概率統(tǒng)計學-二維隨機變量及其分布

第三章

二維隨機變量及其分布在實際問題中,試驗結果有時需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述.例如用溫度和風力來描述天氣情況.通過對含碳、含硫、含磷量的測定來研究鋼的成分.要研究這些隨機變量之間的聯(lián)系,就需考慮若干個隨機變量,即多維隨機變量及其取值規(guī)律——多維分布.1§3.1二維隨機變量及其分布定義

設為隨機試驗的樣本空間，則稱二維向量(X,Y)為二維隨機變量或二維隨機向量二維隨機變量及其分布函數(shù)討論：二維隨機變量作為一個整體的概率特性其中每一個隨機變量的概率特性與整體的概率特性之間的關系2二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義設(X,Y)為二維隨機變量，對于任何一對實數(shù)(x,y),事件定義了一個二元實函數(shù)F(x,y)，稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，即(記為)的概率3分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(x,y)表示二維隨機變量(X,Y)的一組可能的取值，則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下圖所示的角形區(qū)域的概率xy(x,y)4聯(lián)合分布函數(shù)的性質xy(x,y)xy5xyxy-6固定x,對任意的y1<y2,F(x,y1)F(x,y2)固定y,對任意的x1<x2,F(x1,y)F(x2,y)F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事實上

F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)=P(a<X

b,c<Yd)abcd對每個變量單調不減對每個變量右連續(xù)對于任意的a<b,c<d7例1設討論F(x,y)能否成為二維隨機變量的分布函數(shù)？解xyx+y=1?(0,0)?(2,0)?(2,2)?(0,2)故F(x,y)不能作為二維隨機變量的分布函數(shù)8注意對于二維隨機變量xyac(a,c)(a,+)(+,+)(+,c)9聯(lián)合概率分布設(X,Y)的所有可能的取值為則稱為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律，也簡稱概率分布或分布律顯然，10定義若二維隨機變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.要描述二維離散型隨機變量的概率特性及其與每個隨機變量之間的關系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機變量及其概率特性11二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù)反之，已知分布函數(shù)也可以求出其聯(lián)合分布律12例3把三個（有區(qū)別的）球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限.記X為落入1號盒的球數(shù)，Y為落入2號盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律；

P(X=Y),P(Y>X)。解聯(lián)合分布律的求法：利用乘法公式常用列表的方法給出13(1)本例中，其聯(lián)合分布如下表所示14XYpij0123012300000015(2)由表可知16例4把3個紅球和3個白球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,記X為落入1號盒的白球數(shù),Y為落入1號盒的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布律.解見下表17XYpij0123012318二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率特性定義

設二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為

F(x,y),若存在非負可積函數(shù)f(x,y),

使得對于任意實數(shù)

x,y有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，

f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)簡稱為聯(lián)合密度或概率密度19聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質除了分布函數(shù)的一般性質外還有下述性質f(x,y)反映了(X,Y)在(x,y)附近單位面積的區(qū)域內(nèi)取值的概率對每個變元連續(xù)，在聯(lián)合密度的連續(xù)點處20P(X=a,-<Y<+

)=0P(-<X<+,Y=a)=0若G

是平面上的區(qū)域，則P(X=a,Y=b)=021例6設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k

為常數(shù).求常數(shù)k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);22y=x10xy解令D(1)23x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.524當0

x<

1,0y<

x時(下半三角形)，1(3)當x<0或y<0時，F(xiàn)(x,y)=0當0

x<

1,

x

y<1時(上半三角形)

，v=u10uv25當0

x<

1,

y1時，v=u10uv126當x

10y<1時，v=u10uv1當x

1y1時，27F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，28常見的連續(xù)型二維隨機變量的分布設區(qū)域G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A(>0)若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布區(qū)域G上的均勻分布，記作U(G)29G1G,設G1的面積為A1,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,則邊平行于坐標軸的矩形域上的均勻分布的邊緣分布仍為均勻分布30若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,12,2,22,的正態(tài)分布,記作(X,Y)~N(1,12；2,22；

)其中1,2>0,-1<<1二維正態(tài)分布3132令B

為正定矩陣，33則3435二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)可以求得邊緣分布函數(shù),逆不真.xyxxyy36例1

設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A,B,C

為常數(shù).確定A,B,C；

求X和Y的邊緣分布函數(shù)；求P(X>2)37解(1)(2)38(3)可以將二維隨機變量及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到n

維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)39定義若二維隨機變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.要描述二維離散型隨機變量的概率特性及其與每個隨機變量之間的關系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機變量的邊緣分布40聯(lián)合概率分布(聯(lián)合分布律)設(X,Y)的所有可能的取值為則顯然，二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)41二維離散型隨機變量的邊緣分布律已知聯(lián)合分布律可以求出邊緣分布律；已知邊緣分布律一般不能唯一地求出聯(lián)合分布律42例3把三個球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限.記X

