高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理單元測(cè)試 市賽獲獎(jiǎng)

選修2-3第一章1.2.2第一、選擇題1．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，則x的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960151)()A．2 B．4C．4或2 D．3[答案]C[解析]由組合數(shù)性質(zhì)知x＝2或x＝6－2＝4，故選C．2．(陜西高考)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960152)()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]如圖，基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個(gè)，小于正方形邊長(zhǎng)的事件有OA、OB、OC、OD共4個(gè)，∴P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).3．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960153)()A．120 B．84C．52 D．48[答案]C[解析]間接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52種．4．平面上有12個(gè)點(diǎn)，其中沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，也沒(méi)有4個(gè)點(diǎn)共圓，過(guò)這12個(gè)點(diǎn)中的每三個(gè)作圓，共可作圓eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960154)()A．220個(gè) B．210個(gè)C．200個(gè) D．1320個(gè)[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,12)＝220，故選A．5．(2023·濰坊高二檢測(cè))5個(gè)代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960155)()A．Aeq\o\al(4,5)種 B．45種C．54種 D．Ceq\o\al(4,5)種[答案]D[解析]由于4張同樣的參觀券分給5個(gè)代表，每人最多分一張，從5個(gè)代表中選4個(gè)即可滿足，故有Ceq\o\al(4,5)種．6．(2023·佛山高二檢測(cè))將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E、F的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張卡片，其中標(biāo)號(hào)為A、B的卡片放入同一信封，則不同的放法共有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960156)()A．12種 B．18種C．36種 D．54種[答案]B[解析]由題意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18種．二、填空題7．A，B兩地街道如圖所示，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有________種(用數(shù)字作答).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960157)[答案]10[解析]根據(jù)題意，要求從A地到B地路程最短，必須只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，從5次中選3次向右，剩下2次向上即可，則有Ceq\o\al(3,5)＝10種不同的走法，故答案為10.8．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，則Ceq\o\al(12,n)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960158)[答案]91[解析]∵Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，∴2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，∴2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，則Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝91.9．對(duì)所有滿足1≤m<n≤5的自然數(shù)m，n，方程x2＋y2Ceq\o\al(m,n)＝1所表示的不同橢圓的個(gè)數(shù)為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960159)[答案]6[解析]∵1≤m<n≤5，所以Ceq\o\al(m,n)可以是Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)，其中C13＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5)，∴方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同橢圓有6個(gè)．三、解答題10．平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)不共線，eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960160)(1)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？(2)以其中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有多少條？(3)以其中任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)？[解析](1)所求線段的條數(shù)，即為從10個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(條)，即以10個(gè)點(diǎn)中的任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有45條．(2)所求有向線段的條數(shù)，即為從10個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(條)，即以10個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有90條．(3)所求三角形的個(gè)數(shù)，即從10個(gè)元素中任選3個(gè)元素的組合數(shù)，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(個(gè))．一、選擇題1．(2023·廣東理，4)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960161)()A．eq\f(5,21) B．eq\f(10,21)C．eq\f(11,21) D．1[答案]B[解析]從袋中任取2個(gè)球共有Ceq\o\al(2,15)＝105種，其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50種，所以恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為P＝eq\f(50,105)＝eq\f(10,21)，故選B．2．過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960162)()A．18對(duì) B．24對(duì)C．30對(duì) D．36對(duì)[答案]D[解析]三棱柱共6個(gè)頂點(diǎn)，由此6個(gè)頂點(diǎn)可組成Ceq\o\al(4,6)－3＝12個(gè)不同四面體，而每個(gè)四面體有三對(duì)異面直線，共有12×3＝36對(duì)．二、填空題3．四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種(用數(shù)字作答).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960163)[答案]144[解析]先從四個(gè)小球中取兩個(gè)放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的兩個(gè)小球與另外兩個(gè)小球看作三堆，并分別放入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,4)種不同的放法，據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144種不同的放法．4．一條街道上共有12盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，決定每天晚上十點(diǎn)熄滅其中的4盞，并且不能熄滅相鄰兩盞也不能熄滅兩頭兩盞，則不同熄燈方法有________種.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960164)[答案]35[解析]記熄滅的燈為0，亮燈為1，則問(wèn)題是4個(gè)0和8個(gè)1的一個(gè)排列，并且要求0不相鄰，且不排在兩端，故先將1排好，在8個(gè)1形成的7個(gè)空中，選取4個(gè)插入0，共有方法數(shù)Ceq\o\al(4,7)＝35種．三、解答題5．(2023·遵義高二檢測(cè))現(xiàn)有5名男司機(jī)，4名女司機(jī)，需選派5人運(yùn)貨到某地.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960165)(1)如果派3名男司機(jī)、2名女司機(jī)，共有多少種不同的選派方法？(2)至少有兩名男司機(jī)，共有多少種不同的選派方法？[解析](1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＝60種．(2)利用分類加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(0,4)＝121種．6．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)))，試求x和n的值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960166)[解析]由Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)得x＝2x或x＋2x＝n，即x＝0或n＝3x，顯然x＝0時(shí)Ceq\o\al(x－1,n)無(wú)意義，把n＝3x代入Ceq\o