河南省焦作市博愛(ài)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

河南省焦作市博愛(ài)第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=2i，則z= （ ）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i參考答案：A2.函數(shù)的圖像可能是

(

) A

B

C

D參考答案：A略3.在公比為2的等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，且S7－2S6＝1，則a1＋a5＝A.5

B.9

C.17

D.33參考答案：C4.命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是A.任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

參考答案：B根據(jù)特稱(chēng)命題的否定，需先將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)”.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查特稱(chēng)命題的否定.求解特稱(chēng)命題或全稱(chēng)命題的否定，千萬(wàn)別忽視了改變量詞；另外，要注意一些量詞的否定的書(shū)寫(xiě)方法，如：“都是”的否定為“不都是”，別弄成“都不是.5.已知函數(shù)，若成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知奇函數(shù)在時(shí)的圖象如圖所示,則不等式的解集為(

)

A.(1,2)

B.(－2,－1)

C.(－2,－1)∪(1,2)

D.(－1,1)參考答案：C7.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么A∩?UB=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}參考答案：A【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，計(jì)算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴?UB={2，3，5，6}；∴A∩?UB={3，5}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則（

）A.i B.－i C.1 D.－1參考答案：B【分析】利用已知求得，再利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算計(jì)算即可得解?！驹斀狻浚瑥?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，還考查了復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知，則的值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A＝＝二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，則不等式f（x）＞x的解集為

．參考答案：（﹣5，0）∪（5，+∞）

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出當(dāng)x＜0的解析式，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，則﹣x＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，∴當(dāng)﹣x＞0時(shí)，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），則f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式f（x）＞x等價(jià)為x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此時(shí)x＞5，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（x）＞x等價(jià)為﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，當(dāng)x=0時(shí)，不等式f（x）＞x等價(jià)為0＞0不成立，綜上，不等式的解為x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集為（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案為：（﹣5，0）∪（5，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的解集的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．12.已知曲線與曲線：，則曲線恒過(guò)定點(diǎn)

；若曲線與曲線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：，.試題分析：由題意得，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故過(guò)定點(diǎn)，顯然直線與圓有公共點(diǎn)，，∴問(wèn)題等價(jià)于直線與圓相交，且不過(guò)點(diǎn)，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故填：，.考點(diǎn)：1.直線方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.13.

設(shè)α，β為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若|α－β|=2，且為實(shí)數(shù)，則|α|=

．

參考答案：2解：設(shè)α=x+yi，(x，y∈R)，則|α－β|=2|y|．∴y=±．

設(shè)argα=θ，則可取θ+2θ=2π，(因?yàn)橹灰髚α|，故不必寫(xiě)出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2．14.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）．這個(gè)幾何體的表面積為

cm2．

參考答案：15.如右圖,設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，，則A、D兩點(diǎn)間的球面距離

。參考答案：因?yàn)锳B、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，所以球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，，所以A、D兩點(diǎn)間的球面距離為.16.下列命題正確是，（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）①若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱(chēng)；②若a∈（0，1），則a1+a＜a；③函數(shù)f（x）=ln是奇函數(shù)；④存在唯一的實(shí)數(shù)a使f（x）=lg（ax+）為奇函數(shù)．參考答案：①③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱(chēng)；②，若a∈（0，1），1+a＜1+則a1+a＞a；③，函數(shù)f（x）=ln滿足f（x）+f（﹣x）=0，且定義域?yàn)椋ī?，1），f（x）是奇函數(shù)；④，f（x）=lg（ax+）為奇函數(shù)時(shí)（ax+）（ax+）=1?a=±1．【解答】解：對(duì)于①，若奇函數(shù)f（x）的周期為4，則f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱(chēng)，故正確；對(duì)于②，若a∈（0，1），1+a＜1+則a1+a＞a，故錯(cuò)；對(duì)于③，函數(shù)f（x）=ln滿足f（x）+f（﹣x）=0，且定義域?yàn)椋ī?，1），f（x）是奇函數(shù)，正確；對(duì)于④，f（x）=lg（ax+）為奇函數(shù)時(shí)，（ax+）（ax+）=1?a=±1，故錯(cuò)．故答案為：①③17.《九章算術(shù)》中研究盈不足問(wèn)題時(shí)，有一道題是“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？”題意即為“有厚墻五尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，問(wèn)幾天后兩鼠相遇？”贛州古城墻某處厚33尺，兩碩鼠按上述方式打洞，相遇時(shí)是第____天．（用整數(shù)作答）參考答案：6由題意得

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足。數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和。（I）求；d和；（II）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解：（I）在中，令得解得

……3分（II）（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。

，等號(hào)在n=2時(shí)取得。

此時(shí)需滿足<25.

……8分（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立.是隨n的增大而增大，取得最小值－6.此時(shí)需滿足<－21.

…………………10分綜合（1）（2）可得<－21的取值范圍是.

…………………1219.(本小題滿分12分)已知在如圖的多面體中，⊥底面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面．

參考答案：證明：（1）∵，∴．

………………1分又∵,是的中點(diǎn)，∴，

………………2分∴四邊形是平行四邊形，∴．

………………4分

∵平面，平面，∴平面．

………5分（2）連結(jié)，四邊形是矩形，∵，⊥底面，∴平面，平面，∴．…………8分∵，∴四邊形為菱形，∴，

…11分又平面，平面，∴平面．

…12分

略20.設(shè)函數(shù).（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使；（2）定義數(shù)列對(duì)（1）中的，求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;參考答案：(1)解：有令由所以有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；

………………5分（2）(數(shù)學(xué)歸納法)證：.證明:①;②假設(shè)由遞減性得：

即又所以時(shí)命題成立

所以對(duì)成立.…………10分21.（本小題滿分10分）選修4－４：已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角。（1）寫(xiě)出直線的參數(shù)方程；(4分)（2）設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)、，求點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之積（6分）參考答案：解：（1）直線的參數(shù)方程為，……………5（2）因?yàn)锳、B都在直線上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為則，。以直線的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到

①因?yàn)槭欠匠挞俚慕?，從而…………?所以，……………10

略22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E