亥姆霍茲線圈仿真

題目：為了獲得一定區(qū)域上的勻強磁場，可采用多組Helmholtz線圏結(jié)構。一種兩對線囲的結(jié)構如圖1所示。線圏半徑g亞、線囲間距力”力2,以及線圈中通過電流觸&可變化童，如圖13所示。為了定童衡量關注區(qū)域的磁場均壓程度，過軸線做截面凡旳辺，取"n).8X/LP和耳勺二().8XAo3＞在QP和線段上每邊均勻取20采樣點，從而形成如圖1(b)所示的采樣節(jié)點，定義2方向B的不均壓系數(shù)為：⑺線圈結(jié)構示意圖⑺線圈結(jié)構示意圖其中，R為所有采樣點的2方向磁感應強度平均值；B$)為第々個釆樣點的2方向磁感應Z Z強度值。2為采樣點總數(shù)。定51參數(shù)：1)1=1、/%,b?= o問題：如呆規(guī)定ii=-i2，問b2.a,a?如何取值可以使得d最小，即關注區(qū)域黴場“最均勻”。(b)黴場采樣節(jié)點示意圖圖1?兩對線圈產(chǎn)生勻強磁場示意圖仿真要求：寫出給定起點、終點、場點坐標，編制空間中一栽流直線段在任意觀察點的磁感應強度計笄程序。寫出單個囲環(huán)線圈空間任意點磁感應賤度的計算程序，并進行驗證。復習Matlab中優(yōu)化工具箱的使用。

二、仿真與分析：、一載流直線段在任意觀察點的磁感應強度理論分析：如圖，在直角坐標系內(nèi)，設坐標原點為AB中點，AB在n軸上，起A(0,0,-L/2),終點B(0,0,L/2)o根據(jù)書中例3-1的結(jié)論可知，對于通過電流I的直導線AB,任意觀察點P(x,y,z)到AB的距離為R,作觀察點P到AB的垂線交于點H,則P點處產(chǎn)生的磁感應強度E為又有B=—[sinzAPH-sinzBPH]c?4tcRsillzAPH=coszA又有B=—[sinzAPH-sinzBPH]c?4tcRsillzAPH=coszAsillzBPH=—cos乙BUol4irR[coszA+coszB]a^2、仿真分析:為了提高計算效率，這衛(wèi)編程用matlab計算時需用離散的方式來計算磁感應強度：先計笄一小段直導線dl在觀測點處產(chǎn)生的磁場強度為了提高計算效率，這衛(wèi)編程用matlab計算時需用離散的方式來計算磁感應強度：先計笄一小段直導線dl在觀測點處產(chǎn)生的磁場強度d瓦再用蠱加的方法，求出整段載流直線段在觀測點處的磁場。如：要算一小段栽流導線麗在P處產(chǎn)生的踐場時，根■據(jù)畢奧-薩伐爾定律,Luldlxr這里，由于AB是一小段載流導線，可做一個近似運算：T LloI(JzXBPLlnldzXAP心】/2(飛時+飛時)圖「2由此，可得到整一段載流導線在觀測點P處產(chǎn)生的磁場為:s=fs=fdB根據(jù)以上分析，得到計算一載流直線段的matlab程序如附表?，F(xiàn)臉證這種算法得到的結(jié)呆與理論分析得到之間的誤差：以圖1-1為例，假設HA=7,HB=3,HP=5,假設電流1=1AO則：(1)由理論推導得到的公式計算:4兀x10"74兀x10"7x1B= 4F75C52+72+V52+32)=2.6564584xIO-8而由matlab用益加的方法來計算吋，將AB分成每段長度為0.001的小段來計算和疊加，笄得的結(jié)呆為：B二2.6564577。兩者相對謀差低達10一7級別，可見這種算法與理論分析得到的解析解幾乎相同，所以笄法合理。還可以做出這種方法下在一平面上電磁場的分布情況的圖像，如下圖1-3:圖1-3由圖可看出，B的方向與電流方向符合右手爍旋定則，箭頭的長度代表磁感應孫度的丸小，可以看到，越靠近栽流線處B越大。結(jié)果合理。（二）單個圓環(huán)線圈空間任意點離感應強度:K理論推導：對于單囲環(huán)線圏所產(chǎn)生的磁場情況，由于此次仿真研究的問題是在平行于圓環(huán)平面上的磁場不均勻程度，即如下圖2-1,對磁感應孫度z軸分童比進行不均壓度分析，則只需關注在xoy平面上點的B二，推導過程如下：建立直角坐標系如上圖，以圓環(huán)圓心為坐標原點，圓環(huán)在XOY平柯上，則根據(jù)對稱性我們可以得到，取現(xiàn)察點P（%0衛(wèi)）有以下關系:

