陜西省西安市周陵中學2022年高三數學理月考試題含解析

陜西省西安市周陵中學2022年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數z(i是虛數單位)，則|z|=（

）A. B. C.1 D.參考答案：B【分析】利用復數的除法運算化簡后利用模的公式計算.【詳解】z.所以|z|.故選：B.【點睛】本題主要考查復數的運算及模的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2.正三棱柱的頂點都在同一個球面上，若球的半徑為4，則該三棱柱的側面面積的最大值為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A設正三棱柱高為h，底面正三角形邊長為a，則三棱柱側面面積為，因為，所以因此三棱柱側面面積最大值為，選A

3.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足，且對任意的，都有．又，則關于x的不等式在區(qū)間上的解集為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】由題意可知，函數在是增函數，故恒成立，設，可判斷函數是單調遞減函數，所以當時，，可推出，又根據函數的性質畫出函數和的函數圖象，根據圖象解不等式.【詳解】是奇函數，設，由，可知，整理為：，是增函數，當時，，即設，，是單調遞減函數，當時，，即，當時，恒成立，即，又，關于對稱，又有，，，是周期為的函數，綜上可畫出和的函數圖象，由圖象可知不等式的解集是.故選：C【點睛】本題考查函數的性質和解不等式，意在考查數形結合分析問題和解決問題的能力，以及變形計算能力，旨在培養(yǎng)邏輯思維能力，本題的一個關鍵點是不等式轉化為，確定函數是增函數，另一個是判斷的單調性，這樣當時，不等式轉化為的解集.4.下列命題的說法錯誤的是（

）A．若為假命題，則均為假命題.B．“”是“”的充分不必要條件.C．對于命題則.D．命題“若，則”的逆否命題為：“若,則”參考答案：A略5.設全集，集合，集合，則（） A． B． C． D．{2，3，4}參考答案：D略6.用1、2、3組成無重復數字的三位數，這些數被2整除的概率是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.已知函數的零點分別為，則的大小關系是A. B. C. D.參考答案：D由得。在坐標系中分別作出的圖象，由圖象可知，，，所以，選D.

8.某企業(yè)投入100萬元購入一套設備．該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)（

）年后需要更新設備.A.

10

B.

11

C.

13

D.

21參考答案：A由題意可知年的維護費用為，所以年平均污水處理費用為，由均值不等式得，當且僅當，即時取等號，所以選A.9.已知圓的方程為，則圓心坐標為（A）（B）（C）（D）參考答案：C圓的標準方程為，所以圓心坐標為，選C.10.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，則集合A∪B中元素的個數為．參考答案：5【考點】并集及其運算．【分析】求出A∪B，再明確元素個數【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，則A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的個數為5；故答案為：5【點評】題考查了集合的并集的運算，根據定義解答，注意元素不重復即可，屬于基礎題12.若實數x，y滿足，則的最大值是

．參考答案：11作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，把目標函數z=2x+y化為y=－2x+z，由，解得A(5,1)，當目標函數經過點A(5,1)時，取得最大值，此時最大值為zmax=2×5+1=11．13.已知為數列的前項和，且滿足，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略14.已知（其中是虛數單位），則

．參考答案：15.如圖,在中，與交于點，且，則

．參考答案：16.計算：=

．參考答案：17.

從m個男生，n個女生（）中任選2個人當組長，假設事件A表示選出的2個人性別相同，事件B表示選出的2個人性別不同．如果A的概率和B的概率相等，則（m，n）的可能值為

．參考答案：解析：，由于，所以，整理得．即是完全平方數，且，因此

，，解得（不合條件），.所以．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟定義在18.-1,1上的奇函數，已知當時，(Ⅰ）求在0,1上的最大值；(Ⅱ）若是0，1上的增函數，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）設

當a≥4時，f（x）的最大值為2a-4.

(Ⅱ）因為函數f(x)在0,1上是增函數，所以

19.（13分）已知函數，其中a＞0．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若直線x﹣y﹣1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；（Ⅲ）設g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在區(qū)間上的最大值．（其中e為自然對數的底數）參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【專題】計算題；壓軸題；分類討論．【分析】（Ⅰ）先求導函數，直接讓導函數大于0求出增區(qū)間，導函數小于0求出減區(qū)間即可；（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導數值以及切點是直線與曲線的共同點聯立方程即可求實數a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的導函數，分情況討論出函數在區(qū)間上的單調性，進而求得其在區(qū)間上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）′因為函數，∴f′（x）==f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，故函數在（0，2）上遞增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上遞減．（Ⅱ）設切點為（x，y），由切線斜率k=1=，?x3=﹣ax+2，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0?（x2﹣a）（x﹣1）=0?x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1，∵a＞0．故所求實數a的值為1（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，且g′（1）=1﹣a，g′（e）=2﹣a．當a＜1時，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間上遞增，其最大值為g（e）=a+e（1﹣a）；當1＜a＜2時，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在區(qū)間上先減后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在區(qū)間上的最大值為g（e）=a+e（1﹣a）；當a＞2時，g′（1）＜0，g′（e）＜0，g（x）在區(qū)間上遞減，故最大值為g（1）=0．【點評】本題主要考查利用導數求閉區(qū)間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性，是高考的?？碱}型．20.（1）計算（2）已知復數滿足，的虛部為2．求復數z.參考答案：（1）=

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3分=-i=1-2i

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5分（2）設（），則

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7分解得，或

.

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9分所以或．

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10分21.[選修4－4：坐標系與參數方程]（10分）在直角坐標系xOy中，已知點P（1，﹣2），直線l：（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極坐標建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2cosθ，直線l和曲線C的交點為A，B．（1）求直線l和曲線C的普通方程；（2）求|PA|+|PB|．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【專題】方程思想；分析法；坐標系和參數方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直線的普通方程；運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的普通方程；（2）求得直線l的標準參數方程，代入曲線C的普通方程，可得二次方程，運用韋達定理和參數的幾何意義，即可得到所求和．【解答】解：（1）直線l：（t為參數），消去t，可得直線l的普通方程為x﹣y﹣3=0；曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2cosθ，即為ρ2sin2θ=2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的普通方程為y2=2x；（2）直線l的標準參數方程為（m為參數），代入曲線C：y2=2x，可得m2﹣6m+4=0，即有m1+m2=6，m1m2=4，則|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6．【點評】本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化、參數方程和普通方程的互化，考查直線的參數方程的運用，注意運用聯立方程和韋達定理，以及參數的幾何意義，考查運算能力，屬于基礎題．22.已知的實常數，函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個不同的零點，（?。┣髮崝档娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.