鋼筋混凝土破壞準(zhǔn)則及本構(gòu)關(guān)系

4.7破壞準(zhǔn)則

破壞包絡(luò)面的形狀及其表達(dá)

在主應(yīng)力空間坐標(biāo)系（σ1,σ2,σ3）中，將試驗(yàn)中獲得的混凝土多軸強(qiáng)度（f1，f2，f3）的數(shù)據(jù)，逐個(gè)地標(biāo)在主應(yīng)力坐標(biāo)空間，相鄰各點(diǎn)以光滑曲面相連，可得混凝土的破壞包絡(luò)曲面。破壞包絡(luò)曲面與坐標(biāo)平面的交線(xiàn)，即混凝土的二軸破壞包絡(luò)線(xiàn)。σ1-fcσ2-fcσ1σ1σ2σ2ftftfttfcc坐標(biāo)軸的順序按右手螺旋法則規(guī)定αξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)第一頁(yè)，共八十七頁(yè)。

在主應(yīng)力空間中，與各坐標(biāo)軸保持等距的各點(diǎn)連結(jié)成為靜水壓力軸（即各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)均滿(mǎn)足：σ1=σ2=σ3）。

此軸必通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與各坐標(biāo)軸的夾角相等，均為

靜水壓力軸上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離稱(chēng)為靜水壓力（ξ）；其值為3個(gè)主應(yīng)力在靜水壓力軸上的投影之和，故：αξ-σ1-σ3-σ2σ3σ1σ2+(σ1,σ2)-(σ1,σ2)靜水壓力軸第二頁(yè)，共八十七頁(yè)。垂直于靜水壓力軸的平面為偏平面。3個(gè)主應(yīng)力軸在偏平面上的投影各成120o角。同一偏平面上的每一點(diǎn)的3個(gè)主應(yīng)力之和為一常數(shù)：I1為應(yīng)力張量σij的第一不變量偏平面與破壞包絡(luò)曲面的交線(xiàn)成為偏平面包絡(luò)線(xiàn)。不同靜水壓力下的偏平面包絡(luò)線(xiàn)構(gòu)成一族封閉曲線(xiàn)。第三頁(yè)，共八十七頁(yè)。

偏平面包絡(luò)線(xiàn)為三折對(duì)稱(chēng)，有夾角60o范圍內(nèi)的曲線(xiàn)段，和直線(xiàn)段一起共同構(gòu)成全包絡(luò)線(xiàn)。取主應(yīng)力軸正方向處為θ=0o，負(fù)方向處為θ=60o

，其余各處為0o<θ<60o。在偏平面上，包絡(luò)線(xiàn)上一點(diǎn)至靜水壓力軸的距離稱(chēng)為偏應(yīng)力r。偏應(yīng)力在θ=0o處最小(rt），隨θ角逐漸增大，至θ=60o處為最大(rc），故rt≤rc

。第四頁(yè)，共八十七頁(yè)。

一些特殊應(yīng)力狀態(tài)的混凝土強(qiáng)度點(diǎn)，在破壞包絡(luò)面上占有特定的位置。從工程觀(guān)點(diǎn)，混凝土沿各個(gè)方向的力學(xué)性能可看作相同，即立方體試件的多軸強(qiáng)度只取決于應(yīng)力比例σ1：σ2：σ3，而與各應(yīng)力的作用方向X、Y、Z無(wú)關(guān)。例如：混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度f(wàn)c和抗拉強(qiáng)度f(wàn)t不論作用在哪一個(gè)方向，都有相等的強(qiáng)度值。在包絡(luò)面各有3個(gè)點(diǎn)，分別位于3個(gè)坐標(biāo)軸的負(fù)、正方向；第五頁(yè)，共八十七頁(yè)。

同理，混凝土的二軸等壓（σ1=0，f2=f3=fcc）和等拉（σ3=0，f1=f2=ftt

）強(qiáng)度位于坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)坐標(biāo)軸的等分線(xiàn)上，3個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)各有一點(diǎn)；混凝土的三軸等拉強(qiáng)度（fl=f2=f3=fttt)只有一點(diǎn)且落在靜水壓力軸的正方向。對(duì)于任意應(yīng)力比(fl≠f2≠f3)的三軸受壓、受拉或拉／壓應(yīng)力狀態(tài)，從工程觀(guān)點(diǎn)考慮混凝土的各向同性，可由坐標(biāo)或主應(yīng)力(fl，f2，f3)值的輪換（破壞橫截面三重對(duì)稱(chēng)），在應(yīng)力空間中各畫(huà)出6個(gè)點(diǎn)，位于同一偏平面上，且?jiàn)A角θ值相等。第六頁(yè)，共八十七頁(yè)。

破壞包絡(luò)曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適于理解和應(yīng)用，常改用拉壓子午面和偏平面上的平面圖形來(lái)表示。

拉壓子午面為靜水壓力軸與任一主應(yīng)力軸（如圖中的σ3軸）組成的平面，同時(shí)通過(guò)另兩個(gè)主應(yīng)力軸（σ1

，σ2

）的等分線(xiàn)。此平面與破壞包絡(luò)面的交線(xiàn)，分別稱(chēng)為拉、壓子午線(xiàn)。1、拉子午線(xiàn)的應(yīng)力條件為σ1≥σ2=σ3

，線(xiàn)上特征強(qiáng)度點(diǎn)有單軸受拉(ft,0,0)和二軸等壓(0,-fcc,-fcc）在偏平面上的夾角為θ=0o;2、壓子午線(xiàn)的應(yīng)力條件則為σ1=σ2≥σ3

，線(xiàn)上有單軸受壓(0,0,-fc)和二軸等拉(ftt,ftt,0)，在偏平面上的夾角θ=60o。

3、拉、壓子午線(xiàn)與靜水壓力軸同交于一點(diǎn)，即三軸等拉(fttt,fttt,fttt)。拉、壓子午線(xiàn)至靜水壓力軸的垂直距離即為偏應(yīng)力rt和rc。θ=0oθ=60o第七頁(yè)，共八十七頁(yè)。

拉壓子午線(xiàn)的命名，并非指應(yīng)力狀態(tài)的拉或壓，而是相應(yīng)于三軸試驗(yàn)過(guò)程。若試件先施加靜水應(yīng)力σ1=σ2=σ3

，后在一軸σ1上施加拉力，得σ1≥σ2=σ3

，稱(chēng)拉子午線(xiàn)；若試件先施加靜水應(yīng)力σ1=σ2=σ3

，后在另一軸σ3上施加壓力，得σ1=σ2≥σ3

，稱(chēng)壓子午線(xiàn)。

另外也可以理解為以單軸拉、壓條件定義拉、壓子午線(xiàn)，即單軸拉狀態(tài)所在的子午線(xiàn)成為拉子午線(xiàn)，而單軸壓狀態(tài)所在的子午線(xiàn)成為壓子午線(xiàn)。試驗(yàn)研究指出，混凝土的三維破壞面也可用三維主應(yīng)力空間破壞曲面的圓柱坐標(biāo)ξ，r，θ來(lái)描述，其本身也是應(yīng)力不變量。θ=0oθ=60o第八頁(yè)，共八十七頁(yè)。σ1σ2oNξrσ3σ1=σ2=

