2021-2022學(xué)年湖南省郴州市芙蓉中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省郴州市芙蓉中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知x1是方程xlnx=2006的根，x2是方程xex=2006的根，則x1?x2等于（）A．2005 B．2006 C．2007 D．不能確定參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】方程的根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，也就是函數(shù)的零點(diǎn)，利用函數(shù)y=ex與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，推出函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解本題．【解答】解：由題意，x1是方程xlnx=2006的根，x2是方程xex=2006的根，所以x1是方程lnx=的根，x2是方程ex═的根，即x1是函數(shù)y=lnx與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x2是函數(shù)y=ex與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ex與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以x1等于函數(shù)y=ex與y=交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即：x1?x2=x1?=2006故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，反函數(shù)的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．2.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.

B.

C.

D.參考答案：C3.定義在（﹣1，1）上的函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f（x）＞0，若，，則P，Q，R的大小關(guān)系為（）A．R＞Q＞P B．R＞P＞Q C．P＞R＞Q D．Q＞P＞R參考答案：B【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能說(shuō)明，所以說(shuō)明，從而說(shuō)明函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上為減函數(shù)，再由已知等式把化為一個(gè)數(shù)的函數(shù)值，則三個(gè)數(shù)的大小即可比較．【解答】解：取x=y=0，則f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，設(shè)x＜y，則，所以所以f（x）＞f（y），所以函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上為減函數(shù)，由，得：取y=，，則x=，所以，因?yàn)?＜，所以所以R＞P＞Q．故選B．4.向面積為的內(nèi)任投一點(diǎn)，則的面積小于的概率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.已知集合A={1,3,5}，B={2,a,b}，若A∩B={1,3}，則a+b的值為

A．4 B．7 C．9 D．10參考答案：A6.樣本的平均數(shù)為,樣本的平均數(shù)為,則樣本的平均數(shù)為

(

)A.

B.

C.2

D.參考答案：B略7.等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,,若,則=（

）A

B

C

D

參考答案：B8.在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若，則角A等于

A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.右圖是求樣本，，，平均數(shù)的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容的（）．A． B． C． D．參考答案：A解：該程序的作用是求樣本，，平均數(shù)，∵“輸出”的前一步是“”，∴循環(huán)體的功能是累加個(gè)樣本的值，應(yīng)為．故選．10.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查，將840人從1到840進(jìn)行編號(hào)，求得間隔數(shù)k==20，即每20人抽取一個(gè)人，其中21號(hào)被抽到，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[421，720]的人數(shù)為（）A．12 B．13 C．14 D．15參考答案：D【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，那么從20人抽取1人．從而得出從編號(hào)421～720共300人中抽取的人數(shù)即可．【解答】解：使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人．∴從編號(hào)421～720共300人中抽取=15人．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若向量的夾角為150°，|=4，則|=．參考答案：2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：==﹣6．∴|===2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12.如果實(shí)數(shù)，則的最大值為_(kāi)__________.參考答案：6可以變?yōu)?，其中可以看作是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率最大，即.

