自動(dòng)控制原理,傳遞函數(shù)

第二節(jié)傳遞函數(shù)主要內(nèi)容：1.傳遞函數(shù)的定義；2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏變換得到；ii）復(fù)數(shù)阻抗法；3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。2/4/20231傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念復(fù)習(xí)拉氏變換一個(gè)函數(shù)可以進(jìn)行拉普拉斯變換的充分條件是：1.t<0時(shí)，f(t)=0(因果系統(tǒng)）；2.t>=0時(shí)，f(t)分段連續(xù)；3.2/4/20232控制系統(tǒng)的微分方程輸入輸出LRCi[例2-1]：RLC串聯(lián)電路列出微分方程為：兩邊取拉普拉斯變換：2/4/20233傳遞函數(shù)的定義：系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比，稱(chēng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。記做：U(s)Y(s)G(s)2/4/20234

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程。了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響--分析可以對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對(duì)傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念2/4/20235為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）稱(chēng)為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一般的：2/4/20236傳遞函數(shù)的基本概念例１[解]已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：[例1]求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。2/4/20237傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：2/4/20238⑴線(xiàn)性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）⑷時(shí)滯定理：⑸初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換②性質(zhì)：2/4/20239⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：?jiǎn)挝粧佄锞€(xiàn)函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換2/4/202310用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)阻抗：電氣元件兩端的電壓相量與流過(guò)元件的電流相量之比，稱(chēng)為該元件的復(fù)數(shù)阻抗。（1）電阻的復(fù)數(shù)阻抗推導(dǎo)：假設(shè)電流為：相量形式：則電壓是；則相應(yīng)的復(fù)數(shù)阻抗為2/4/202311（2）電感負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗電流：，電壓：

復(fù)數(shù)阻抗為：2/4/202312補(bǔ)充：復(fù)數(shù)的幾種表示形式1.代數(shù)形式：2.三角形式：歐拉公式：從而有3.指數(shù)形式：4.極坐標(biāo)形式：2/4/202313傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)(復(fù)數(shù)阻抗法)：2/4/202314三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的概念適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng).傳遞函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)一一對(duì)應(yīng),是一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)是s的有理分式.對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言,分母的階次n大于或等于分子的階次m,此時(shí)稱(chēng)為n階系統(tǒng)。2/4/202315傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。2/4/202316傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式表示為有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱(chēng)為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！獋鬟f系數(shù)或根軌跡增益[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：2/4/202317傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫(xiě)成時(shí)間常數(shù)形式：分別稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)，K稱(chēng)為放大系數(shù)顯然：，若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來(lái)表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；2/4/202318若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫(xiě)成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡(jiǎn)單、最基本的一些形式。式中：或：2/4/202319比例環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無(wú)間隙無(wú)變形齒輪傳動(dòng)等。（一）比例環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

2/4/202320積分環(huán)節(jié)有一個(gè)0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“”表示，零點(diǎn)用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)。時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0（二）積分環(huán)節(jié)：

2/4/202321積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度。可見(jiàn)，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動(dòng)機(jī)（忽略慣性和摩擦）齒輪組2/4/202322時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線(xiàn)和零極點(diǎn)分布圖如下：通過(guò)原點(diǎn)的斜率為1/T，且只有一個(gè)極點(diǎn)（-1/T）。1yt00.632T通過(guò)原點(diǎn)切線(xiàn)斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)（三）慣性環(huán)節(jié)2/4/202323求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：可見(jiàn)，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)2/4/202324①R2C-+R1而R②C兩個(gè)實(shí)例：慣性環(huán)節(jié)實(shí)例2/4/202325振蕩環(huán)節(jié)時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時(shí)，可分為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：（四）振蕩環(huán)節(jié)2/4/202326振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)極點(diǎn)分布圖[分析]：y(t)的上升過(guò)程是振幅按指數(shù)曲線(xiàn)衰減的的正弦運(yùn)動(dòng)。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱(chēng)為阻尼系數(shù)，稱(chēng)為無(wú)阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)單調(diào)升，無(wú)振蕩。當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。還可以寫(xiě)成：設(shè)輸入為：則2/4/202327解：當(dāng)時(shí)，有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。（見(jiàn)例2-2，p20）振蕩環(huán)節(jié)例子2/4/202328微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱(chēng)為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒(méi)有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)（若）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。2/4/202329式中：y(t)x(t)R1R2C[實(shí)例]微分環(huán)節(jié)實(shí)例2/4/202330延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱(chēng)時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過(guò)一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個(gè)非線(xiàn)性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，化簡(jiǎn)如下：或x(t)ty(t)t2/4/202331（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如