湖南省婁底市漣源石陶鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

湖南省婁底市漣源石陶鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是球的球面上的兩點(diǎn)，為球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐的體積最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.參考答案：A設(shè)球的半徑為R，當(dāng)平面時(shí)三棱錐的體積最大，，球的表面積為，選A.2.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個(gè)半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖可確定幾何體為一個(gè)底面半徑為的半圓柱中間挖去一個(gè)底面半徑為的半圓柱；依次計(jì)算出上下底面面積、大圓柱和小圓柱側(cè)面積的一半以及軸截面的兩個(gè)矩形的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為一個(gè)底面半徑為的半圓柱中間挖去一個(gè)底面半徑為的半圓柱幾何體表面積：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體，從而明確表面積的具體構(gòu)成情況.3.圓：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的點(diǎn)到直線x﹣y=2的距離最大值是(

)A．2 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先將圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明確圓心和半徑，再求得圓心（1，1）到直線x﹣y=2的距離，最大值則在此基礎(chǔ)上加上半徑長(zhǎng)即可．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圓心為（1，1），半徑為1圓心（1，1）到直線x﹣y=2的距離，則所求距離最大為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)考查圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，基本思路是：先求出圓心到直線的距離，最大值時(shí)，再加上半徑，最小值時(shí)，再減去半徑．4.與函數(shù)y＝|x|為同一函數(shù)的是(

)參考答案：B略5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為l，若l也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足（）A. B.C. D.參考答案：D函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，切線方程為，設(shè)切線與相切的切點(diǎn)為，，即有的導(dǎo)數(shù)為，可得，切線方程為，令，可得，由，可得，且，解得，由，可得，令，，在時(shí)單調(diào)遞增，且，，所以有的根，故選D.6.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若sinA=，b=sinB，則a等于（）A．3 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理的式子，將題中數(shù)據(jù)直接代入，即可解出a長(zhǎng)，得到本題答案．【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，∴根據(jù)正弦定理，得解之得a=故選：D7.己知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)（5，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為（9，），則E的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，再根據(jù)F（5，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為（9，），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．【解答】解：由題意，不妨設(shè)雙曲線的方程為E：﹣=1（a＞0，b＞0），∵F（5，0）是E的焦點(diǎn)，∴c=5，∴a2+b2=25．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則有：x1+x2=18，y1+y2=9，A，B代入相減可得AB的斜率，∵AB的斜率是=∴=，即16b2=9a2將16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是=1．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率．8.設(shè)點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，又點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C9.已知為正實(shí)數(shù)，且（

）A,

B

C

D參考答案：C10.已知圓C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，從點(diǎn)P（﹣1，﹣3）發(fā)出的光線，經(jīng)x軸反射后恰好經(jīng)過圓心C，則入射光線的斜率為（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】根據(jù)反射定理可得圓心C（2，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（2，1）在入射光線上，再由點(diǎn)P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，利用斜率公式求得入射光線的斜率．【解答】解：根據(jù)反射定律，圓心C（2，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（2，1）在入射光線上，再由點(diǎn)P（﹣1，﹣3）也在入射光線上，可得入射光線的斜率為=，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點(diǎn)M，N分別是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則|MN|的最小值是

。參考答案：112.已知-3+2i是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0的一個(gè)根，（p、q∈R），則p+q=________;參考答案：3813.已知，則

參考答案：14.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為和的矩形，則圓柱的體積為

參考答案：或15.某校老年教師90人、中年教師180人和青年教師160人，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則該樣本的老年教師人數(shù)為．參考答案：18【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為90：160=9：16，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為90：160=9：16，設(shè)老年教師為x人則，解得x=18所以老年教師有18人，故答案為：18．16.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________；參考答案：略17.若關(guān)于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1），則實(shí)數(shù)m=．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的兩根．根據(jù)韋達(dá)定理便可分別求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的兩根由韋達(dá)定理得：，解得：m=，a=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，底面為正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，D為線段B1C1中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)E所在位置，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）連接AB1，交A1B于點(diǎn)F，連接DF，由DF∥AC1，能證明AC1∥平面A1BD．（Ⅱ）存在點(diǎn)E，為CC1中點(diǎn)，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1．證法1：推導(dǎo)出EF⊥A1B，EF⊥AB1，從而EF⊥平面A1ABB1，由此能證明平面A1BE⊥平面A1ABB1．證法2：取AB中點(diǎn)G，連接EF，CG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形CEFG為平行四邊形，從而CG∥EF，進(jìn)而CG⊥平面A1ABB1，由此能證明平面A1BE⊥平面A1ABB1．【解答】證明：（Ⅰ）連接AB1，交A1B于點(diǎn)F，連接DF，△AB1C1中，D，F(xiàn)分別為A1B，B1C1中點(diǎn)，所以DF∥AC1．…因?yàn)镈F?平面A1BD，AC1?平面A1BD，所以AC1∥平面A1BD．…解：（Ⅱ）存在點(diǎn)E，為CC1中點(diǎn)，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1…證明如下：方法1：△A1BE中，因?yàn)锳1E=BE，且F為A1B中點(diǎn)，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．…因?yàn)锳1B∩AB1=F，A1B，AB1?平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…方法2：取AB中點(diǎn)G，連接EF，CG，F(xiàn)G．因?yàn)镕G∥AA1，且，CE∥AA1，且，所以FG∥CE，且FG=CE，所以，四邊形CEFG為平行四邊形，所以CG∥EF…因?yàn)锳A1⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以CG⊥AA1．又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以，CG⊥平面A1ABB1…因?yàn)镃G∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查滿足面面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.某校高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽考試后，對(duì)90分以上(含90分)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人．（Ⅰ）求90～140分之間的人數(shù)；（Ⅱ）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)M及平均數(shù)N；（III）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中共選出兩人，形成幫扶學(xué)習(xí)小組．若選出的兩人成績(jī)之差大于20，則稱這兩人為“黃金搭檔組”，試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率．參考答案：解：（1）設(shè)90～140分之間的人數(shù)是n，由130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2，可知0.005×10×n＝2，得n＝40...……3分(2)眾數(shù)M＝115...……5分平均數(shù)N＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113....……8分(3)依題意，第一組共有40×0.01×10＝4人，記作A1、A2、A3、A4；第五組共有2人，記作B1、B2，從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}、{A1，B1}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}、{A4，B1}、{A4，B2}、{A1，B2}、{B1，B2}．設(shè)事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”．若兩人成績(jī)之差大于20，則兩人分別來(lái)自于第一組和第五組，共有8種選法，故P(A)＝....……14分

略20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，、分別是、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.

參考答案：(2)略21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若，，求m的取值范圍.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，若，；若，.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，若，；若，.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）∵，∴由（2）知.設(shè)，，∵，∴.∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，故的取值范圍為.22.（1）點(diǎn)P是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線4x+3y=12的最大距離；（2）已知