湖南省衡陽市祁東縣太和堂中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

湖南省衡陽市祁東縣太和堂中學2021-2022學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設向量，均為單位向量，且|+|=1，則與夾角為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；單位向量．【專題】計算題．【分析】設與的夾角為θ，將已知等式平方，結(jié)合向量模的含義和單位向量長度為1，化簡整理可得?=﹣，再結(jié)合向量數(shù)量積的定義和夾角的范圍，可得夾角θ的值．【解答】解：設與的夾角為θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2?+2=1…（*）∵向量、均為單位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2?+1=1=1，所以?=﹣根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得||?||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，結(jié)合θ∈[0，π]，得θ=故選C【點評】本題已知兩個單位向量和的長度等于1，求它們的夾角，考查了得數(shù)量積的定義、單位向量概念和向量的夾角公式等知識，屬于基礎題．2.設a=dx，則二項式（x2﹣）5的展開式中x的系數(shù)為（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80參考答案：D【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】先求出定積分a的值，再利用二項展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于1，求出r的值，即可計算結(jié)果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展開式的通項公式為：Tr+1=?x2（5﹣r）?=?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展開式中含x項的系數(shù)為?（﹣2）3=﹣80．故選：D．3.已知函數(shù)，若f(x))在R上既有最大值又有最小值，且最大值與最小值的和為4，則3b-2a=Ａ．

6

Ｂ．4

Ｃ．5

Ｄ．3

參考答案：A4.雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個焦點與拋物線y2=20x的焦點重合，且拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離為4，則雙曲線的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：C略5.函數(shù)滿足，則的所有可能值為（

）A．

B．

C．1

D．參考答案：D

考點：1.分段函數(shù)的表示與求值；2.余弦函數(shù)的性質(zhì).6.已知=(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.命題“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a＜3 B．a(chǎn)＜0或a≥3 C．a(chǎn)＜0或a＞3 D．a(chǎn)≤0或a≥3參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】命題“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命題，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，分類討論即可．【解答】解：命題“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命題，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，當a=0時，不符合題意；當a＜0時，符合題意；當a＞0時，△=4a2﹣12a≥0?a≥3，綜上：實數(shù)a的取值范圍是：a＜0或a≥3．故選：B【點評】本題考查了命題的真假的應用，轉(zhuǎn)化是關鍵，屬于基礎題．8.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]參考答案：C【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用．【分析】利用積化和差公式化簡2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上單調(diào)遞減，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立關系可求ω的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．化簡可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx=sinωx，由+，（k∈Z）上單調(diào)遞減，得：+，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[，]，（k∈Z）．∵在（π，）上單調(diào)遞減，可得：∵ω＞0，ω≤1．故選C．【點評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．9.設a，b是兩個非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥bB.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數(shù)λ，使得b=λaD.若存在實數(shù)λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|參考答案：C

利用排除法可得選項C是正確的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，則a，b共線，即存在實數(shù)λ，使得a＝λb．如選項A：|a＋b|＝|a|－|b|時，a，b可為異向的共線向量；選項B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項D：若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，a，b可為同向的共線向量，此時顯然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．10.四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則PA的長為（）A.3 B.2 C.1 D.參考答案：C【分析】連接AC、BD交于點E，取PC的中點O，連接OE,可得O為球心，由該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，可得PA的值.【詳解】解：連接AC、BD交于點E，取PC的中點O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點的距離相等，即O為球心，設球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【點睛】本題主要考查空間幾何體外接球的相關知識及球的體積公式，得出球心的位置是解題的關鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的導函數(shù)為，若對于定義域內(nèi)任意，，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù)，給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為恒均變函數(shù)的序號是__________．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）參考答案：①②解：①，，．符合要求．②，，．符合要求．③，，．不符合要求．④，．不符合要求．綜上所述，符合要求有①②．12.已知數(shù)列的前項和（），則的值是__________．參考答案：1513.一個幾何體的三視圖及其尺寸如下圖所示，其中正（主）視圖是直角三角形，側(cè)（左）視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個幾何體的體積是

cm3。參考答案：14.平面向量的夾角為，，則____________．參考答案：略15.已知、是實系數(shù)一元二次方程的兩虛根，，且，則的取值范圍為

______

（用區(qū)間表示）。參考答案：16.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入，，則輸出的數(shù)S＝_______．參考答案：略17.．雙曲線的漸近線方程為______；離心率為______．參考答案：，；

由雙曲線的標準方程可知，，所以，。所以雙曲線的漸近線方程為，離心率。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在極坐標系中，曲線C的方程為，以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．（1）求曲線C的參數(shù)方程；（2）在直角坐標系中，點M（x，y）是曲線C上一動點，求x+y的最大值，并求此時點M的直角坐標．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）先求出C的直角坐標方程，再求曲線C的參數(shù)方程；（2）利用C的參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)知識，求x+y的最大值，并求此時點M的直角坐標．【解答】解：（1）由曲線C的方程為，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ﹣6，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．即曲線C是以點為圓心（2，2），以為半徑的圓，則圓的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．（2）x+y=4+cosθ+sinθ=4+2sin（θ+）．于是當θ=時，（x+y）max=4+2=6，此時，即M（3，3）．19.（本題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的大?。唬?）若，求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由條件結(jié)合正弦定理得，從而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（當且僅當時等號成立）

∴（，又，∴，從而的取值范圍是.．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：.∴，，.∵，∴，20.（本題滿分13分）已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．（1）求拋物線和橢圓的標準方程；（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，求的值；（3）直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足，證明：點在橢圓上．參考答案：（1）由拋物線的焦點在圓上得：，，∴拋物線

…………2分同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上可解得：．得橢圓．

…………4分（2）設直線的方程為，則．聯(lián)立方程組，消去得：且

…………5分由得：整理得：．…………8分（3）設，則由得；①

；②；③

…………11分由①+②+③得∴滿足橢圓的方程，命題得證．………13分21.某機構為了了解2017年當?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費情況，隨機抽取了100人，對其2017年全年網(wǎng)購消費金額(單位:千元)進行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間[0,30]內(nèi)，并按分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值;(2)若將全年網(wǎng)購消費金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷.結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補全2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關系?說明理由.

男女合計網(wǎng)購迷

20

非網(wǎng)購迷45

合計

(3)己知所有網(wǎng)購迷中使用甲軟件支付的用戶占了(非網(wǎng)購迷不使用甲軟件)，現(xiàn)要從甲軟件用戶中隨機抽取2人進行調(diào)查，問恰好抽到1男1女的概率為多少?下面的臨界值表僅供參考:0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

附：參考答案：(1),解之得:(2)

男女合計網(wǎng)購迷152035非網(wǎng)購迷452065合計6040100∴沒有99%的把握認為樣本數(shù)據(jù)中的網(wǎng)購迷與性別有關(3)使用甲軟件的7人中有3男4女

∴22.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)對一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞－.參考答案：(1)由條件知2f(x)≥g(x)，即2xlnx≥－x2＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋.

……2分設h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，h′(x)＝.

………………4分當x∈(0,1)時，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因為對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)]min＝4.

故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]．…………6分(2)