黑龍江省哈爾濱市伊漢通中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市伊漢通中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知三棱錐S﹣ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由圖，過A作AE垂直于BC交BC于E，連接SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，由題設(shè)條件證出∠ABF即所求線面角．由數(shù)據(jù)求出其正弦值．【解答】解：過A作AE垂直于BC交BC于E，連接SE，過A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴E為BC中點(diǎn)，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長2，∴AE=，AS=3，∴SE=2，AF=，∴sin∠ABF=．故選D．2.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)位于該雙曲線上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B3.已知雙曲線一條漸近線的斜率為，焦點(diǎn)是、，則雙曲線方程為（

）A.

B.

C.

D.1參考答案：A4.設(shè)是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（

）

參考答案：C5.已知，且，則下列命題正確的是（

）A.如果，那么

B.如果，那么C．如果，那么

D．如果，那么參考答案：D6.橢圓的離心率為，則過點(diǎn)且被圓截得的最長弦所在的直線的方程是 A． B． C．

D．參考答案：C略7.與的等比中項(xiàng)是（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：C略8.函數(shù)f（x）=，若f（a）=1，則a的值是（）A．1或2 B．1 C．2 D．1或﹣2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)解析式對(duì)a分類討論，分別代入解析式化簡f（a）=1求出a的值．【解答】解：由題意得，f（x）=，當(dāng)a＜2時(shí)，f（a）=3a﹣2=1，則a=2，舍去；當(dāng)a≥2時(shí)，f（a）==1，解得a=2或a=﹣2（舍去），綜上可得，a的值是2，故選C．9.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．則=

A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設(shè)M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），則有（）A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)且f(f(2))>7，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．參考答案：m<512.在邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為________．參考答案：13.命題“”的否定是

參考答案：14.現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A（﹣4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分②設(shè)m，n∈R，常數(shù)a＞0，定義運(yùn)算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分③已知兩圓A：（x+1）2+y2=1、圓B：（x﹣1）2+y2=25，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），橢圓過A，B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線上述四個(gè)命題中真命題為．（請(qǐng)寫出其序號(hào)）參考答案：①②③【考點(diǎn)】曲線與方程．【分析】利用直譯法，求①選項(xiàng)中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷表示的曲線；利用新定義運(yùn)算，利用直譯法求選項(xiàng)②中曲線的軌跡方程，進(jìn)而判斷軌跡圖形；利用圓與圓的位置關(guān)系，利用定義法判斷選項(xiàng)③中動(dòng)點(diǎn)的軌跡；利用橢圓定義，由定義法判斷④中動(dòng)點(diǎn)的軌跡即可．【解答】解：設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本€PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直線PA、PB的斜率分別是k1=，k2=，∴，化簡得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4），∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，①正確；∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，設(shè)P（x，y），則y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線的一部分，②正確；由題意可知，動(dòng)圓M與定圓A相外切與定圓B相內(nèi)切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，③正確；設(shè)此橢圓的另一焦點(diǎn)的坐標(biāo)D（x，y），∵橢圓過A、B兩點(diǎn)，則CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴橢圓的另一焦點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線一支，④錯(cuò)誤故答案為：①②③．15.如圖，在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，，平面分別與三棱錐的四條棱交于，若直線，直線，則平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值等于_______________________

參考答案：16.已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，則橢圓離心率為

；參考答案：17.已知是兩個(gè)不共線的平面向量，向量，若，則＝_____________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），過橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L，與圓x2+y2=相切，且橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△OAB面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）過橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L為=1，即bx+ay﹣ab=0．由直線L與圓x2+y2=相切相切，可得=．由拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），可得c=1．即a2﹣b2=1，聯(lián)立解出即可得出．（Ⅱ）當(dāng)兩射線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，S△OAB=．當(dāng)兩射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得得7m2=12（k2+1），所以點(diǎn)O到直線AB的距離d==．因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OA?OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)，取等號(hào)．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）過橢圓C的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線L為=1，即bx+ay﹣ab=0．由直線L與圓x2+y2=相切相切，得=．①…因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），所以c=1．…即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得a2=4，a2=（舍去）．…所以b2=a2﹣1=3．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．…（Ⅱ）當(dāng)兩射線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，S△OAB==．…當(dāng)兩射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∴x1+x2=，x1?x2=．…因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．…∴（k2+1）﹣+m2=0．…整理，得7m2=12（k2+1），所以點(diǎn)O到直線AB的距離d===．…因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OA?OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)，取等號(hào)．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，所以|AB|≥2d=，即弦AB的長度的最小值是．所以△OAB的最小面積為S△OAB=×=．綜上，△OAB面積的最小值為．…19.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為(1)求橢圓方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求參考答案：(1)由題意可得，，又，解得，所以橢圓方程為

(2)根據(jù)題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，由方程組消去得關(guān)于的方程

由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則有，即得：

由根與系數(shù)的關(guān)系得故

又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，故的面積令則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，略20.已知點(diǎn)P是圓C：（x+）2+y2=16上任意一點(diǎn)，A（，0）是圓C內(nèi)一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑CP交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．（2）設(shè)過點(diǎn)B（0，﹣2）的動(dòng)直線與E交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)△OMN的面積最大時(shí)，求此時(shí)直線的方程．參考答案：【分析】（1）直接由題意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2，符合橢圓定義，且得到長半軸和半焦距，再由b2=a2﹣c2求得b2，則點(diǎn)Q的軌跡方程可求；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意可設(shè)直l的方程為：y=kx﹣2，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出S△OMN．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）由題意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2由橢圓定義知Q點(diǎn)的軌跡是橢圓，a=2，c=…∴b=1，∴點(diǎn)Q的軌跡E的方程=1．…（2）由題意知所求的直線不可能垂直于x軸，所以可設(shè)直線為：y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組，將y=kx﹣2代入=1得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0…當(dāng)△＞0時(shí)，即k2＞時(shí)，x1+x2=，x1x2=，…

則△OMN的面積S=|OB||x1﹣x2|=…設(shè)=t＞0，∴，最大值為1…∴=2，k=±，滿足△＞0…∴直線的方程為y=±x﹣2…

21.已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長軸長為6，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度。

參考答案：