2022江西省九江市三汊港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022江西省九江市三汊港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因?yàn)椋?，則，則，故選C.

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則｜z｜＝

A.1B.C.D.2參考答案：B

【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算L1解析：復(fù)數(shù)z====1+i，則|z|=．故選B．【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計算公式即可得出．3.已知圓C：x2+y2=1，點(diǎn)P為直線+=1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（4﹣2m，m），由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)镻是直線+=1的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（4﹣2m，m），因?yàn)閳Ax2+y2=1的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標(biāo)是（2﹣m，），且半徑的平方是r2=，所以圓C的方程是（x﹣2+m）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m﹣4）x﹣my+1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m﹣4）x﹣my+1=0，即m（2x﹣y）+（﹣4x+1）=0，由得x=，y=所以直線AB恒過定點(diǎn)（，），故選B．4.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為A.2 B.4 C. D..參考答案：【知識點(diǎn)】拋物線及其幾何性質(zhì)H7【答案解析】D拋物線y2=16x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）；雙曲線=1的一條漸近線方程為x-y=0，

∴拋物線y2=16x的焦點(diǎn)到雙曲線=1的一條漸近線的距離為=2，故選：D．【思路點(diǎn)撥】確定拋物線的焦點(diǎn)位置，進(jìn)而可確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；求出雙曲線漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．5.如圖是一名籃球運(yùn)動員在最近6場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列關(guān)于該運(yùn)動員所得分?jǐn)?shù)的說法錯誤的是（）A．中位數(shù)為14 B．眾數(shù)為13 C．平均數(shù)為15 D．方差為19參考答案：D【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差即可．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=14，A正確；眾數(shù)是13，B正確；平均數(shù)是=×（8+13+13+15+20+21）=15，C正確；平方差是s2=×[（8﹣15）2+（13﹣15）2×2+（15﹣15）2+（20﹣15）2+（21﹣15）2]≈19.7，D錯誤．故選：D．6.四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B7.已知正四棱錐的正弦值等于（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A8.下列命題中的假命題是

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B略9.已知集合,，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B10.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1+x2=2a時，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．研究函數(shù)f（x）=x3+sinx+1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=(

) A．0 B．2014 C．4028 D．4031參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論解答： 解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故選：D．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的對稱中心，利用倒序相加x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，點(diǎn)D是劣弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的切線交弦CD的延長線于點(diǎn)E．若∠BAC=80°，則∠BED=

．參考答案：60°【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圓的圓周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理，計算即可得到所求值．【解答】解：由BE為圓的切線，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中點(diǎn)，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案為：60°．12.隨機(jī)向邊長為5，5，6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是____．參考答案：【知識點(diǎn)】概率

K1

解析：分別以三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，則在三角形的內(nèi)部且在三圓外部的區(qū)域即為與三角形三個頂點(diǎn)距離不小于1的部分，即【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何關(guān)系先求出各部分的面積，再寫出公式.13.在計算“1×2+2×3+…+n(n+1)”時，有如下方法：先改寫第k項：，由此得：，，…，，相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝.類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其結(jié)果寫成關(guān)于n的一次因式的積的形式為：

．參考答案：14.對任意兩個非零的平面向量，，定義和之間的新運(yùn)算⊙：．已知非零的平面向量滿足：和都在集合中，且．設(shè)與的夾角，則=．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】新定義；對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】令==，==．則cos2θ=，根據(jù)θ的范圍和||＞||得出k1，k2的值，計算出和sinθ．【解答】解：====，====．∴（）?（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．：=．∴=×=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和對新定義的應(yīng)用，根據(jù)所給條件找出k1，k2的值是解題關(guān)鍵．15.設(shè)函數(shù)f(x)=lgx，則它的反函數(shù)=

。參考答案：y=10x,x?R16.在ABC中，，D是AB邊上的一點(diǎn)，，△CBD的面積為1，則AC邊的長為_______.參考答案：略17.數(shù)列為等比數(shù)列，且

.參考答案：16三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）………4分,，故CM⊥SN……6分（Ⅱ）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則……9分；………12分所以SN與片面CMN所成角為45°?！?3分19.（本小題滿分12分）

某市組織高一全體學(xué)生參加計算機(jī)操作比賽，等級分為1至10分，隨機(jī)調(diào)閱了A、B兩所學(xué)校各60名學(xué)生的成績，得到樣本數(shù)據(jù)如下：（Ⅰ）計算兩校樣本數(shù)據(jù)的均值和方差，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.(Ⅱ)從A校樣本數(shù)據(jù)成績分別為7分、8分和9分的學(xué)生中按分層抽樣方法抽取6人，若從抽取的6人中任選2人參加更高一級的比賽，求這2人成績之和大于或等于15的概率。參考答案：（Ⅰ）從A校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知：成績分別為4分、5分、6分、7分、8分、9分的學(xué)生分別有：6人、15人、21人、12人、3人、3人.

（1分）

A校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?，?分）A校樣本的方差為

（3分）從B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計表可知：B校樣本的平均成績?yōu)椋ǚ郑?分）B校樣本的方差為

（5分）因?yàn)樗詢尚W(xué)生的計算機(jī)成績平均分相同；又因?yàn)椋訟校的學(xué)生的計算機(jī)成績比較穩(wěn)定，總體得分情況比B校好.

（6分）(Ⅱ)依題意，A校成績?yōu)?分的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為：人，設(shè)為；成績?yōu)?分的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為：人，設(shè)為；

成績?yōu)?分的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)為：人，設(shè)為；

（7分）所以，所有基本事件有：共15個，

（9分）其中，滿足條件的基本事件有：共9個，

（11分）所以從抽取的6人中任選2人參加更高一級的比賽，這2人成績之和大于或等于15的概率為。

（12分）20.（12分）（2011?廣東三模）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

【專題】計算題．【分析】（1）通過|﹣|=．求出向量的模，化簡即可求出cos（α﹣β）的值；（2）通過0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求出cosβ的值，sin（α﹣β）的值，利用sinα=sin（α﹣β+β），然后求sinα的值．【解答】解：（1）因?yàn)橄蛄?（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===，所以2﹣2cos（α﹣β）=，所以cos（α﹣β）=；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，所以0＜α﹣β＜π，因?yàn)閏os（α﹣β）=，所以sin（α﹣β）=且sinβ=﹣，cosβ=，所以，sinα=sin（α﹣β+β）=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查三角函數(shù)的恒等變換以及化簡求值，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，注意角的變換的技巧α=α﹣β+β，是簡化解題過程的依據(jù)，注意角的范圍的確定，是解題的關(guān)鍵，同時注意：3，4，5；5，12，13．這些特殊數(shù)字組成的直角三角形的三角函數(shù)值的應(yīng)用．21.已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)的圖像有交點(diǎn)，求a的取值范圍.參考答案：（1）不等式可化為，當(dāng)時，不等式化為，解得，故；當(dāng)時，不等式化為成立，故；當(dāng)時，不等式化為，解得，故，綜上得若，不等式解集為（2）因?yàn)椋?要使函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖像有交點(diǎn)，需，故a的取值范圍是.22.已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實(shí)數(shù)x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證：+≥．參考答案：【考點(diǎn)】基本