_Poldixr4兀嚴dl=(―Rsinoda,Rcosada,0)r=(a—Rcosa,_Rsina,z)T- 1 JkdixF=—RsinadaRcosada0a—Rcosa—Rsiiiaz得到:zcosaBx=zcosaBx=其中，r=vR2+a2+z2—2xRcosa2、仿真與分析：(2-1)小段電流元疊加法：根據(jù)(一)中得到的結(jié)果，可用分小段盎加的方法來求得一段栽流導線在空間產(chǎn)生的電磁場情況，此處，所謂的小段電流元盎加法，就是采取這種方法，根據(jù)以直代曲的方法，以等邊多邊形來代替囲，這樣通過多邊形的各邊產(chǎn)生的電磁場的疊加，即可得到圓形載流線圏在空間產(chǎn)生電磁場的情況。具體實現(xiàn)程序見附表。(2-2)梯形積分法求解：理論分析已經(jīng)得到了圓形栽流線圈在空間分布的計笄公式，可在matlab中用梯形積分的方法對該情況下的踐場的分布。具體編程見附表。【小結(jié)】以上所述兩種方法郴可得到單個圓形栽流線圏在空間的分布情況。以下探討這兩種方法的精度和運算速度，以確定后面進行多個線圏的踐場求解時求解方法的選擇。在線囲軸線上，線圏軸線上的磁場理論計算較為簡便，故對軸線上的磁場情況進■分析:假設線圈半徑R二2,線圏電流I二1A,用理論解析法和以上兩種數(shù)值方法計算線圈軸線上各點磁場的緒呆進行歸納，如下表所示(數(shù)值方法1：即小段電流元盎加法，此處的計算將圓分為正100邊形進冇?計笄；數(shù)值方法2：用梯形積分法進冇■求解)：Z12345理論計笄結(jié)呆(10巧2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法1計笄結(jié)呆(iff)2.247941.110720.536200.280990.16093數(shù)值方法2計笄結(jié)呆(icr7)2.246461.109990.535840.280810.16083可見，用數(shù)值方法2,即用梯形函數(shù)積分法進行求解時，在小數(shù)點后5為都與理論計算相同，赭度非常商；而用數(shù)值方法1計笄時，由于采用100等邊形來近似圓，計算鉛果與理論結(jié)果也比較相近，但還是存在一定謀差，為了減小這種謀差，只要將圓分細一些，就能夠?qū)⑦@種誤差控制在妥求范囤之內(nèi)。但是，用一百等邊形來近似圓時，計笄時間已經(jīng)明顯比直接用積分函數(shù)求解的方法長，若將圓再分得細一些，時間會進一步增加。在到進行優(yōu)化求解時，必然多次調(diào)用此程序，那么計笄時間必然會成倍的增加。綜合考慮，后血的多線圈計笄和不均壓系數(shù)的計算直接采用使用梯形積分法來求解。最后，在進行下一步分析與仿真之前，根據(jù)梯形積分法，做出單個圓形栽流線圈的電磁場沿z軸分布的情況，如下圖所示：從圖中可看出，在線圏軸線上，磁場賤度在線圏兩側(cè)對稱分布，在線圈處，磁場賤度最大，離線圈越遠的地方踐場強度越小，符合現(xiàn)實情況。對不均勻系數(shù)的探討和仿真計算：由題目可知，若要減小不均壓系數(shù)，則應使得各個觀察點的磁場感應賤度均勻分布。從以上圖形和緒呆中我們可以看出，為了進行深入的研究我們可以先從簡單入手，對軸線上的磁感應賤度進冇?分析，由于軸線上的磁感應賤度具有代表性，較為容易計算。所以，我們不妨先研究軸線上的磁感應賤度分布。而之前已經(jīng)得到單個栽流圓形線圈產(chǎn)生的磁場的空間分布情況，對兩個線囲的情況，選用相同的方法，直接進行盎加即可。