σ3θ圓柱坐標(biāo)系及主應(yīng)力空間應(yīng)力分解ξ，r，θ的幾何表示σ1σ2oNP(σ1,σ2,

σ3)ξrσ3eθ=60oθ=0orcrt拉子午線(xiàn)壓子午線(xiàn)偏平面-σ3+σ3-(σ1,σ2)等應(yīng)力軸和一個(gè)主應(yīng)力軸組成的平面通過(guò)另兩個(gè)主應(yīng)力軸的等分線(xiàn)轉(zhuǎn)換過(guò)程歸納偏平面σ1-σ1σ2-σ2-σ3σ3θrN靜水應(yīng)力偏斜應(yīng)力偏斜應(yīng)力平面中矢量的方向P第九頁(yè)，共八十七頁(yè)。

將以上圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一角度(90o－α)，得到以靜水壓力軸(ξ)為橫坐標(biāo)、偏應(yīng)力(r)為縱坐標(biāo)的拉、壓子午線(xiàn)。

于是，空間的破壞包絡(luò)面改為由子午面和偏平面上的包絡(luò)曲線(xiàn)來(lái)表達(dá)。破壞面上任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)(fl

，f2，f3)改為由圓柱坐標(biāo)(ξ,r,θ)來(lái)表示，換算關(guān)系為：

由上式可知，將上圖的坐標(biāo)縮小可以用八面體正應(yīng)力（σoct）和剪應(yīng)力（τoct）坐標(biāo)代替靜水壓力和偏應(yīng)力坐標(biāo)，得到相應(yīng)的拉、壓子午線(xiàn)和破壞包絡(luò)線(xiàn)。第十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果繪制的拉、壓子午線(xiàn)和偏平面包絡(luò)線(xiàn)。

子午線(xiàn)按照偏平面夾角劃分，試驗(yàn)點(diǎn)的θ=30~60o

分別列在橫坐標(biāo)軸的上、下。第十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。試驗(yàn)時(shí)測(cè)試θ=0o～60o的扇形（其他的扇形是對(duì)稱(chēng)的）

偏平面包絡(luò)線(xiàn)則以八面體應(yīng)力值分段給出。圖中曲線(xiàn)為混凝土破壞準(zhǔn)則的理論值。第十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。

根據(jù)國(guó)內(nèi)外混凝土多軸強(qiáng)度的大量試驗(yàn)資料分析，破壞包絡(luò)曲面的幾何形狀具有如下特征：①曲面連續(xù)、光滑、外凸；②對(duì)靜水壓力軸三折對(duì)稱(chēng)，當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)為靜水應(yīng)力與單向拉應(yīng)力疊加時(shí)，θ=0o，故θ=0o的子午線(xiàn)稱(chēng)為受拉子午線(xiàn)。如將單向拉應(yīng)力換為壓應(yīng)力，則相應(yīng)于受壓子午線(xiàn)，θ=60o。③破壞曲線(xiàn)與等應(yīng)力軸ξ有關(guān)。在ξ軸的正向，靜水壓力軸的拉端封閉，頂點(diǎn)為三軸等拉應(yīng)力狀態(tài)；在ξ軸的負(fù)向，壓端開(kāi)口，不與靜水壓力軸相交，破壞曲線(xiàn)的開(kāi)口隨ξ軸絕對(duì)值的增大而增大；第十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。④子午線(xiàn)上各點(diǎn)的偏應(yīng)力或八面體剪應(yīng)力值，隨靜水壓力或八面體正應(yīng)力的代數(shù)值的減小而單調(diào)增大，但斜率漸減，有極限值；⑤偏平面上的封閉曲線(xiàn)三折對(duì)稱(chēng)，其形狀隨靜水壓力或八面體正應(yīng)力值的減小，由近似三角形(rt／rc≈0.5)逐漸外凸飽滿(mǎn)，過(guò)渡為一圓(rt／rc=1）。第十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。破壞準(zhǔn)則

將混凝土的破壞包絡(luò)曲面用數(shù)學(xué)函數(shù)加以描述，作為判定混凝土是否達(dá)到破壞狀態(tài)或極限強(qiáng)度的條件，稱(chēng)為破壞準(zhǔn)則或強(qiáng)度準(zhǔn)則。雖然它不屬基于機(jī)理分析、具有明確物理概念的強(qiáng)度理論，但它是大量試驗(yàn)結(jié)果的總結(jié)，具有足夠的計(jì)算準(zhǔn)確性，對(duì)實(shí)際工程有重要的指導(dǎo)意義。

1、分類(lèi)：①借用古典強(qiáng)度理論的觀(guān)點(diǎn)和計(jì)算式;②以混凝土多軸強(qiáng)度試驗(yàn)資料為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)回歸式；③以包絡(luò)曲面的幾何形狀特征為依據(jù)的純數(shù)學(xué)推導(dǎo)式，參數(shù)值由若干特征強(qiáng)度值標(biāo)定。各個(gè)準(zhǔn)則的表達(dá)方式和簡(jiǎn)繁程度各異，適用范圍和計(jì)算精度差別大，使用時(shí)應(yīng)認(rèn)真選擇。第十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。2、著名的古典強(qiáng)度理論包括：①最大主拉應(yīng)力理論（Rankine)；②最大主拉應(yīng)變理論（Mariotto）；③最大剪應(yīng)力理論(Tresca)；④統(tǒng)計(jì)平均剪應(yīng)力理論（VonMises)；⑤Mohr-Coulomb理論；⑥D(zhuǎn)rucker-Prager理論。

共同特點(diǎn)：針對(duì)某種特定材料而提出，對(duì)于解釋材料破壞的內(nèi)在原因和規(guī)律有明確的理論（物理）觀(guān)點(diǎn)，有相應(yīng)的試驗(yàn)驗(yàn)證，破壞包絡(luò)面的幾何形狀簡(jiǎn)單，計(jì)算式簡(jiǎn)明，只含1個(gè)或2個(gè)參數(shù)，其值易于標(biāo)定。因而，它們應(yīng)用于相適應(yīng)的材料時(shí)，可在工程實(shí)踐中取得良好的效果。例如.VonMises準(zhǔn)則適用于塑性材料（如軟鋼），在金屬的塑性力學(xué)中應(yīng)用最廣；Mohr-Coulomb準(zhǔn)則反映了材料抗拉和抗壓強(qiáng)度不等（

ft＜fc）的特點(diǎn)，適用于脆性的土壤、巖石類(lèi)材料，在巖土力學(xué)中廣為應(yīng)用。第十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。第十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。3、以混凝土多軸強(qiáng)度試驗(yàn)資料為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)回歸式隨試驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累，許多研究人員提出了若干基于試驗(yàn)結(jié)果、較為準(zhǔn)確、但數(shù)學(xué)形式復(fù)雜的混凝土破壞準(zhǔn)則。準(zhǔn)則中一般需要包含4～5個(gè)參數(shù)。第十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。這些破壞準(zhǔn)則的原始表達(dá)式中采用了不同的應(yīng)力量作為變量，分5種：①主應(yīng)力—fl,f2,f3;②應(yīng)力不變量—Il,J2,J3;③靜水壓力和偏應(yīng)力—ξ,r,θ;④八面體應(yīng)力—σoct,τoct;⑤平均應(yīng)力—σm,τm

