亥姆霍茲線圈仿真

題目：為了獲得一定區(qū)域上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可采用多組Helmholtz線圏結(jié)構(gòu)。一種兩對(duì)線囲的結(jié)構(gòu)如圖1所示。線圏半徑g亞、線囲間距力”力2,以及線圈中通過(guò)電流觸&可變化童，如圖13所示。為了定童衡量關(guān)注區(qū)域的磁場(chǎng)均壓程度，過(guò)軸線做截面凡旳辺，取"n).8X/LP和耳勺二().8XAo3＞在QP和線段上每邊均勻取20采樣點(diǎn)，從而形成如圖1(b)所示的采樣節(jié)點(diǎn)，定義2方向B的不均壓系數(shù)為：⑺線圈結(jié)構(gòu)示意圖⑺線圈結(jié)構(gòu)示意圖其中，R為所有采樣點(diǎn)的2方向磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值；B$)為第々個(gè)釆樣點(diǎn)的2方向磁感應(yīng)Z Z強(qiáng)度值。2為采樣點(diǎn)總數(shù)。定51參數(shù)：1)1=1、/%,b?= o問(wèn)題：如呆規(guī)定ii=-i2，問(wèn)b2.a,a?如何取值可以使得d最小，即關(guān)注區(qū)域黴場(chǎng)“最均勻”。(b)黴場(chǎng)采樣節(jié)點(diǎn)示意圖圖1?兩對(duì)線圈產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)示意圖仿真要求：寫(xiě)出給定起點(diǎn)、終點(diǎn)、場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)，編制空間中一栽流直線段在任意觀察點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)笄程序。寫(xiě)出單個(gè)囲環(huán)線圈空間任意點(diǎn)磁感應(yīng)賤度的計(jì)算程序，并進(jìn)行驗(yàn)證。復(fù)習(xí)Matlab中優(yōu)化工具箱的使用。

二、仿真與分析：、一載流直線段在任意觀察點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度理論分析：如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為AB中點(diǎn)，AB在n軸上，起A(0,0,-L/2),終點(diǎn)B(0,0,L/2)o根據(jù)書(shū)中例3-1的結(jié)論可知，對(duì)于通過(guò)電流I的直導(dǎo)線AB,任意觀察點(diǎn)P(x,y,z)到AB的距離為R,作觀察點(diǎn)P到AB的垂線交于點(diǎn)H,則P點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度E為又有B=—[sinzAPH-sinzBPH]c?4tcRsillzAPH=coszA又有B=—[sinzAPH-sinzBPH]c?4tcRsillzAPH=coszAsillzBPH=—cos乙BUol4irR[coszA+coszB]a^2、仿真分析:為了提高計(jì)算效率，這衛(wèi)編程用matlab計(jì)算時(shí)需用離散的方式來(lái)計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度：先計(jì)笄一小段直導(dǎo)線dl在觀測(cè)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為了提高計(jì)算效率，這衛(wèi)編程用matlab計(jì)算時(shí)需用離散的方式來(lái)計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度：先計(jì)笄一小段直導(dǎo)線dl在觀測(cè)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度d瓦再用蠱加的方法，求出整段載流直線段在觀測(cè)點(diǎn)處的磁場(chǎng)。