13.已知=﹣1，則tanα=．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)表達(dá)式為正切函數(shù)的形式，然后求解即可．【解答】解：=﹣1，可得：，解得tanα=．故答案為：；14.已知數(shù)列{an}中，，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.參考答案：【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得，從而得到數(shù)列為等比數(shù)列；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑦f推關(guān)系式配湊成符合等比數(shù)列的形式，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果.15.O是面α上一定點(diǎn)，A，B，C是面α上△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對(duì)角．以下命題正確的是．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫(xiě)上） ①動(dòng)點(diǎn)P滿足=++，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中； ②動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0），則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中； ③動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0），則△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中； ④動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0），則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中． ⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0），則△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中． 參考答案：②③④⑤【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義． 【分析】由=++，得出++=，P是△ABC的重心，判斷①錯(cuò)誤； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），與∠BAC的平分線所在向量共線，判斷②正確； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=（+），判斷③正確； 由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=0，判斷④正確； 由=+λ（+）（λ＞0），得出E為BC的中點(diǎn)，且=λ（+），⊥，判斷⑤正確． 【解答】解：對(duì)于①，動(dòng)點(diǎn)P滿足=++，∴=+， ∴++=，∴P是△ABC的重心， ∴△ABC的外心不一定在P點(diǎn)的集合中，①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+）， 又向量+在∠BAC的平分線上，∴與∠BAC的平分線所在向量共線， ∴△ABC的內(nèi)心在滿足條件的P點(diǎn)集合中，②正確； 對(duì)于③，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+）； 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則||sinB=|sinC=AD， ∴=（+），向量+與BC邊的中線共線， 因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，③正確； 對(duì)于④，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0）， ∴=λ（+），∴=λ（+）=λ（||﹣||）=0， ∴⊥，∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，④正確； 對(duì)于⑤，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+）（λ＞0）， 設(shè)=，則E為BC的中點(diǎn)，則=λ（+）， 由④知（+）=0，得=0，∴⊥； ∴P點(diǎn)的軌跡為過(guò)E的BC的垂線，即BC的中垂線； ∴△ABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合，⑤正確． 故正確的命題是②③④⑤． 故答案為：②③④⑤． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了向量形式的三角形的外心、重心、內(nèi)心、垂心的性質(zhì)及其向量運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題． 16.已知α，β為銳角，若sinα=，cosβ=，則sin2α=，cos（α+β）=．參考答案：；﹣．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式、兩角和的余弦公式，求得sin2α、cos（α+β）的值．【解答】解：∵已知α，β為銳角，若sinα=，cosβ=，∴則cosα==，sinβ==，∴sin2α=2sinαcosα=2?=，cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinαsinβ=﹣=﹣，故答案為：；﹣．17.若，則的取值范圍是____________。參考答案：

解析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)與的圖象，可以觀察得出三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0，且它的對(duì)角線的交點(diǎn)是M（3，3），求這個(gè)平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．參考答案：考點(diǎn)： 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．專(zhuān)題： 直線與圓．分析： 求出x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0的交點(diǎn)（﹣1，2），點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于點(diǎn)（3，3）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（7，4）設(shè)與x+y﹣1=0平行的直線為x+y+c1=0，設(shè)與2x﹣y+4=0平行的直線為2x﹣y+c2=0，分別代入點(diǎn)（7，4），能求出平行四邊形的其余兩條直線方程．解答： 解：點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于點(diǎn)（3，3）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（7，4）設(shè)與x+y﹣1=0平行的直線為x+y+c1=0，則點(diǎn)（7，4）在此直線上，c1=﹣11設(shè)與2x﹣y+4=0平行的直線為2x﹣y+c2=0，則點(diǎn)（7，4）在此直線上，c2=﹣10故平行四邊形的其余兩條直線方程為x+y﹣11=0與2x﹣y﹣10=0．點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.已知直線：2mx－y－8m－3＝0和圓C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線與圓C總相交；（2）求直線被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線的方程．

參考答案：略20.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足,.（1）求角C的大小;（2）求△ABC面積的最大值.

參考答案： 解：（1）∵

由正弦定理得：

∴

………………2分

∴

∵

∴

…………………4分∴

……………………6分（2）由正弦定理得得，又，，……………8分△ABC面積，化簡(jiǎn)得：…………………10分當(dāng)時(shí)，有最大值，。

…………12分（另解：用基本不等式）

略21.設(shè)（為實(shí)常數(shù),且）．（1）

當(dāng)時(shí)，證明：不是奇函數(shù)；（2）設(shè)是奇函數(shù)，求與的值；（3）求（2）中函數(shù)的值域．參考答案：（1），，，所以，不是奇函數(shù)；

……………4分

（2）是奇函數(shù)時(shí)，，即對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，

化簡(jiǎn)整理得，這是關(guān)于的恒等式，所以所以或；

……………10分（3），因?yàn)?，所以，，?/p>