θ。采用上述應(yīng)力量致使準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)形式差別很大，不便作深入對(duì)比分析。但這些應(yīng)力量借助下列基本公式可以很方便地互相變換：第十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。

采用上述應(yīng)力量致使準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)形式差別很大，不便作深人對(duì)比分析。但這些應(yīng)力量借助下列基本公式可以很方便地互相變換：

最終可統(tǒng)一用相對(duì)八面體強(qiáng)度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc

）表達(dá)，經(jīng)歸納得子午線(xiàn)方程的3種基本形式：第二十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

最終可統(tǒng)一用相對(duì)八面體強(qiáng)度（σ0=σoct/fc和τ0=τoct/fc

）表達(dá)，經(jīng)歸納得子午線(xiàn)方程的3種基本形式：

一些常用的、有代表性的混凝土破壞準(zhǔn)則列于下表,同時(shí)給出了原始表達(dá)式和統(tǒng)一表達(dá)式，可看到兩者中參數(shù)的互換關(guān)系。第二十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。第二十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。

過(guò)鎮(zhèn)海、王傳志、張秀琴等搜集了國(guó)內(nèi)外大量的混凝士多軸強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，與按上述準(zhǔn)則計(jì)算的理論值進(jìn)行全面比較，根據(jù)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)：①計(jì)算值與試驗(yàn)強(qiáng)度的相符程度；②適用的應(yīng)力范圍寬窄；③理論破壞包絡(luò)面幾何特征的合理性等加以評(píng)定。所得結(jié)論為：較好的準(zhǔn)則：過(guò)—王、Ottosen和Podgorski準(zhǔn)則；一般的準(zhǔn)則：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos，Willam-Warnke準(zhǔn)則；較差準(zhǔn)則：Bresler-Pister準(zhǔn)則。在結(jié)構(gòu)的有限元分析中，可根據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力范圍和準(zhǔn)確度要求選用合理的混凝土破壞準(zhǔn)則。第二十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。4、以包絡(luò)曲面的幾何形狀特征為依據(jù)的純數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式模式規(guī)范CEBFIPMC90C采納了Ottosen準(zhǔn)則。它根據(jù)偏平面包絡(luò)線(xiàn)由三角形過(guò)渡為圓形的特點(diǎn)、應(yīng)用薄膜比擬法：即在等邊三角形邊框上蒙上一薄膜，承受均勻壓力后薄膜鼓起，等高線(xiàn)的形狀由外向內(nèi)的變化恰好相同．據(jù)此建立了二階偏微分方程，求解后轉(zhuǎn)換得到以應(yīng)力不變量表達(dá)的破壞準(zhǔn)則式：第二十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。其中：

a和b決定子午線(xiàn)的形狀，k1和k2分別決定偏平面包絡(luò)線(xiàn)的大小和形狀。標(biāo)定參數(shù)值的4個(gè)特征強(qiáng)度值取為：?jiǎn)屋S抗壓(-fc)、單軸抗拉(ft）、二軸等壓(fcc=1.16fc)三軸抗壓強(qiáng)度第二十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。三軸抗壓強(qiáng)度按下式計(jì)算各特征強(qiáng)度的代入第二十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。

得4階聯(lián)立方程，解得各參數(shù)值。若取ft=0.1fc，解得的4個(gè)參數(shù)為：a=1.2759,b=3.1962

k1＝11.7365，k2=0.9801Hsieh-Ting-Chen和Podgorski準(zhǔn)則是對(duì)Ottosen準(zhǔn)則的簡(jiǎn)化和修正。第二十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。

我國(guó)的《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》附錄C.4中采納了過(guò)—王準(zhǔn)則，其與試驗(yàn)結(jié)果相符較好、以八面體應(yīng)力無(wú)量綱量表達(dá)、應(yīng)用幕函數(shù)擬合混凝土的破壞包絡(luò)面，一般計(jì)算式為:、規(guī)范中的破壞準(zhǔn)則⑴破壞準(zhǔn)則的計(jì)算公式第二十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。式中5個(gè)參數(shù)都有明確的幾何（物理）意義：①當(dāng)a=τ0,max時(shí)，σ0→－∞時(shí)τ0有極限值（高壓應(yīng)力狀態(tài)），即②參數(shù)b，當(dāng)τoct/fc＊=0時(shí)，b=σoct/fc＊即包絡(luò)面或子午線(xiàn)與靜水壓力軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；故b值為混凝土三軸等拉強(qiáng)度（f1=f2=f3=fttt）與單軸抗壓強(qiáng)度的比值符合破壞曲面包絡(luò)線(xiàn)隨σoct的增大由近似三角形趨向圓柱面過(guò)渡的特性；即，此時(shí)，拉、壓子午線(xiàn)與靜水壓力軸平行切等距（rc=rt），偏平面上包絡(luò)線(xiàn)為一半徑a的圓，破壞包絡(luò)面趨于圓柱形。第二十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。③0<d<1.0時(shí)，④θ=0o時(shí)c=ct，θ=60o時(shí)。c=cc

，代人上式分別得拉、壓子午線(xiàn)，即為拉、壓子午線(xiàn)對(duì)應(yīng)的剪切強(qiáng)度。當(dāng)θ=0o增加到60o時(shí)，ct逐漸增加至cc，符合光滑、外凸的特性；

其導(dǎo)數(shù)在σoct/fc＊=b處的數(shù)值為∞，即切線(xiàn)垂直于橫坐標(biāo)，拉、壓子午線(xiàn)在此處連續(xù)，破壞包絡(luò)面頂點(diǎn)處連續(xù)、光滑；第三十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

另外，由于該破壞準(zhǔn)則是根據(jù)包括整個(gè)應(yīng)力空間8個(gè)象限的各種應(yīng)力狀態(tài)的上千個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)建立起來(lái)的，所以它不僅在中、高靜水壓力區(qū)域?qū)嶒?yàn)值符合較好，而且在拉區(qū)乃至三向等拉狀態(tài)也能較好地反映實(shí)際受力情況。該準(zhǔn)則適用于平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、三向受壓、三向受拉、乃至三向拉壓等多種應(yīng)力狀態(tài)，且計(jì)算簡(jiǎn)單，便于工程設(shè)計(jì)和非線(xiàn)性分析應(yīng)用。第三十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。⑵計(jì)算參數(shù)值的確定