如：要算一小段栽流導(dǎo)線麗在P處產(chǎn)生的踐場(chǎng)時(shí)，根■據(jù)畢奧-薩伐爾定律,Luldlxr這里，由于AB是一小段載流導(dǎo)線，可做一個(gè)近似運(yùn)算：T LloI(JzXBPLlnldzXAP心】/2(飛時(shí)+飛時(shí))圖「2由此，可得到整一段載流導(dǎo)線在觀測(cè)點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為:s=fs=fdB根據(jù)以上分析，得到計(jì)算一載流直線段的matlab程序如附表?，F(xiàn)臉證這種算法得到的結(jié)呆與理論分析得到之間的誤差：以圖1-1為例，假設(shè)HA=7,HB=3,HP=5,假設(shè)電流1=1AO則：(1)由理論推導(dǎo)得到的公式計(jì)算:4兀x10"74兀x10"7x1B= 4F75C52+72+V52+32)=2.6564584xIO-8而由matlab用益加的方法來(lái)計(jì)算吋，將AB分成每段長(zhǎng)度為0.001的小段來(lái)計(jì)算和疊加，笄得的結(jié)呆為：B二2.6564577。兩者相對(duì)謀差低達(dá)10一7級(jí)別，可見(jiàn)這種算法與理論分析得到的解析解幾乎相同，所以笄法合理。還可以做出這種方法下在一平面上電磁場(chǎng)的分布情況的圖像，如下圖1-3:圖1-3由圖可看出，B的方向與電流方向符合右手爍旋定則，箭頭的長(zhǎng)度代表磁感應(yīng)孫度的丸小，可以看到，越靠近栽流線處B越大。結(jié)果合理。（二）單個(gè)圓環(huán)線圈空間任意點(diǎn)離感應(yīng)強(qiáng)度:K理論推導(dǎo)：對(duì)于單囲環(huán)線圏所產(chǎn)生的磁場(chǎng)情況，由于此次仿真研究的問(wèn)題是在平行于圓環(huán)平面上的磁場(chǎng)不均勻程度，即如下圖2-1,對(duì)磁感應(yīng)孫度z軸分童比進(jìn)行不均壓度分析，則只需關(guān)注在xoy平面上點(diǎn)的B二，推導(dǎo)過(guò)程如下：建立直角坐標(biāo)系如上圖，以圓環(huán)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓環(huán)在XOY平柯上，則根據(jù)對(duì)稱性我們可以得到，取現(xiàn)察點(diǎn)P（%0衛(wèi)）有以下關(guān)系:

_Poldixr4兀嚴(yán)dl=(―Rsinoda,Rcosada,0)r=(a—Rcosa,_Rsina,z)T- 1 JkdixF=—RsinadaRcosada0a—Rcosa—Rsiiiaz得到:zcosaBx=zcosaBx=其中，r=vR2+a2+z2—2xRcosa2、仿真與分析：(2-1)小段電流元疊加法：根據(jù)(一)中得到的結(jié)果，可用分小段盎加的方法來(lái)求得一段栽流導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)情況，此處，所謂的小段電流元盎加法，就是采取這種方法，根據(jù)以直代曲的方法，以等邊多邊形來(lái)代替囲，這樣通過(guò)多邊形的各邊產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的疊加，即可得到圓形載流線圏在空間產(chǎn)生電磁場(chǎng)的情況。具體實(shí)現(xiàn)程序見(jiàn)附表。(2-2)梯形積分法求解：理論分析已經(jīng)得到了圓形栽流線圈在空間分布的計(jì)笄公式，可在matlab中用梯形積分的方法對(duì)該情況下的踐場(chǎng)的分布。具體編程見(jiàn)附表?！拘〗Y(jié)】以上所述兩種方法郴可得到單個(gè)圓形栽流線圏在空間的分布情況。以下探討這兩種方法的精度和運(yùn)算速度，以確定后面進(jìn)行多個(gè)線圏的踐場(chǎng)求解時(shí)求解方法的選擇。在線囲軸線上，線圏軸線上的磁場(chǎng)理論計(jì)算較為簡(jiǎn)便，故對(duì)軸線上的磁場(chǎng)情況進(jìn)■分析:假設(shè)線圈半徑R二2,線圏電流I二1A,用理論解析法和以上兩種數(shù)值方法計(jì)算線圈軸線上各點(diǎn)磁場(chǎng)的緒呆進(jìn)行歸納，如下表所示(數(shù)值方法1：即小段電流元盎加法，此處的計(jì)算將圓分為正100邊形進(jìn)冇?