對兩個相距為2h“R=2,1=1A的兩個圓環(huán)線囲的磁感應強度進行分析。在直角坐標系內(nèi)，以兩圓環(huán)圓心連線中點為坐標原點，XY平血與圓環(huán)所在平面平行，這樣的話血=黑仿真得到磁場隨町的變化情況即可得到磁場隨01的變化情況。仿真得町為不同值時軸線上B的分布如下：通過圖像可看出，兩個栽流線圏所產(chǎn)生磁場的分布情況相當于單個栽流線圈所產(chǎn)生磁場情況的盎加，在軸線上，磁感應賤度最大值在每個圓環(huán)中心附近，而兩圓環(huán)中心連線的中點處（即原點）的磁感應強度要小于前者。因此，當線囲半徑和電流大小不變，而單一改變線圏距離2町時，產(chǎn)生磁場在軸線上的分布隨2嘰的變化情況可看作兩個單畢曲線波峰的移動。半徑不變時，圓環(huán)間距離越大，黴感應強度最大值點越偏移原點，原點處會產(chǎn)生一個波谷；圓環(huán)間距離減小，磁感應賤度最大值向原點移動，兩個波畢重疊為一個波峰。而當磁感應孫度分布為兩個波舉和一個波谷時,若增大圓環(huán)半徑，磁感應強度分布將會變?yōu)橐粋€波彈，其效呆與減小圓環(huán)間距類似，只是畢值變小，變化率變小，即分布更加分散。另外，通過仿真發(fā)現(xiàn)，R/h不變時，磁感應賤度的總趨勢犬致相同，如21,2h=l和R二2,2h二2的情況，以及R二1,2h二1.5和R=2,2h=3的情況。但是，在比例不變的情況下，逅變大，黴感應賤度分布會向兩側(cè)延伸，波舉、波谷的賤度也會減弱。為了使線圏產(chǎn)生的磁場均勻，應通過移動波彈的位豈，使螯體的曲線更“均勻”一些。這一點結(jié)論，可應用于之后的四個線囲的磁場情況。以下再來探討如何使四個線圏產(chǎn)生的磁場在空問中的分布更加均勻。四個線圈的情況與兩個線囲的情況相類似，可將四個線圈看作兩對線圏，其磁場疊加的情況依舊可看作波畢移動的情況。值得注意的是，這兩對線圈中的電流方向是相反的，所以產(chǎn)生的磁場方向是相反的，所以相當于把一對波第反倒過來，或者直接進行相減。先固定兩組線圏對的半徑，通過調(diào)節(jié)線圏的距離hrh2,亦即調(diào)節(jié)題中的傷與02,來探討在傷與02大概在什么情況下線圏產(chǎn)生的磁場在空間中的分布最均勻。固定兩組線圏的半徑分別為逅二0.9、坷二4,通過改變hPh2的值進行嘗試，最后得到最均勻的情況如下：這時,hj=2.5,h2=5o通過以上由試探法得到的仿真圖像可以看出，場孫分布在z軸上一定范國內(nèi)基本是均勻的，說明調(diào)整參數(shù)得到均勻的磁場具有可行性。為了得到更精確的參敎值，我們以下對最優(yōu)解進行求解?，F(xiàn)用matlab工具箱對§進行最優(yōu)化求解。優(yōu)化時，設定a,=l,I.=-I,=1,優(yōu)化變量01=血/色、p2=h2/a2.03=血/勿，考慮實際情況，設程變童下限為0,用遺傳算法進行優(yōu)化求解，得到最優(yōu)結(jié)果為：01=0.373、02=9.532、角=0.1654。并根據(jù)傷、傷、03求得h1=0.373,a2=6.046,h2=57.63<>優(yōu)化得到的不均勻系數(shù)6=0.073。為了再進一步驗證此時的磁場相對而言是比較均勻的，做出xcy平面的磁場的情況，如下圖：可見，此時的腹場相對而言比較均勻。