混凝土破壞準(zhǔn)則中包含的5個(gè)參數(shù)，可以用全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析擬定，也可在破壞包絡(luò)面上，或拉、壓子午線(xiàn)上選定任意5個(gè)特征強(qiáng)度值加以標(biāo)定。前者計(jì)算工作量大，一般取用后者。

單軸抗壓和抗拉強(qiáng)度是混凝土的基本強(qiáng)度指標(biāo)，應(yīng)作為首選的二個(gè)特征強(qiáng)度值。其余3個(gè)特征強(qiáng)度可以選用：包絡(luò)面頂端，即拉壓子午線(xiàn)交點(diǎn)處的三軸等拉強(qiáng)度；試驗(yàn)數(shù)量較多的二軸等壓強(qiáng)度；和一個(gè)強(qiáng)度較高的常規(guī)三軸抗壓強(qiáng)度(0＞f1=f2

＞

f3，θ=60o

）。這樣使拉、壓子午線(xiàn)上各有3個(gè)控制點(diǎn)，可以較好地?cái)M合試驗(yàn)結(jié)果。第三十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。

將這5個(gè)特征值的應(yīng)力狀態(tài)分別代入式計(jì)算第三十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。并代人破壞準(zhǔn)則計(jì)算式，可得5個(gè)聯(lián)立方程如下：從這些方程求解5個(gè)參數(shù)值，難有顯式解，可采用迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算：第三十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。由式③直接得：其中：由其余4式消去參數(shù)a，有：第三十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。由式得參數(shù)d的計(jì)算式：第三十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。由式取得由式取得第三十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。最后由式①～⑤中任意一式計(jì)算參數(shù)a，?、苁降茫?/p>

在設(shè)定了5個(gè)特征強(qiáng)度值后、即S60、T60、η、S0、T0等值已知，可應(yīng)用這些方程進(jìn)行迭代計(jì)算，以確定混凝土破壞準(zhǔn)則的5個(gè)參數(shù)值。其步驟如下：計(jì)算參數(shù)b；②設(shè)定n（＜1）的初始值，如n0=0.98；③代入計(jì)算參數(shù)d；①由式第三十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。④代入計(jì)算K1和K2；⑤由式計(jì)算參數(shù)cc和ct；⑥代入得n的第一次近似值n1，計(jì)算誤差，若不滿(mǎn)足精度要求（取0.0001），則按步驟③④繼續(xù)迭代計(jì)算；⑦代入計(jì)算參數(shù)a。第三十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。

確定這5個(gè)參數(shù)采用的混凝土特征強(qiáng)度值為：①單軸抗壓（-fc)；②單軸抗拉(ft=0.1fc，F(xiàn)=0.1）；③二軸等壓(fcc=1.28fc

，S0=-0.8533，T0=0.6034）；④三軸等拉(fttt=0.9ft

，η=0.9）；⑤三軸抗壓強(qiáng)度（θ=60o，S60=σoct/fc=－4，

T60=τoct/fc=2.7）。分別代入上式，用迭代法計(jì)算的參數(shù)值：

a＝6.9638b=0.09d=0.9297ct＝12.2445cc＝7.3319第四十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

按此公式可計(jì)算各種應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土多軸強(qiáng)度理論值，并繪制子午線(xiàn)和偏平面包絡(luò)線(xiàn)，以及二軸和三軸包絡(luò)線(xiàn)。按此準(zhǔn)則計(jì)算的混凝土多軸強(qiáng)度值與國(guó)內(nèi)外的試驗(yàn)結(jié)果比較吻合。

將所得參數(shù)值代入基本方程，即得混凝土的破壞準(zhǔn)則公式：第四十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。

需要說(shuō)明，選用的上述5個(gè)特征強(qiáng)度值，是分析了國(guó)內(nèi)外眾多研究者的試驗(yàn)結(jié)果而確定的，與此相應(yīng)的混凝土破壞準(zhǔn)則（上兩式）可適用于各種試驗(yàn)條件和全部多軸應(yīng)力范圍，總體計(jì)算準(zhǔn)確度較高。如果針對(duì)某一種特定的混凝土材料，或者在有限的應(yīng)力比或靜水壓力范圍（如二軸應(yīng)力狀態(tài)）內(nèi)，為了得到更準(zhǔn)確的破壞準(zhǔn)則，可以通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定，或參照已有試臉資料另行設(shè)定5個(gè)特征強(qiáng)度值，用上述迭代法計(jì)算參數(shù)值，得相應(yīng)的破壞準(zhǔn)則計(jì)算式。第四十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。多軸強(qiáng)度驗(yàn)算舉例

二維和三維結(jié)構(gòu)在線(xiàn)彈性或非線(xiàn)性分析后獲得了混凝土的多軸應(yīng)力狀態(tài)，可按多軸強(qiáng)度設(shè)計(jì)值進(jìn)行驗(yàn)算（如4.5所述），也可采用破壞準(zhǔn)則進(jìn)行驗(yàn)算，通常將混凝土的破壞準(zhǔn)則編成程序，附在結(jié)構(gòu)分析之后，由計(jì)算機(jī)完成混凝土的應(yīng)力分析和多軸強(qiáng)度驗(yàn)算。下面列舉幾個(gè)手算例題，說(shuō)明具體的計(jì)算方法和步驟，有助于對(duì)混凝土破壞準(zhǔn)則的理解。例4-7混凝土三向受壓，應(yīng)力比為σ1:σ2:σ3＝-0.15:-0.3:-1，用上述破壞準(zhǔn)則計(jì)算相應(yīng)的多軸強(qiáng)度值。解：設(shè)三軸抗壓強(qiáng)度為：另二個(gè)方向分別為：其中x

為待定值。第四十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。

計(jì)算無(wú)量綱的八面體正、剪應(yīng)力和偏平面夾角：代入第四十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。由準(zhǔn)則：建立為一超越方程，解此超越方程得：x=4.48混凝土的三軸抗壓強(qiáng)度為：試驗(yàn)結(jié)果表明，上述比例下的混凝土三軸抗壓強(qiáng)度約為：與計(jì)算值接近。

另一方面，若按混凝土規(guī)范三軸抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值進(jìn)行驗(yàn)算，相同應(yīng)力比例下的三軸抗壓強(qiáng)度僅為：

比按前述破壞準(zhǔn)則的計(jì)算值低很多。其主要原因是：給定的多軸壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值有意比試驗(yàn)值偏低；未考慮第2主應(yīng)力σ2的有利作用。第四十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。例4-8一鋼筋混凝土平面結(jié)構(gòu)，在荷載設(shè)計(jì)值作用下，按線(xiàn)彈性分析得最不利位置處的主應(yīng)力為（－5、－

