高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何單元測試 綜合素質(zhì)檢測

第三章綜合素質(zhì)檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．下列說法中不正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780914)()A．平面α的法向量垂直于與平面α共面的所有向量B．一個平面的所有法向量互相平行C．如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直D．如果a、b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量[答案]D[解析]只有當a、b不共線且a∥α，b∥α?xí)r，D才正確．2．(2023·浙江溫州高二檢測)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780915)()A．1 B．eq\f(1,5)\f(3,5) D．eq\f(7,5)[答案]D[解析]因為ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0?k＝eq\f(7,5).3．(2023·貴州貴陽高二檢測)若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，則z等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780916)()\r(22) B．－eq\r(22)C．±eq\r(22) D．±eq\r(42)[答案]C[解析]cos〈a，b〉＝coseq\f(π,3)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×1＋2×3＋0×z,\r(22＋22＋02)×\r(12＋32＋z2))＝eq\f(1,2)，∴z＝±eq\r(22).4．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780917)()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)[答案]D[解析]由題意可知a∥b，所以eq\f(2,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(5,y)，解得x＝6，y＝eq\f(15,2).5．(2023·山東煙臺高二檢測)已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780918)()A．30° B．60°C．45° D．90°[答案]B[解析]由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Aeq\o(C,\s\up6(→))〉＝eq\f(A\o(B,\s\up6(→))·A\o(C,\s\up6(→)),|A\o(B,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以Aeq\o(B,\s\up6(→))與Aeq\o(C,\s\up6(→))的夾角為60°.6．(2023·安徽合肥高二檢測)已知平面α的法向量為n＝(2，－2,4)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1,2)，點A不在α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780919)()A．AB⊥α B．AB?αC．AB與α相交不垂直 D．AB∥α[答案]D[解析]∵n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而點A不在α內(nèi)，故AB∥α.7．已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點E、F分別是AD、DC的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780920)()A．1 B．－1\r(3) D．－eq\r(3)[答案]B[解析]如圖所示，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·Beq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(C,\s\up6(→))·(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2cos60°＝－1，故選B.8．(2023·山東青島高二期中)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780921)()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．所以Eeq\o(F,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝2，所以cos〈Eeq\o(F,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2).所以EF和BC1所成的角為60°.9．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面對角線A1C1的中點，若eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780922)()A．x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2) D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)[答案]A[解析]eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).10．已知A(－1,1,2)、B(1,0，－1)，設(shè)D在直線AB上，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，設(shè)C(λ，eq\f(1,3)＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780923)()\f(11,6) B．－eq\f(11,6)\f(1,2) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]設(shè)D(x，y，z)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1，z－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－3)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1－x，－y，－1－z)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝21－x,y－1＝－2y,z－2＝－2－2z))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝\f(1,3),z＝0)).∴D(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)－λ，－λ，－1－λ)，∵eq\o(CD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\f(1,3)－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－eq\f(11,6).11．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E、F分別是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，則E、F兩點間的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780924)()A．1 B．eq\f(\r(5),2)\f(\r(6),2) D．eq\f(3,2)[答案]C[解析]以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(1,1，eq\r(2))、F(2,1，eq\f(\r(2),2))，所以|EF|＝eq\r(1－22＋1－12＋\r(2)－\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(6),2)，故選C.12．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780925)()\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)\f(1,3) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]如圖，以D為坐標原點，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)．從而eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1,1，－1)、eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,0)、eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(a，b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0,n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2b＝0,－a＋c＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＝c)).令a＝2，則n＝(2,1,2)．所以點E到平面ACD1的距離為h＝eq\f(|\o(D1E,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2＋1－2,3)＝eq\f(1,3).二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知A(1,2,0)、B(0,1，－1)，P是x軸上的動點，當eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取最小值時，點P的坐標為\x(導(dǎo)學(xué)號33780926)[答案](eq\f(1,2)，0,0)[解析]設(shè)P(x,0,0)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，－2,0)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x，－1,1)，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝x(x－1)＋2＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)，∴當x＝eq\f(1,2)時，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取最小值eq\f(7,4)，此時點P的坐標為(eq\f(1,2)，0,0)．14．已知正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1邊長為1，下底面ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為\x(導(dǎo)學(xué)號33780927)[答案]eq\f(1,4)[解析]設(shè)上、下底面中心分別為O1、O，則OO1⊥平面ABCD，以O(shè)為原點，直線BD、AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，設(shè)棱臺高為h，則tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1(－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，B1(eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(6),2))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，eq\f(\r(6),2))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)，－eq\f(\r(6),2))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4)，故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為eq\f(1,4).15．