高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章統(tǒng)計(jì)案例單元測試 章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①回歸分析②獨(dú)立性檢驗(yàn)③相關(guān)系數(shù)④相互獨(dú)立事件,回歸分析分析兩個(gè)變量線性相關(guān)的常用方法：(1)散點(diǎn)圖法，該法主要是用來直觀地分析兩變量間是否存在相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個(gè)變量間相互聯(lián)系的密切程度，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)年齡和身高之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系？(2)如果年齡(3周歲～16周歲之間)相差5歲，其身高有多大差異？(3)如果身高相差20cm，其年齡相差多少？【精彩點(diǎn)撥】本例考查對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析．首先求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小判斷其是否線性相關(guān)，由此展開運(yùn)算．【規(guī)范解答】(1)設(shè)年齡為x，身高為y，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,14)(3＋4＋…＋15＋16)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,14)＋＋…＋＋≈7，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1491，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝252，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi＝18，14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))≈17，∴eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(x))2＝，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－14(eq\x\to(y))2≈9，eq\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14eq\a\vs4\al(\x\to(x))eq\a\vs4\al(\x\to(y))＝1，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－14\x\to(y)2))＝eq\f(1,\r×\r(9)≈7.因此，年齡和身高之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．(2)由(1)得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))xiyi－14\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(14),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－14\x\to(x)2)＝eq\f(1,≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝7－×≈72，∴x與y的線性回歸方程為y＝＋72.因此，如果年齡相差5歲，那么身高相差×5＝(cm)．(3)如果身高相差20cm，年齡相差eq\f(20,≈≈3(歲)．[再練一題]1．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，提到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)x(元)89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)【解】(1)由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝80＋20×＝250，從而回歸直線方程為y＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(33,4)))2＋.當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，l取得最大值．故當(dāng)單價(jià)定為元時(shí)，工廠可獲得最大利潤．,條件概率1．條件概率公式揭示了條件概率P(A|B)與事件概率P(B)、P(AB)三者之間的關(guān)系．下列兩種情況可利用條件概率公式：一種情況是已知P(B)和P(AB)時(shí)去求出P(A|B)；另一種情況是已知P(B)和P(A|B)時(shí)去求出P(AB)．對于后一種情況，為了方便也常將條件概率公式改寫為如下的乘法公式：若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)P(B|A)．2．乘法公式與條件概率公式實(shí)際上是一個(gè)公式，要求P(AB)時(shí)，必須知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)時(shí)，必須知道積事件AB的概率P(AB)，在解決實(shí)際問題時(shí)，不要把求P(AB)的問題誤認(rèn)為是求P(A|B)的問題．盒子里裝有16個(gè)球，其中6個(gè)是玻璃球，10個(gè)是木質(zhì)球，玻璃球中有2個(gè)是紅球，4個(gè)是藍(lán)球；木質(zhì)球中有3個(gè)是紅球，7個(gè)是藍(lán)球．現(xiàn)從中任取一個(gè)(假設(shè)每個(gè)球被取到是等可能的)是藍(lán)球，問該球是玻璃球的概率是多少？【精彩點(diǎn)撥】要注意B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的概率與A，B同時(shí)發(fā)生的概率的區(qū)別．【規(guī)范解答】設(shè)事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是藍(lán)球”．由題中數(shù)據(jù)可列表如下：紅球藍(lán)球總計(jì)玻璃球246木質(zhì)球3710總計(jì)51116由表知，P(B)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，故所求事件的概率為P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(4,16),\f(11,16))＝eq\f(4,11).[再練一題]2．有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)為成功．求試驗(yàn)成功的概率．【解】設(shè)A＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球}．B＝{從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，C＝{從第二個(gè)盒子中取一個(gè)紅球}，D＝{從第三個(gè)盒子中取一個(gè)紅球}，則容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，則P(C)＝eq\f(1,2)，P(D)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).顯然，事件A∩C與事件B∩D互斥，且事件A與C是相互獨(dú)立的，所以試驗(yàn)成功的概率為P＝P(A∩C)＋P(B∩D)＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝eq\f(59,100)，所以本次試驗(yàn)成功的概率為eq\f(59,100).獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟為：(1)找相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表．(2)求統(tǒng)計(jì)量χ2.(3)判斷可能性，注意與臨界值做比較，得出事件有關(guān)的可信度．考察黃煙經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：在試驗(yàn)的470株黃煙中，經(jīng)過藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花病；未經(jīng)過藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花?。囃茢嘟?jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病是否有關(guān)系．【精彩點(diǎn)撥】提出假設(shè)，根據(jù)2×2列聯(lián)表求出χ2，從而進(jìn)行判斷．【規(guī)范解答】由已知得到下表：藥物處理未經(jīng)過藥物處理總計(jì)青花病25185210無青花病60200260總計(jì)85385470假設(shè)經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病無關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝eq\f(470×25×200－185×602,210×260×85×385)≈.因?yàn)棣?＞，所以我們有%的把握認(rèn)為經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的．[再練一題]3．某學(xué)校高三年級有學(xué)生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為A類同學(xué))，另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為B類同學(xué))．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級的學(xué)生中共抽查100名同學(xué)，如果以身高達(dá)165cm作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的100名學(xué)生，得到以下列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)2×2列聯(lián)表：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計(jì)100(1)完成上表；(2)請問體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)是否有關(guān)系？(χ2值精確到參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).【解】(1)身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計(jì)5050100(2)根據(jù)列聯(lián)表得χ2＝eq\f(100×40×15－35×102,75×25×50×50)≈＜，所以沒有充分的理由說明體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系．1．已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【解析】根據(jù)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義進(jìn)行判斷．若線性回歸方程的斜率為正，則兩個(gè)變量正相關(guān)，若斜率為負(fù)，則負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥＝－＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b>0，則z＝by＋a＝－＋b＋a，故x與z負(fù)相關(guān)．【答案】C2．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)支出y(萬元)根據(jù)上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴a＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，y＝×15＋＝(萬元)．【答案】B3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為y＝bx＋a，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖像可知，回歸直線y＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B4．圖1-1是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．圖1-1注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2023～2023.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，回歸方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\a\vs4\al(\x\to(t)).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以