16N/mm2），試確定混凝土的強(qiáng)度等級(jí)。用混凝土破壞準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。解：該處混凝土的應(yīng)力狀態(tài)寫(xiě)成三軸應(yīng)力形式：設(shè)三軸抗壓強(qiáng)度為：相應(yīng)有：計(jì)算破壞準(zhǔn)則的各項(xiàng)指標(biāo)和參數(shù)值：第四十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。代入由準(zhǔn)則：為一超越方程，解此超越方程得：x=1.37第四十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。此強(qiáng)度值大于按下圖所給的混凝土多軸抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。試選C30混凝土，其單軸抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為fc=14.3N/mm2，故若該選C25混凝土，其單軸抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為fc=11.9N/mm2，也可滿(mǎn)足承載能力要求，第四十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。例4-9若混凝土三方向的應(yīng)力比為：①（+0.1:+0.06:－1）和②（+0.04:－0.5:－1），確定相應(yīng)的三軸拉-壓強(qiáng)度。用混凝土破壞準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。解：①三軸拉-拉-壓應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力比為：設(shè)三軸抗壓強(qiáng)度為：代入相應(yīng)計(jì)算公式：由準(zhǔn)則得：解此超越方程得：x=0.571三軸拉壓強(qiáng)度分別為：第四十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。解：②三軸拉-拉-壓應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力比為：設(shè)三軸抗壓強(qiáng)度為：代入相應(yīng)計(jì)算公式：由準(zhǔn)則得：解此超越方程得：x=1.044三軸拉壓強(qiáng)度分別為：

按混凝土破壞準(zhǔn)則計(jì)算的這些應(yīng)力比例下的三軸拉-壓強(qiáng)度，與按二軸拉-壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值計(jì)算的結(jié)果接近，二者相差不到10%。第五十頁(yè)，共八十七頁(yè)。4.8本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系的概念

一切結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析，例如桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形分析，二、三維結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形分析，以及構(gòu)件的截面承載力和正常使用階段性能的分析等，都必須使用和滿(mǎn)足三類(lèi)基本方程，即：⑴力學(xué)平衡方程；⑵變形協(xié)調(diào)條件；⑶本構(gòu)關(guān)系。力學(xué)平衡方程，無(wú)論是結(jié)構(gòu)的整體或局部、靜力或動(dòng)力荷載的作用、分析的準(zhǔn)確解或近似解都必須滿(mǎn)足，這是混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析最基本的條件。

變形協(xié)調(diào)條件，是幾何或機(jī)動(dòng)方程。結(jié)構(gòu)是連續(xù)體，在荷載作用下會(huì)發(fā)生變形和位移，但仍應(yīng)為連續(xù)體。幾個(gè)部分的變形應(yīng)該是協(xié)調(diào)的，在邊界、支座、節(jié)點(diǎn)等處仍能互相吻合，這就是滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件。但有時(shí)為對(duì)結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖作某些簡(jiǎn)化，第五十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。

本構(gòu)關(guān)系則是聯(lián)系前二者，即力和變形間的物理方程，例如材料的應(yīng)力-應(yīng)變（σ-ε、τ-γ）或構(gòu)件截面的彎矩-曲率、軸力-伸長(zhǎng)（縮短）、扭矩-轉(zhuǎn)角等，……之間的關(guān)系，統(tǒng)稱(chēng)為本構(gòu)關(guān)系。各種材料的、不同形式和體系的結(jié)構(gòu)，在力學(xué)分析時(shí)所用的前二類(lèi)方程原則相同、數(shù)學(xué)形式相近，而本構(gòu)關(guān)系可有很大差別。例如，本構(gòu)關(guān)系有彈性的、塑性的，還有與時(shí)間相關(guān)的黏彈性、黏塑性的，與溫度相關(guān)的熱彈性、熱塑性等。每一種特定的本構(gòu)關(guān)系都可發(fā)展成為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的力學(xué)分支，如彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、黏彈（塑）性力學(xué)，熱彈（塑）性力學(xué)等。近期發(fā)展的斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)等，也各有相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。由于本構(gòu)關(guān)系的不同，這些力學(xué)分支各有獨(dú)特的分析思路和求解方法，并獲得相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。分析計(jì)算作了某些假定，造成難以完全滿(mǎn)足各單元之間的變形協(xié)調(diào)，特別是難以滿(mǎn)足邊界約束條件。因此，也不一定要求從微觀(guān)上嚴(yán)格滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)，但在宏觀(guān)上，即整體上，仍能滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件，使結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果與實(shí)際情況不致有較大的出入。第五十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。

鋼筋混凝土是一種特殊的組合結(jié)構(gòu)材料。除了鋼筋（材）和混凝土本身的材料本構(gòu)關(guān)系因所用材料的品種和強(qiáng)度等級(jí)而不同外，還因二者的配合和相對(duì)比例、如面積比、強(qiáng)度比、彈性模量比、……等的變化，而又有更復(fù)雜的組合本構(gòu)關(guān)系，如平均應(yīng)力-應(yīng)變、截面彎矩-平均曲率、……等。將這些鋼筋混凝土的特殊本構(gòu)關(guān)系引入結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性分析，完全有理由稱(chēng)之為鋼筋混凝土力學(xué)。事實(shí)上，這已是混凝土結(jié)構(gòu)和構(gòu)件分析的重要發(fā)展方向。

混凝土在簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系，即單軸受壓和受拉時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系比較明確，可以相當(dāng)準(zhǔn)確地在相應(yīng)的試驗(yàn)中測(cè)定，并用合理的經(jīng)驗(yàn)回歸式加以描述。即使如此，仍然因?yàn)榛炷敛男缘碾x散、變形成分的多樣和影響因素的眾多等而在一定范圍內(nèi)變動(dòng)。第五十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。

混凝土在多軸應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)然更要復(fù)雜得多。3個(gè)方向主應(yīng)力的共同作用，使各方向的正應(yīng)變和橫向變形效應(yīng)相互約束和牽制，影響內(nèi)部微裂縫的出現(xiàn)和發(fā)展程度。而且，混凝土多軸抗壓強(qiáng)度的成倍增長(zhǎng)和多軸拉／壓強(qiáng)度的降低，擴(kuò)大了混凝土的應(yīng)力值范圍，改變了各部分變形成分的比例，出現(xiàn)了不同的破壞過(guò)程和形態(tài)。這些都使得混凝土多軸變形的變化范圍大，形式復(fù)雜。另一方面，混凝土多軸試驗(yàn)方法的不統(tǒng)一和應(yīng)變量測(cè)技術(shù)的困難，又加大了應(yīng)變量測(cè)數(shù)據(jù)的離散度，給研究本構(gòu)關(guān)系造成更大困難。第五十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。