計(jì)笄；數(shù)值方法2：用梯形積分法進(jìn)冇■求解)：Z12345理論計(jì)笄結(jié)呆(10巧2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法1計(jì)笄結(jié)呆(iff)2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法2計(jì)笄結(jié)呆(icr7)2.246461.109990.535840.280810.16083可見(jiàn)，用數(shù)值方法2,即用梯形函數(shù)積分法進(jìn)行求解時(shí)，在小數(shù)點(diǎn)后5為都與理論計(jì)算相同，赭度非常商；而用數(shù)值方法1計(jì)笄時(shí)，由于采用100等邊形來(lái)近似圓，計(jì)算鉛果與理論結(jié)果也比較相近，但還是存在一定謀差，為了減小這種謀差，只要將圓分細(xì)一些，就能夠?qū)⑦@種誤差控制在妥求范囤之內(nèi)。但是，用一百等邊形來(lái)近似圓時(shí)，計(jì)笄時(shí)間已經(jīng)明顯比直接用積分函數(shù)求解的方法長(zhǎng)，若將圓再分得細(xì)一些，時(shí)間會(huì)進(jìn)一步增加。在到進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，必然多次調(diào)用此程序，那么計(jì)笄時(shí)間必然會(huì)成倍的增加。綜合考慮，后血的多線圈計(jì)笄和不均壓系數(shù)的計(jì)算直接采用使用梯形積分法來(lái)求解。最后，在進(jìn)行下一步分析與仿真之前，根據(jù)梯形積分法，做出單個(gè)圓形栽流線圈的電磁場(chǎng)沿z軸分布的情況，如下圖所示：從圖中可看出，在線圏軸線上，磁場(chǎng)賤度在線圏兩側(cè)對(duì)稱分布，在線圈處，磁場(chǎng)賤度最大，離線圈越遠(yuǎn)的地方踐場(chǎng)強(qiáng)度越小，符合現(xiàn)實(shí)情況。對(duì)不均勻系數(shù)的探討和仿真計(jì)算：由題目可知，若要減小不均壓系數(shù)，則應(yīng)使得各個(gè)觀察點(diǎn)的磁場(chǎng)感應(yīng)賤度均勻分布。從以上圖形和緒呆中我們可以看出，為了進(jìn)行深入的研究我們可以先從簡(jiǎn)單入手，對(duì)軸線上的磁感應(yīng)賤度進(jìn)冇?分析，由于軸線上的磁感應(yīng)賤度具有代表性，較為容易計(jì)算。所以，我們不妨先研究軸線上的磁感應(yīng)賤度分布。而之前已經(jīng)得到單個(gè)栽流圓形線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)的空間分布情況，對(duì)兩個(gè)線囲的情況，選用相同的方法，直接進(jìn)行盎加即可。

對(duì)兩個(gè)相距為2h“R=2,1=1A的兩個(gè)圓環(huán)線囲的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行分析。在直角坐標(biāo)系內(nèi)，以兩圓環(huán)圓心連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，XY平血與圓環(huán)所在平面平行，這樣的話血=黑仿真得到磁場(chǎng)隨町的變化情況即可得到磁場(chǎng)隨01的變化情況。仿真得町為不同值時(shí)軸線上B的分布如下：通過(guò)圖像可看出，兩個(gè)栽流線圏所產(chǎn)生磁場(chǎng)的分布情況相當(dāng)于單個(gè)栽流線圈所產(chǎn)生磁場(chǎng)情況的盎加，在軸線上，磁感應(yīng)賤度最大值在每個(gè)圓環(huán)中心附近，而兩圓環(huán)中心連線的中點(diǎn)處（即原點(diǎn)）的磁感應(yīng)強(qiáng)度要小于前者。因此，當(dāng)線囲半徑和電流大小不變，而單一改變線圏距離2町時(shí)，產(chǎn)生磁場(chǎng)在軸線上的分布隨2嘰的變化情況可看作兩個(gè)單畢曲線波峰的移動(dòng)。半徑不變時(shí)，圓環(huán)間距離越大，黴感應(yīng)強(qiáng)度最大值點(diǎn)越偏移原點(diǎn)，原點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)波谷；圓環(huán)間距離減小，磁感應(yīng)賤度最大值向原點(diǎn)移動(dòng)，兩個(gè)波畢重疊為一個(gè)波峰。