為落入1號盒的球數(shù)，Y

為落入2號盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律；解常用列表的方法給出43XYpij01230123000000Pi?1p?j44例4把3個紅球和3個白球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,記X為落入1號盒的白球數(shù),Y為落入1號盒的紅球數(shù).求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.解見下表45XYpij01230123pi?1p?j46本例與前例有相同的邊緣分布，但它們的聯(lián)合分布卻不同.故聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布但邊緣分布卻不能唯一確定聯(lián)合分布47二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義

設(X,Y)為二維隨機變量，對于任何一對實數(shù)(x,y),事件定義了一個二元實函數(shù)F(x,y)，稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，即(記為)的概率48二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)可以求得邊緣分布函數(shù),逆不真.xyxxyy49定義若二維隨機變量(X,Y)的所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個,則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量.要描述二維離散型隨機變量的概率特性及其與每個隨機變量之間的關系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型隨機變量的邊緣分布50聯(lián)合概率分布(聯(lián)合分布律)設(X,Y)的所有可能的取值為則顯然，二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)51二維離散型隨機變量的邊緣分布律已知聯(lián)合分布律可以求出邊緣分布律；已知邊緣分布律一般不能唯一地求出聯(lián)合分布律52二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布定義

設二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為

F(x,y),若存在非負可積函數(shù)f(x,y),

使得對于任意實數(shù)

x,y有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，

f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)簡稱為聯(lián)合密度或概率密度53邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)與離散型隨機變量相同，已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.X的邊緣分布：X的邊緣密度：Y的邊緣分布：Y的邊緣密度：二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,12,2,22,

的正態(tài)分布,記作(X,Y)~N(1,12;2,22；

)

其中1,2>0,-1<<1正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布5455即即5657例

設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k

為常數(shù).求常數(shù)k;

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)前兩問上次課已經(jīng)講過：（1）k=8;y=x10xy58F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，(2)59(3)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,

1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=60F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0y<

x

，2x2y2–y4,

0

x<

1,

x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,

y1，y4,x

1,0y<1，1,x

1,y1，6162也可以直接由聯(lián)合密度求邊緣密度，再積分求邊緣分布函數(shù)。

v=u10uv1邊緣密度和邊緣分布的求解邊緣密度求解：

(1)利用聯(lián)合分布函數(shù)，求出邊緣分布函數(shù)，再求導。(2)對聯(lián)合密度積分。通常（2）更簡單。邊緣分布求解：64二維隨機變量的條件分布——將條件概率的概念推廣到隨機變量設已知二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布若則稱為在X=xi

的條件下，Y的條件分布律二維離散型隨機變量的條件分布律

65若則稱為在Y=yj

的條件下，X的條件分布律類似于乘法公式66類似于全概率公式67例（續(xù)）把三個球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限.記X為落入1號盒的球數(shù)，Y

為落入2號盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律；

P(X=i|Y=0

)與P(Y=j|X=2

);聯(lián)合分布律的求法：由乘法公式已計算過68由問題的意義可知

X012369

Y0170例

一射手進行獨立射擊,已知每次他擊中目標的概率為p(0<p<1),射擊一直進行到擊中兩次目標為止.令X

表示他首次擊中目標所進行射擊的次數(shù),Y

表示他總共進行射擊的次數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊緣分布律.解——第n次擊中目標，前

n–1次恰有一次擊中目標故聯(lián)合分布律為71邊緣分布律為72條件分布律為對每個n,對每個m,

二維連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)X和Y的邊緣分布函數(shù)分別記為FX

(x)，F(xiàn)Y

(y)；邊緣密度函數(shù)分別記為fX(x)，fY(y)

問題：首先尋找給定Y=y時，X的條件分布73xy-yyy設74xy-yy75定義若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，fY(y)在點y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱為Y=y

的條件下X

的條件分布函數(shù)，記作稱為Y=y

的條件下X

的條件概率密度函數(shù)，記作76類似地,若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，fX(x)在點x處連續(xù)且fX(x)>0,則稱為X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù)，記作稱為X=x

的條件下Y

的條件概率密度函數(shù)，記作77注意：對于每一fY(y)>0的y處，只要符合定義的條件，都能定義相應的函數(shù).是y的函數(shù),x

是常數(shù),對于每一fX(x)>0的x處，只要符合定義的條件，都能定義相應的函數(shù).是x的函數(shù),y

是常數(shù),

類似于乘法公式：78類似于全概率公式類似于Bayes公式79例設求解y=x1180y=x11當0<y<1時，y當0<x<1時，y=x11x81例

已知求82解y=x11當fX(x)>0時，即0<x<1時，當fX(x)=0時，f(x,y)=0故83x+y=11y=x10.5y=x110.584y=x110.5（注意：積分區(qū)域）85§3.5隨機變量的獨立性——將事件的獨立性推廣到隨機變量定義設(X,Y)為二維隨機變量，若對于任何則稱隨機變量X

和Y相互獨立

兩個隨機變量的相互獨立性實數(shù)

x,y都有86由定義可知二維隨機變量(X,Y)相互獨立87二維離散型隨機變量(X,Y)相互獨立即二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)相互獨立二維連續(xù)型隨機變量(