有限元方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為混凝土結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的非線(xiàn)性分析創(chuàng)建了便利條件。任何類(lèi)型、體系和受力狀況的結(jié)構(gòu)或其局部都可依靠非線(xiàn)性分析方法求解。但是，計(jì)算結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確度主要取決于所采用的鋼筋混凝土各項(xiàng)非線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系是否準(zhǔn)確、合理。因此，建立或選擇本構(gòu)關(guān)系是結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性分析的關(guān)鍵問(wèn)題，成為近20年混凝土結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要研究方向。確定了合適的本構(gòu)關(guān)系、進(jìn)行非線(xiàn)性的全過(guò)程分析，有可能改變目前的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的內(nèi)力彈性分析和截面承載力經(jīng)驗(yàn)性計(jì)算等不盡理想的景況，走向更完善、準(zhǔn)確的理論解方向。第五十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。非線(xiàn)性分析中的各種本構(gòu)關(guān)系

結(jié)構(gòu)分析時(shí)，無(wú)論采用解析法和有限元法都要將整體結(jié)構(gòu)離散化、分解成各種計(jì)算單元。例如二、三維結(jié)構(gòu)的解析法取為二維或三維應(yīng)力狀態(tài)的點(diǎn)（微體），有限元法取為形狀和尺寸不同的塊體；桿系結(jié)構(gòu)可取為各桿件的截面、或其一段、或全長(zhǎng)；結(jié)構(gòu)整體分析可取其局部，如高層建筑的一層作為基本計(jì)算單元。因此，本構(gòu)關(guān)系可建立在結(jié)構(gòu)的不同層次和分析尺度上．當(dāng)然最基本的是材料一點(diǎn)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，由此決定或推導(dǎo)其他各種本構(gòu)關(guān)系。

各種計(jì)算單元的本構(gòu)關(guān)系一般是以標(biāo)準(zhǔn)條件下，即常溫下短時(shí)一次加載試驗(yàn)的測(cè)定值為基礎(chǔ)確定的。當(dāng)結(jié)構(gòu)的環(huán)境和受力條件有變化時(shí)，如反復(fù)加卸載、動(dòng)載、荷載長(zhǎng)期作用或高速?zèng)_擊作用、高溫或低溫狀況、……等，混凝土的性能和本構(gòu)關(guān)系隨之有不同程度的變化、必須進(jìn)行相應(yīng)修正，甚至重新建立專(zhuān)門(mén)的本構(gòu)關(guān)系。第五十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。

所以，鋼筋混凝土非線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系的內(nèi)容非常豐富，試驗(yàn)和理論研究也有一定難度。經(jīng)過(guò)各國(guó)研究人員的多年努力，本構(gòu)關(guān)系的研究已在寬廣的領(lǐng)域內(nèi)取得了大量成果，其中比較重要和常用的本構(gòu)關(guān)系有：

◆混凝土的單軸受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

◆混凝土的多軸強(qiáng)度（破壞準(zhǔn)則）和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

◆多種環(huán)境和受力條件下的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包括受壓卸載和再加載，壓拉反復(fù)加卸載，多次重復(fù)荷載（疲勞），快速（毫秒或微秒級(jí)）加載和變形，高溫（＞l00oC）和低溫＜0oC）狀況下的加卸載，……；◆與時(shí)間有關(guān)的混凝土受力性能，如定應(yīng)力或變應(yīng)力作用下的徐變（松弛）、收縮、……；◆鋼材（筋）的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，和反復(fù)應(yīng)力作用的Bauschinger效應(yīng)；第五十七頁(yè)，共八十七頁(yè)?！翡摻詈突炷两缑娴恼辰Y(jié)應(yīng)力-相對(duì)滑移（τ-s）關(guān)系，包括單調(diào)和反復(fù)荷載作用；◆混凝土受拉開(kāi)裂后，沿裂縫面有骨料咬合作用；與裂縫相交的鋼筋，縱向有受拉剛化效應(yīng)，橫向有銷(xiāo)栓作用；◆橫向約束混凝土，包括螺旋箍筋、矩形箍筋和鋼管混凝土等的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；◆構(gòu)件（截面）在單調(diào)荷載作用下的彎矩-曲率關(guān)系，在（地震）反復(fù)荷載作用下的彎矩-曲率恢復(fù)力模型；◆二維和三維鋼筋混凝土有限單元的各種本構(gòu)關(guān)系，如分離式、組合式或整體式模型，以及鋼筋和混凝土界面的聯(lián)結(jié)單元模型，……；……。第五十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。確定本構(gòu)關(guān)系（模型）的方法

結(jié)構(gòu)分析中所需的某種計(jì)算單元的本構(gòu)關(guān)系，研究人員可通過(guò)試驗(yàn)的、理論的、或半經(jīng)驗(yàn)半理論的方法，建立多種具體的本構(gòu)模型。例如，混凝土的多軸本構(gòu)（應(yīng)力-應(yīng)變）關(guān)系可分作線(xiàn)彈性、非線(xiàn)（性）彈性、塑性理論或其他力學(xué)理論為及其礎(chǔ)的多種模型。其中較實(shí)用的非線(xiàn)（性）彈性模型，又細(xì)分為各向同性、正交異性和各向異性類(lèi)，同一類(lèi)中又有數(shù)種不同的具體數(shù)學(xué)模型。同一種本構(gòu)關(guān)系出現(xiàn)多種不同的具體模型，且形式有繁有簡(jiǎn)，或精或粗，相差懸殊，其計(jì)算結(jié)果也不盡相同。這種情況既因?yàn)榛炷敛男缘膹?fù)雜多變和離散性較大，也反映了研究者學(xué)術(shù)觀(guān)點(diǎn)和研究方法的不同。許多模型各有利弊和適用范圍，難以求得統(tǒng)一。因此，在設(shè)計(jì)和分析結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)選擇合理和適用的本構(gòu)模型。第五十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。

確定本構(gòu)模型有三種方法：⑴用與工程結(jié)構(gòu)相同的混凝土材料，專(zhuān)門(mén)制作足量的試件、通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定和分析后確定；⑵選定適合該結(jié)構(gòu)的合理本構(gòu)模型形式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式中所需的參數(shù)值由少量試驗(yàn)加以標(biāo)定；⑶采用經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證或工程經(jīng)驗(yàn)證明可行的具體本構(gòu)（數(shù)學(xué)）模型。為了保證本構(gòu)關(guān)系的可靠性，上述方法按優(yōu)選次序排列。由于混凝土大量地采用地方性材料，施工制作工藝和質(zhì)量控制水平出入較大，使混凝土的實(shí)際力學(xué)性能有較大的變異性和離散度。結(jié)構(gòu)分析所需的各項(xiàng)本構(gòu)關(guān)系應(yīng)根據(jù)建筑物的重要性、結(jié)構(gòu)體系的類(lèi)型、要求的計(jì)算精度、實(shí)際施工水平，和具備的試驗(yàn)條件等慎重地加以選擇。第六十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算和有限元分析中須引入混凝土的多軸本構(gòu)關(guān)系，許多學(xué)者進(jìn)行了大量的試驗(yàn)和理論研究，提出了多種多樣的混凝土本構(gòu)模型。根據(jù)這些模型對(duì)混凝土材料力學(xué)性能特征的概括，分成4大類(lèi)：①線(xiàn)彈性模型；(彈性模型)②非線(xiàn)（性）彈性模型；(彈性模型)③塑性理論模型；(非彈性模型)④其它力學(xué)理論類(lèi)模型。(非彈性模型)