三、仿真結(jié)論:根據(jù)以上的討論分析與仿真的結(jié)果，對于本次仿真，可得出以下結(jié)論：當b]=h"1=0.37,b2=h2/a2=9.532時,a2/aj=6.046時,不均勻系數(shù)6最小，為6=0.073。四、總結(jié)與反思：1、 此次仿真根據(jù)老師提供的方向，由淺到深，層層深入：先研究一根載流導線的問題；再在一根載流導線的基桔上研究圓形栽流線圈的問題；在研究圓形栽流線圈的問題的時候，我們又先研究一個線圏的情況，再研究兩個線囲的情況，最后再分析四個線圏的情況……可想而知，當問題再深入復雜一點的時候，比如研究多個線圏的情況的時候，我們也可以繼續(xù)深入研究了。這種研究方法能把一個比較復雜的問題簡單化，不只是這道題的解決方法，也是我們研究其他問題、解決生活實際困難的一個重耍手段；2、 本次仿真試驗基本原理較為簡單，甚至很多公式祁可以直接從課本和課件中直接找到。而難點在于使用matlab對問題進行優(yōu)化。在編寫過程中使用過多種不同的笄法，但是會遇到求解時問過長或是尋找不到全局最優(yōu)解等問題，最終保留了鉛果較好的遺傳算法；另外，通過這次仿真也再次考驗了我們查找文獻的能力。對于本次仿真的問題，一些文獻中也有相似的研究，通過對這些文獻的閱讀，能夠給我們更好的啟發(fā)。并且，在查找文獻資料的過程中有發(fā)現(xiàn)一些更好的算法，但是較為復雜，由于時間關系并沒有深入學習，希望能在日后的課余時問加深對用madab解決優(yōu)化問題的學習。3、 耳歸到本題的結(jié)果，為了得到不均勻度的最小值，我們最終得到的結(jié)果是%=1片/a]=0?373,b?= /a2=9.532時，a2/aj=6.046,從中可看出h2與趣相差了9倍，血與如相差了6倍；也就是說，在a尸1時，為了得到0.8倉02^倉％“坷二0.48大小面積的均勻磁場，就需要兩個半徑為6,兩個半徑為1的線圏通電，線圈距離場點甚至達到了57.63,幾乎沒有實用價值。所以在進行實際工程設計時，要綜合考慮這個問題，有時候，不一定需要得到最優(yōu)的不均勻度，在允許的范圉內(nèi)，可能需要降低對均勻度的要求，以尋求更優(yōu)的尺寸。程序附錄:

此函數(shù)求解電流元礙場，P,SI,S2分別為場點,電流元超點終點functionB=current_element_B(P,Sl,S2)rl=P-Sl;r2=P-S2;r3=Sl-S2;B=le-7*(cross(rl?r3)/(norm(rl))A3+cross(r2,r3)/(norm(r2))A3)/2;end此函數(shù)用于求解載流直線歳場B=[0,0,0];P=[0,5,0],delta=O01;fori—7:delta:3-deltaB=current_element_B(P,[0,0,i],[0,0,i+delta])+B;endB此函數(shù)通過電流元法求解單一線圏發(fā)場，r、h、p分別為線圈半徑，扌居xoy平面距離，場點functionB=circle_l_B(r,h,p)N=100;alpha=0:2*pi/N:2*jpi;B=[0,0,0];forn=l:NpO(:,n)=[r*cos(alpha(n)),r*sin(alpha(n)),h],endfori=l:N-lB=current_element_B(p,pO(:,i)：pO(j+l)')+B,endBhciMTent—element—BCP'pO/aipOC’iP+B；end此函數(shù)通過梯形積分法求解單一線圈磁場，r、z、R分別為場點柱坐標下r、z軸坐標，線圈半徑functionBz=circle1_Bz(r,z,R)dBz=@(the