而當(dāng)磁感應(yīng)孫度分布為兩個(gè)波舉和一個(gè)波谷時(shí),若增大圓環(huán)半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度分布將會(huì)變?yōu)橐粋€(gè)波彈，其效呆與減小圓環(huán)間距類(lèi)似，只是畢值變小，變化率變小，即分布更加分散。另外，通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，R/h不變時(shí)，磁感應(yīng)賤度的總趨勢(shì)犬致相同，如21,2h=l和R二2,2h二2的情況，以及R二1,2h二1.5和R=2,2h=3的情況。但是，在比例不變的情況下，逅變大，黴感應(yīng)賤度分布會(huì)向兩側(cè)延伸，波舉、波谷的賤度也會(huì)減弱。為了使線圏產(chǎn)生的磁場(chǎng)均勻，應(yīng)通過(guò)移動(dòng)波彈的位豈，使螯體的曲線更“均勻”一些。這一點(diǎn)結(jié)論，可應(yīng)用于之后的四個(gè)線囲的磁場(chǎng)情況。以下再來(lái)探討如何使四個(gè)線圏產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空問(wèn)中的分布更加均勻。四個(gè)線圈的情況與兩個(gè)線囲的情況相類(lèi)似，可將四個(gè)線圈看作兩對(duì)線圏，其磁場(chǎng)疊加的情況依舊可看作波畢移動(dòng)的情況。值得注意的是，這兩對(duì)線圈中的電流方向是相反的，所以產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向是相反的，所以相當(dāng)于把一對(duì)波第反倒過(guò)來(lái)，或者直接進(jìn)行相減。先固定兩組線圏對(duì)的半徑，通過(guò)調(diào)節(jié)線圏的距離hrh2,亦即調(diào)節(jié)題中的傷與02,來(lái)探討在傷與02大概在什么情況下線圏產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空間中的分布最均勻。固定兩組線圏的半徑分別為逅二0.9、坷二4,通過(guò)改變hPh2的值進(jìn)行嘗試，最后得到最均勻的情況如下：這時(shí),hj=2.5,h2=5o通過(guò)以上由試探法得到的仿真圖像可以看出，場(chǎng)孫分布在z軸上一定范國(guó)內(nèi)基本是均勻的，說(shuō)明調(diào)整參數(shù)得到均勻的磁場(chǎng)具有可行性。為了得到更精確的參敎值，我們以下對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行求解?，F(xiàn)用matlab工具箱對(duì)§進(jìn)行最優(yōu)化求解。優(yōu)化時(shí)，設(shè)定a,=l,I.=-I,=1,優(yōu)化變量01=血/色、p2=h2/a2.03=血/勿，考慮實(shí)際情況，設(shè)程變童下限為0,用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解，得到最優(yōu)結(jié)果為：01=0.373、02=9.532、角=0.1654。并根據(jù)傷、傷、03求得h1=0.373,a2=6.046,h2=57.63<>優(yōu)化得到的不均勻系數(shù)6=0.073。為了再進(jìn)一步驗(yàn)證此時(shí)的磁場(chǎng)相對(duì)而言是比較均勻的，做出xcy平面的磁場(chǎng)的情況，如下圖：可見(jiàn)，此時(shí)的腹場(chǎng)相對(duì)而言比較均勻。三、仿真結(jié)論:根據(jù)以上的討論分析與仿真的結(jié)果，對(duì)于本次仿真，可得出以下結(jié)論：當(dāng)b]=h"1=0.37,b2=h2/a2=9.532時(shí),a2/aj=6.046時(shí),不均勻系數(shù)6最小，為6=0.073。四、總結(jié)與反思：1、 此次仿真根據(jù)老師提供的方向，由淺到深，層層深入：先研究一根載流導(dǎo)線的問(wèn)題；再在一根載流導(dǎo)線的基桔上研究圓形栽流線圈的問(wèn)題；在研究圓形栽流線圈的問(wèn)題的時(shí)候，我們又先研究一個(gè)線圏的情況，再研究?jī)蓚€(gè)線囲的情況，最后再分析四個(gè)線圏的情況……可想而知，當(dāng)問(wèn)題再深入復(fù)雜一點(diǎn)的時(shí)候，比如研究多個(gè)線圏的情況的時(shí)候，我們也可以繼續(xù)深入研究了。