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，則直線PA與底面ABC所成角的大小為\x(導(dǎo)學(xué)號33780928)[答案]45°[解析]由條件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝eq\r(2)，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC邊中點E，則PE＝eq\f(\r(2),2)，AE＝eq\f(\r(2),2)，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E為BC中點，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE為直線PA與平面ABC所成角．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為\x(導(dǎo)學(xué)號33780929)[答案]eq\f(\r(10),2)[解析]如圖，過B、D分別向AC作垂線，垂足分別為M、N.則可求得AM＝eq\f(1,2)、BM＝eq\f(\r(3),2)、CN＝eq\f(1,2)、DN＝eq\f(\r(3),2)、MN＝1.由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝(eq\f(\r(3),2))2＋12＋(eq\f(\r(3),2))2＋2(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2).三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)在四棱錐P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up6(→)).eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780930)[解析]∵BG＝2GD，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝a＋c－2b，∴eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.18．(本小題滿分12分)(2023·黑龍江哈師大附中高二期中測試)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝eq\f(π,2)，D是棱AC的中點，且AB＝BC＝BB1＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780931)(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求異面直線AB1與BC1所成的角．[解析](1)如圖，連接B1C交BC1于點O，連接OD∵O為B1C的中點，D為AC的中點，∴OD∥AB1∵AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz.則B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)．∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0，－2,2)、eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋4,2\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(1,2)，∵θ∈(0，eq\f(π,2))，∴θ＝eq\f(π,3).19．(本小題滿分12分)如圖所示，在四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC＝CD＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780932)(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C－AB－D的大??；(3)若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．[解析]解法一：(1)∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C－AB－D的大小為45°.(3)過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH.∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°.在Rt△BHD中，BD＝eq\r(2)，∴BH＝eq\f(\r(2),2).又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1.解法二：(1)同解法一．(2)設(shè)AB＝a，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，則B(0,0,0)、A(0,0，a)、C(0,1,0)、D(1,1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1,1,0)、eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0，a)．平面ABC的法向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,0,0)，設(shè)平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則有eq\o(BD,\s\up6(→))·n＝x＋y＝0，eq\o(BA,\s\up6(→))·n＝az＝0，∴z＝0，取y＝1，則x＝－1，∴n＝(－1,1,0)．∴cos〈eq\o(CD,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(CD,\s\up6(→))·n,|\o(CD,\s\up6(→))||n|)＝－eq\f(\r(2),2)，由圖可知二面角C－AB－D為銳角，∴二面角C－AB－D的大小為45°.(3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,1，－a)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,0,0)、eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1,1,0)．設(shè)平面ACD的一個法向量是m＝(x′，y′，z′)，則eq\o(AC,\s\up6(→))·m＝y(tǒng)′－az′＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))·m＝x′＝0，令z′＝1，∴y′＝a，則m＝(0，a,1)．∵直線BD與平面ACD所成角為30°，∴cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，m〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))·m,|\o(BD,\s\up6(→))||m|)＝eq\f(a,\r(a2＋1)·\r(2))＝cos60°，解得a＝1，∴AB＝1.20．(本小題滿分12分)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分別為D1D、B1B上的點，且DE＝B1F＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780933)(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點E到平面ACF的距離．[解析](1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2，0,1)．∵eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)解：由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))為平面ACF的一個法向量，∴點E到平面ACF的距離d＝eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3).故點E到平面ACF的距離為eq\f(5,3).21．(本小題滿分12分)(2023·四川理，18)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780934)(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P－CD－A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．[解析](1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行．延長AB，DC，相交于點M(M∈平面PAB)，點M為所求的一個點．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形．從而CM∥EB.又EB?平面PBE，CM?平面PBE，所以CM∥平面PBE.(說明：延長AP至點N，使得AP＝PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)方法一由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.設(shè)BC＝1，則在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA與平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝eq\f(\r(2),2).在Rt△PAH中，PH＝eq\r(PA2＋AH2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以sin∠APH＝eq\f(AH,PH)＝eq\f(1,3).方法二由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角．所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設(shè)BC＝1，則在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.作Ay⊥AD，以A為原點，以eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，設(shè)平面PCE的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EC,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2z＝0，,x＋y＝0，))設(shè)x＝2，解得n＝(2，－2,1)．設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα＝eq\f(|n·\o(AP,\s\up6(→))|,|n|·|\o(AP,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2×\r(22＋－22＋12))＝eq\f(1,3).所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為eq\f(1,3).2