次化原理歸結為問題(Ⅰ)的求解。為了對方程進行分離變量，我們先分析駐波在傳播中的真實形狀。如果選定一個坐標軸的話，他表示某時刻各點處的位移分布，實驗表明，駐波在不同時刻各點的位移按同一比例增減！

如果兩列相干波（頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的簡諧波）在同一直線上沿相反方向傳播，會形成一種特殊的干涉現(xiàn)象叫做駐波。在空間的某一些點，介質質點不運動，而另一些點，介質質點運動的幅度最大；每一點的運動狀態(tài)與緊挨著的下一個點的運動狀態(tài)好像是無關的。我們把這種不向前傳播的波動叫做駐波，不運動的點叫做波節(jié)，振幅最大的點叫做波腹。波由波疏介質垂直入射到波密介質界面上反射時，有半波損失，界面處為合成駐波的波節(jié)，這樣的反射稱為半波反射；而當波由波密介質垂直入射到波疏介質界面上反射時，無半波損失，界面處為合成駐波的波腹，這種反射叫做全波反射。兩個頻率、振幅相同的聲波相反方向傳播時，若滿足駐波條件，也能形成駐波。

二階線性常微分方程稱為該問題的固有值（特征值）使該問題有非零解稱為它的固有函數(shù)

相應的非零解固有值固有函數(shù)由疊加原理由初始條件前面的推導說明了初邊值問題(Ⅰ)如果有解，那么它的解可以表示為(2.24)式的級數(shù)形式，現(xiàn)在的問題是：什么條件下，初邊值問題(Ⅰ)的解一定存在？定理：若函數(shù)φ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有三階連續(xù)偏導數(shù)，ψ(x)在求解區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，并且則弦振動方程的初邊值問題(Ⅰ)的解是存在的，它可以由級數(shù)(2.24)給出，Ak和Bk

由(2.25)式確定。通常我們稱(2.25)式為相容性條件。如果φ(x)和ψ(x)不滿足以上定理的條件，我們可以把φ(x)和ψ(x)看成函數(shù)列的平均收斂極限，當n很大時，因為方程和邊界條件都已滿足，初始條件也近似得到了滿足，由此可以把un(x,t)看成問題的近似解?；舅枷耄菏紫惹蟪鼍哂凶兞糠蛛x形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化?！?.2

解的物理意義由級數(shù)(2.25)可知，初邊值問題(Ⅰ)的解是的疊加，上式又可以寫成物理上，Nk稱為波的振幅，θk稱為波的初相位，ωk稱為圓頻率，它只與弦本身的性質有關，因此也稱為固有頻率。

由此可見，初邊值問題(Ⅰ)的解是由一系列頻率成倍增長，且相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的，所以分離變量法又稱為駐波法。弦所發(fā)出的聲音，其音調(diào)由其振動頻率決定，而聲音的強度