各類(lèi)本構(gòu)模型的理論基礎(chǔ)、觀(guān)點(diǎn)和方法迥異，表達(dá)形式多樣，簡(jiǎn)繁相差懸殊，適用范圍和計(jì)算結(jié)果的差別大。很難確認(rèn)一個(gè)通用的混凝土本構(gòu)模型，只能根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)、應(yīng)力范圍和精度要求等加以適當(dāng)選擇。至今，實(shí)際工程中應(yīng)用最廣泛的還是源自試驗(yàn)、計(jì)算精度有保證、形式簡(jiǎn)明和使用方便的非線(xiàn)彈性類(lèi)本構(gòu)模型。本構(gòu)關(guān)系（模型）的分類(lèi)第六十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系

這是最簡(jiǎn)單、最基本的材料本構(gòu)關(guān)系。它假設(shè)材料的各方向應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變符合線(xiàn)性比例關(guān)系，加載和卸載沿同一直線(xiàn)往返變化，完全卸載后無(wú)殘余應(yīng)變?nèi)鐖D。

因而應(yīng)力和應(yīng)變有確定的唯一關(guān)系，其比值稱(chēng)彈性常數(shù)，或彈性模量?？紤]材料各方向性能的異同，可分別建立各向異性的、正交異性的或各向同性的線(xiàn)彈性本構(gòu)模型。第六十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。1、各向同性本構(gòu)模型

結(jié)構(gòu)中的任何一點(diǎn)，共有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量：即正應(yīng)力σ11、σ22

、σ33

剪應(yīng)力τ12=τ21、τ23=τ32

、τ31=τ13

。相應(yīng)地也有6個(gè)應(yīng)變分量：為正應(yīng)變?chǔ)?1、ε22

、ε33剪應(yīng)變?chǔ)?2=γ21、γ23=γ32

、γ31=γ13

假設(shè)材料的各方向同性、有相等的彈性常數(shù)，即可建立正應(yīng)力-正應(yīng)變和剪應(yīng)力-剪應(yīng)變之間的關(guān)系如下：第六十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。這就是眾所熟知的廣義虎克定律。其中包含了3個(gè)彈性常數(shù)：

E—彈性模量（N/mm2）；

ν—橫向變形系數(shù)、即泊松比；

G—剪切模量（N/mm2）。且由于獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)，一般以E和ν表示。第六十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。將式（1）合并第六十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。將式（1）合并后求逆，即得剛度矩陣表示的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式：

這就是各向同性材料的線(xiàn)彈性本構(gòu)模型。對(duì)于任一種材料，只需測(cè)定或給定其彈性模量E和泊松比ν，即可確定其全部本構(gòu)關(guān)系。第六十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。

各向同性的線(xiàn)彈性本構(gòu)模型，是迄今發(fā)展最成熟，應(yīng)用最廣泛的材料本構(gòu)模型。經(jīng)典的彈性力學(xué)就是以此模型作為物理基礎(chǔ)，對(duì)許多二維、三維結(jié)構(gòu)，包括扳、殼結(jié)構(gòu)等的分析給出了準(zhǔn)確的解析解。現(xiàn)今，分析二維和三維結(jié)構(gòu)最常用的有限元方法，也以此本構(gòu)模型為基礎(chǔ)推導(dǎo)基本公式，并編制成多種通用的或?qū)Ｓ玫慕Y(jié)構(gòu)分析程序，例如ANSYS、SAP、ADINA等，已在實(shí)際工程中廣為應(yīng)用，卓有成效。2、各向異性和正交異性本構(gòu)模型

如果考慮一點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)力分量和6個(gè)應(yīng)變分量之間的彈性常數(shù)都不相同，即可建立最一般性材料的各向異性本構(gòu)關(guān)系：第六十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。第六十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。式中Kii,ii—正應(yīng)力σii和正應(yīng)變?chǔ)舏i間的剛度系數(shù)，即彈性模量；

Gij,ij—剪應(yīng)力τij和剪應(yīng)變?chǔ)胕j間的剛度系數(shù)，即剪切模量；

Yii,ij—正應(yīng)力σii和剪應(yīng)變?chǔ)舏i間的剛度系數(shù)；

Hij,ii—剪應(yīng)力τij和正應(yīng)變?chǔ)舏i間的剛度系數(shù)。

Y和H合稱(chēng)為耦合剛度系數(shù)（模量）

上式中可見(jiàn)，各向異性材料的本構(gòu)模型中共包含了6×6=36個(gè)彈性常數(shù)（模量），數(shù)值可能各不相同，需要通過(guò)相應(yīng)的材料試驗(yàn)分別地加以測(cè)定。上面以剛度矩陣表達(dá)的各向異性本構(gòu)關(guān)系（4）式，求逆后可用柔度矩陣表達(dá)。柔度矩陣中同樣有36個(gè)材料的彈性常致，每一個(gè)元素都是正（剪）應(yīng)變和正（剪）應(yīng)力對(duì)應(yīng)的柔度系數(shù)。第六十九頁(yè)，共八十七頁(yè)。

實(shí)際工程中的結(jié)構(gòu)材料都沒(méi)有如此復(fù)雜的力學(xué)性能，因而本構(gòu)關(guān)系可作簡(jiǎn)化。最典型的是正交異性材料，其力學(xué)性能的主要特點(diǎn)為：三個(gè)方向各有不同的彈性常數(shù)（彈性模量和泊松比），但正應(yīng)力的作用不產(chǎn)生剪應(yīng)變（Y=∞），剪應(yīng)力的作用也不產(chǎn)生正應(yīng)變（H=∞），且不對(duì)其他平面產(chǎn)生剪應(yīng)變。例如，處于三軸應(yīng)力狀態(tài)的混凝土，各方向的正應(yīng)力值不等，又有拉壓之分，應(yīng)有不等的彈性常數(shù)值。

依據(jù)正交異性材料的特點(diǎn)，可將各向異性材料的6階本構(gòu)方程組（4）解耦，降為二個(gè)3階方程組，分別建立正應(yīng)力-正應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系如下：第七十頁(yè)，共八十七頁(yè)。

式（5）中的剛度矩陣對(duì)稱(chēng)，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有6個(gè)，加上式（6）中的3個(gè)常數(shù)，故正交異性材料的獨(dú)立彈性常數(shù)共為9個(gè)。

若將彈性常數(shù)用工程界熟悉的E、ν和G表示，正交異性材料的本構(gòu)關(guān)系可改寫(xiě)成簡(jiǎn)明的柔度矩陣形式：剪應(yīng)力-剪應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系如下：第七十一頁(yè)，共八十七頁(yè)。式中

