高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用（省一等獎(jiǎng)）

二分法求方程的近似解一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解（2）了解二分法的產(chǎn)生過(guò)程，掌握二分法求方程近似解得過(guò)程和方法。（3）通過(guò)對(duì)二分法的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)算法思想在解決問(wèn)題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用。2．基礎(chǔ)預(yù)探1、一般地，我們把稱為區(qū)間的中點(diǎn)。2、所謂二分法，就是對(duì)于在區(qū)間上且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個(gè)斷點(diǎn)逐步逼近，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法。3、給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：（1）確定，驗(yàn)證，給定；（2）求區(qū)間；（3）計(jì)算；①若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）③若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)（2）~（4）。4、求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值時(shí)，所要求的不同，得到的結(jié)果也不相同，精確度，是指在計(jì)算過(guò)程中得到某個(gè)區(qū)間后，若，即認(rèn)為達(dá)到所要求的精確度，否則應(yīng)繼續(xù)計(jì)算，直到為止。二、基本知識(shí)習(xí)題化1.若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上（）.A.至少有一個(gè)零點(diǎn)B.只有一個(gè)零點(diǎn)C.沒(méi)有零點(diǎn)D.至多有一個(gè)零點(diǎn)2.下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（）.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）.A.B.C.D.4.用二分法求方程在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實(shí)根，由計(jì)算器可算得，，，那么下一個(gè)有根區(qū)間為.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1、變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)的概念（1）變號(hào)零點(diǎn)：如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，如果函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)軸，則稱這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)。（2）不變號(hào)零點(diǎn)：如果曲線上存在一點(diǎn)，使，但沒(méi)有穿過(guò)軸，則稱這樣的零點(diǎn)為不變號(hào)零點(diǎn)。2、判斷一個(gè)函數(shù)在給定的區(qū)間的零點(diǎn)如果函數(shù)在給定區(qū)間上是連續(xù)不間斷的且在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值滿足那么該函數(shù)在給定區(qū)間上至少存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)。若，是否就不存在變號(hào)零點(diǎn)呢？例如：在上，，但是與都是函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)。3、二分法的基本思想如果將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值，為了方便，通過(guò)“取中點(diǎn)”，不斷地把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值。4、二分法求零點(diǎn)近似值的步驟已知函數(shù)在定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)的近似值，使它滿足給定的精確度，步驟如下：第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中。第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為。計(jì)算和判斷：（1）如果，則就是函數(shù)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；（2）如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，令；（3）如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，令；第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為。計(jì)算和判斷：（1）如果，則就是函數(shù)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；（2）如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，令；（3）如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，令；……繼續(xù)上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止，這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度。四、典例導(dǎo)析1、利用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)例1、求方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，精確到。思路導(dǎo)析：考察函數(shù)，從一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間開(kāi)始，應(yīng)用二分法逐步縮小方程實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間。解析：經(jīng)試算，，，∴函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有解。取的中點(diǎn)1，經(jīng)計(jì)算，，又，∴方程在內(nèi)有解。如此下去，得到方程的實(shí)數(shù)解所在區(qū)間如下表所示，至此可以看出，在區(qū)間內(nèi)所有值，若精確到，都是，故是方程精確到的實(shí)數(shù)解。左端點(diǎn)右端點(diǎn)第1次02第2次01第3次1第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次第11次規(guī)律總結(jié)：二分法求方程實(shí)數(shù)解的思想是非常簡(jiǎn)明的，但是為了提高解的精確度，用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程又是比較長(zhǎng)的，有些計(jì)算不用工具甚至無(wú)法實(shí)施，這就需要借助科學(xué)計(jì)算器等。變式練習(xí)1、求方程在區(qū)間［2，3］內(nèi)的近似解（精確到）.2．二分法的應(yīng)用例2、在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一點(diǎn)要爬一次電線桿子，長(zhǎng)，大約有200多根電線桿子呢！想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？分析：可用二分法原理進(jìn)行查找。解析：如圖所示，他首先從中點(diǎn)查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)，若發(fā)現(xiàn)段正常，斷定故障在段；再到段的中點(diǎn)，這時(shí)發(fā)現(xiàn)段正常，可見(jiàn)故障在段；再到中點(diǎn)來(lái)查。這樣每查一次，就可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，故經(jīng)過(guò)7次查找，即可將故障發(fā)生的范圍縮小到之間，即一兩根電線桿附近。閘門(mén)閘門(mén)指揮部待查規(guī)律總結(jié)：這種檢查線路故障的方法，就是二分法的應(yīng)用，二分法不僅可以查找電線線路、水管、氣管故障，還能用于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢等。變式練習(xí)2、函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A、B、C、D、或五、隨堂練習(xí)1、下面關(guān)于二分法的敘述,正確的是A.用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B.用二分法求方程的近似解時(shí),可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位C.二分法無(wú)規(guī)律可循,無(wú)法在計(jì)算機(jī)上完成D.只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法2、下列圖象與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是