這種研究方法能把一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，不只是這道題的解決方法，也是我們研究其他問(wèn)題、解決生活實(shí)際困難的一個(gè)重耍手段；2、 本次仿真試驗(yàn)基本原理較為簡(jiǎn)單，甚至很多公式祁可以直接從課本和課件中直接找到。而難點(diǎn)在于使用matlab對(duì)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。在編寫(xiě)過(guò)程中使用過(guò)多種不同的笄法，但是會(huì)遇到求解時(shí)問(wèn)過(guò)長(zhǎng)或是尋找不到全局最優(yōu)解等問(wèn)題，最終保留了鉛果較好的遺傳算法；另外，通過(guò)這次仿真也再次考驗(yàn)了我們查找文獻(xiàn)的能力。對(duì)于本次仿真的問(wèn)題，一些文獻(xiàn)中也有相似的研究，通過(guò)對(duì)這些文獻(xiàn)的閱讀，能夠給我們更好的啟發(fā)。并且，在查找文獻(xiàn)資料的過(guò)程中有發(fā)現(xiàn)一些更好的算法，但是較為復(fù)雜，由于時(shí)間關(guān)系并沒(méi)有深入學(xué)習(xí)，希望能在日后的課余時(shí)問(wèn)加深對(duì)用madab解決優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)習(xí)。3、 耳歸到本題的結(jié)果，為了得到不均勻度的最小值，我們最終得到的結(jié)果是%=1片/a]=0?373,b?= /a2=9.532時(shí)，a2/aj=6.046,從中可看出h2與趣相差了9倍，血與如相差了6倍；也就是說(shuō)，在a尸1時(shí)，為了得到0.8倉(cāng)02^倉(cāng)％“坷二0.48大小面積的均勻磁場(chǎng)，就需要兩個(gè)半徑為6,兩個(gè)半徑為1的線圏通電，線圈距離場(chǎng)點(diǎn)甚至達(dá)到了57.63,幾乎沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。所以在進(jìn)行實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)，要綜合考慮這個(gè)問(wèn)題，有時(shí)候，不一定需要得到最優(yōu)的不均勻度，在允許的范圉內(nèi)，可能需要降低對(duì)均勻度的要求，以尋求更優(yōu)的尺寸。程序附錄:

此函數(shù)求解電流元礙場(chǎng)，P,SI,S2分別為場(chǎng)點(diǎn),電流元超點(diǎn)終點(diǎn)functionB=current_element_B(P,Sl,S2)rl=P-Sl;r2=P-S2;r3=Sl-S2;B=le-7*(cross(rl?r3)/(norm(rl))A3+cross(r2,r3)/(norm(r2))A3)/2;end此函數(shù)用于求解載流直線歳場(chǎng)B=[0,0,0];P=[0,5,0],delta=O01;fori—7:delta:3-deltaB=current_element_B(P,[0,0,i],[0,0,i+delta])+B;endB此函數(shù)通過(guò)電流元法求解單一線圏發(fā)場(chǎng)，r、h、p分別為線圈半徑，扌居xoy平面距離，場(chǎng)點(diǎn)functionB=circle_l_B(r,h,p)N=100;alpha=0:2*pi/N:2*jpi;B=[0,0,0];forn=l:NpO(:,n)=[r*cos(alpha(n)),r*sin(alpha(n)),h],endfori=l:N-lB=current_element_B(p,pO(:,i)：pO(j+l)')+B,endBhciMTent—element—BCP'pO/aipOC’iP+B；end此函數(shù)通過(guò)梯形積分法求解單一線圈磁場(chǎng)，r、z、R分別為場(chǎng)點(diǎn)柱坐標(biāo)下r、z軸坐標(biāo)，線圈半徑functionBz=circle1_Bz(r,z,R)dBz=@(the