E1、E2、E3

—

3個(gè)相互垂直方向的彈性模量；

G12、G23、G31

—

3個(gè)相互垂直方向的剪切模量；

ν12、……—應(yīng)力σ22對(duì)方向1的橫向變形系數(shù)（泊松比），

其余類(lèi)推。由于式（7）中柔度矩陣的對(duì)稱(chēng)性，可得3個(gè)附加方程：

故本構(gòu)關(guān)系中同樣是9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。式（7）和式（8）分別求逆后，即可得式（5）和式（6）中的剛度矩陣和相應(yīng)的元素。第七十二頁(yè)，共八十七頁(yè)。非線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系

混凝土當(dāng)然不是線(xiàn)彈性材料，上述線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系用于分析混凝土結(jié)構(gòu)時(shí)，其適用范圍和計(jì)算精度顯然都受限制，因而建立和發(fā)展了非線(xiàn)（性）彈性類(lèi)本構(gòu)關(guān)系。這類(lèi)本構(gòu)關(guān)系的主要特點(diǎn)是反映了材料（混凝土）應(yīng)變隨著應(yīng)力的增大而非線(xiàn)性地增長(zhǎng)的基本規(guī)律。同時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算又假設(shè)卸載時(shí)應(yīng)變沿加載線(xiàn)返回，全部卸載后不留殘余應(yīng)變，如圖，應(yīng)力與應(yīng)變有惟一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而材料又是彈性的。

應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的具體形狀和計(jì)算式，一般都根據(jù)混凝土的單軸和多軸應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)結(jié)果加以標(biāo)定，或者采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行回歸擬合。第七十三頁(yè)，共八十七頁(yè)。

非線(xiàn)（性）彈性本構(gòu)關(guān)系的顯而易見(jiàn)的優(yōu)點(diǎn)是：⑴突出了混凝土非線(xiàn)性變形的主要特點(diǎn)，計(jì)算式直接由試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，因而在一次單調(diào)比例加載情況下有較高的計(jì)算精度。⑵簡(jiǎn)化了卸載途徑，便于分析和減少計(jì)算量；⑶可利用線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系的已有分析和計(jì)算程序；⑷與其他（非彈性）類(lèi)本構(gòu)關(guān)系相比，其概念、形式和應(yīng)用都更簡(jiǎn)單；數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)明、直觀(guān)，易被工程師們接受和應(yīng)用，因而在至今的工程實(shí)踐中應(yīng)用最廣。第七十四頁(yè)，共八十七頁(yè)。其主要缺點(diǎn)是不能反映混凝土更復(fù)雜的性能，如卸載和加載曲線(xiàn)不重合，存在滯回環(huán)，卸載后留有殘余應(yīng)變，多次重復(fù)加卸載時(shí)的剛度退化，以及三方向應(yīng)力的不同施加途徑有不等的應(yīng)變值等。因此，非線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系不能適用于分析混凝土結(jié)構(gòu)的卸載、加卸載循環(huán)和非比例加載等復(fù)雜的受力過(guò)程。已有的混凝土多軸試驗(yàn)和理論研究的文獻(xiàn)中，提出了許多種非線(xiàn)彈性類(lèi)本構(gòu)模型，按照對(duì)材料各方向性能異同的考慮，也可分作各向同性的、正交異性的和各向異性的本構(gòu)模型。第七十五頁(yè)，共八十七頁(yè)。

各種本構(gòu)模型的理論概念、建立方法、數(shù)學(xué)表達(dá)形式和計(jì)算參數(shù)值等都有較大差別，給出的計(jì)算結(jié)果也不盡相同、甚至有較大出入。而且，各模型的適用范圍也有不同，有些模型可應(yīng)用于三軸應(yīng)力的任意拉壓組合，且可給出應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的上升段和下降段，另一些模型只限用于二軸應(yīng)力狀態(tài)，或受壓應(yīng)力狀態(tài)，或應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)的上升段。在結(jié)構(gòu)分析時(shí)，應(yīng)慎重地選擇合理的混凝土本構(gòu)模型，必要時(shí)進(jìn)行理論的或試驗(yàn)的驗(yàn)證。至今國(guó)內(nèi)外在混凝土結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性有限元分析中常用的非線(xiàn)彈性本構(gòu)模型有Ottosen模型和DarwinPecknold模型等，有些國(guó)際規(guī)范也明確建議采用這兩種模型。此二模型的主要計(jì)算原則簡(jiǎn)要介紹如下，詳細(xì)的計(jì)算公式、推導(dǎo)過(guò)程和參數(shù)值等請(qǐng)見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)。第七十六頁(yè)，共八十七頁(yè)。1、Ottosen模型

此本構(gòu)模型屬三軸的、各向同性的非線(xiàn)彈性類(lèi)模型。它以混凝土的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)得多軸應(yīng)力狀態(tài)下混凝土割線(xiàn)彈性模量如圖。計(jì)算公式如下：第七十七頁(yè)，共八十七頁(yè)。E0

—

混凝土單軸受壓的初始切線(xiàn)彈性模量；

Ef

—

混凝土達(dá)多軸強(qiáng)度時(shí)相應(yīng)的峰值割線(xiàn)模量（fc3

/εc3），由單軸受壓峰值割線(xiàn)模量（f3

/ε3），和三軸應(yīng)力狀態(tài)（σ1、σ2、fc3)進(jìn)行計(jì)算；

β—

非線(xiàn)性指數(shù)，取為混凝土當(dāng)前應(yīng)力（σ1、σ2、σ3）和按破壞準(zhǔn)則計(jì)算強(qiáng)度（fc1=σ1

、fc2=σ2

、fc3

）的比值：

顯然，當(dāng)混凝土開(kāi)始受力直至破壞，β值由0增大至1，其割線(xiàn)彈性模量由E0單調(diào)地減小、直至Ef

。第七十八頁(yè)，共八十七頁(yè)。

混凝土的割線(xiàn)泊松比按圖取值。式中ν0—

混凝土的初始泊松比，可取為0.16～0.20。可見(jiàn)泊松比值隨應(yīng)力（或β）的增大而單調(diào)地增長(zhǎng)。計(jì)算公式如下：Ottosen本構(gòu)模型給出的割線(xiàn)彈性模量Es和泊松比νs

，適用于全量式的非線(xiàn)性（有限元）分析。當(dāng)按照荷載步長(zhǎng)逐步地進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由當(dāng)前的混凝土主應(yīng)力（σ1、σ2、σ3）值確定非線(xiàn)性指數(shù)β，再由式（10）和式（12）計(jì)算Es和νs代入各向同性的線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系式(1)或式(3)，即可行結(jié)構(gòu)的有限元分析運(yùn)算。由于各荷載步的應(yīng)力水平（或β值）不等，Es和νs隨之變化，完成全部荷載步的分析后，可得結(jié)構(gòu)受力的非線(xiàn)性全過(guò)程?！?/p>