3、函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A、B、C、D、或4、用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算，可得其中一個(gè)零點(diǎn)，第二次應(yīng)計(jì)算。以上橫線應(yīng)填的內(nèi)容為：5、已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表：x123456y123．5621．45-7．8211．45-53．76-128．88則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1，6］上的零點(diǎn)至少有6、用二分法求方程在區(qū)間的一個(gè)實(shí)數(shù)（精確到）.六、課后作業(yè)1、定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線,已知函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),且,用二分法求時(shí),當(dāng)時(shí),則函數(shù)的零點(diǎn)是A.外的點(diǎn)

B.C.區(qū)間或內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù)

D.或2、若方程在內(nèi)恰有一解，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.3、已知函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,判斷下列結(jié)論,正確的是______.①若,則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

②若,則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)可能有零點(diǎn)③若在內(nèi)有零點(diǎn),必有④若,則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)

⑤若,則函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)4、當(dāng)?shù)姆秶鸀闀r(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根且在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)根.5、作出函數(shù)與的圖象，并寫(xiě)出方程的近似解.（精確到）.6、求函數(shù)的一個(gè)為正數(shù)的零點(diǎn)（精確到）.分析：由于要求的是函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，因此可以考慮首先確定一個(gè)包含正數(shù)的閉區(qū)間，而，所以可取區(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間.二分法求方程的近似解答案解析一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探1、2、單調(diào)，連續(xù)，，，中點(diǎn)3、（略）4、精確度，區(qū)間左右斷點(diǎn)精確到e索取的近似值相同，達(dá)到精確度二、基本知識(shí)習(xí)題化1.解析：根據(jù)二分法，可知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)。2.解析：由二分法求零點(diǎn)的方法，所以B圖不能用二分法求近似解。3.解析：由，，即，故選B。4.解析：根據(jù)二分法的規(guī)則，下一個(gè)有根區(qū)間為，即。四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1、解：設(shè)f（x）=x+-3，則f（2）＝－＜0，f（3）＝＞0，取區(qū)間（2，3）的中點(diǎn)，求得f（）=＜0，∴f（）f（3）＜0，∴x0∈（，3）；取區(qū)間（，3）的中點(diǎn)x2=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x3=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x4=，求得f（）≈＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x5=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x6=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x7=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取區(qū)間（，）的中點(diǎn)x8=，求得f（）≈>0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）.此時(shí)區(qū)間（，）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到的近似值都是，∴方程x+-3=0在區(qū)間［2，3］內(nèi)精確到的近似解為.2、分析：判斷函數(shù)在某一區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，只需要即可，故本題只要解不等式，故答案：D.五、隨堂練習(xí)1、解析：二分法只能求解變號(hào)零點(diǎn)問(wèn)題，故A不正確；二分法是一種算法問(wèn)題，可利用計(jì)算機(jī)操作，故C不正確；二分法可解決一些實(shí)際問(wèn)題，故D不正確；由二分法的可知，B是正確的。2、解析：二分法只能解決變號(hào)零點(diǎn)問(wèn)題，故A不能使用二分法。3、分析：判斷函數(shù)在某一區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，只需要即可，故本題只要解不等式，故答案：D.4、答案：解析：在二分法中應(yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證。5、答案：3個(gè)解析：根據(jù)二分法，可知，所以應(yīng)該至少有三個(gè)零點(diǎn)。6、解析：設(shè)，∵，∴在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，取為初始運(yùn)算區(qū)間，用二分法計(jì)算列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）坐標(biāo)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)取值區(qū)間∵∴所求根的近似值為六、課后作業(yè)1、解析：由可知，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，又得。2、解析：由題意，設(shè)，得，解得，故選B3、答案：②⑤解析：根據(jù)二分法解決零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，只有②⑤是正確的。4、解析：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的概念及二分法得，設(shè)，∴，即，解得.5、解析