高中數(shù)學人教A版1直線與圓的位置關系 學業(yè)分層測評6

學業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．如圖2-1-12所示，若圓內接四邊形的對角線相交于E，則圖中相似三角形有()圖2-1-12A．1對 B．2對C．3對 D．4對【解析】由推論知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】B2．如圖2-1-13所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD＝4，BD＝8，則圓O的半徑等于()圖2-1-13A．6 B．8C．4 D．5【解析】∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，由射影定理可知，CD2＝AD·BD，∴42＝8AD，∴AD＝2，∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，∴圓O的半徑為5.【答案】D3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，則此三角形外接圓半徑為()【導學號：07370031】\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4【解析】由推論2知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，又AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4，故外接圓半徑r＝eq\f(1,2)AB＝2.【答案】B4．如圖2-1-14所示，等腰△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中點，E是的中點，分別連接BD，DE，BE，則△BDE的三內角的度數(shù)分別是()圖2-1-14A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°【解析】如圖所示，連接AD.∵AB＝AC，D是的中點，∴AD過圓心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是的中點，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，故選B.【答案】B5．如圖2-1-15，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于()圖2-1-15A．4π B．8πC．12π D．16π【解析】連接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】D二、填空題6．如圖2-1-16，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則eq\f(BD,AD)＝________.圖2-1-16【解析】連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，∴eq\f(BC2,AC2)＝eq\f(BD,AD)，即eq\f(BD,AD)＝eq\f(16,9).【答案】eq\f(16,9)7．(2023·天津高考)如圖2-1-17，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，則線段CE的長為________．圖2-1-17【解析】如圖，設圓心為O，連接OD，則OB＝OD.因為AB是圓的直徑，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝eq\f(3,2).又BD＝ED，∠B為△BOD與△BDE的公共底角，所以△BOD∽△BDE，所以eq\f(BO,BD)＝eq\f(BD,BE)，所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝eq\r(3).因為AE·BE＝CE·DE，所以CE＝eq\f(AE·BE,DE)＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)8.如圖2-1-18，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APD＝__________.圖2-1-18【解析】由于AB為⊙O的直徑，則∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形，則sin∠APD＝eq\f(AD,AP)，cos∠APD＝eq\f(PD,AP)，由題意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，所以△PCD∽△PBA.所以eq\f(PD,AP)＝eq\f(CD,AB)，又AB＝3，CD＝1，則eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,3).∴cos∠APD＝eq\f(1,3).又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝eq\f(2\r(2),3).【答案】eq\f(2\r(2),3)三、解答題9．如圖2-1-19所示，⊙O中和的中點分別為點E和點F，直線EF交AC于點P，交AB于點Q.求證：△APQ為等腰三角形．圖2-1-19【證明】連接AF，AE.∵E是的中點，即＝，∴∠AFP＝∠EAQ，同理∠FAP＝∠AEQ.又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ為等腰三角形．10．如圖2-1-20(1)所示，在圓內接△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點，E是直線AD和△ABC外接圓的交點．圖2-1-20(1)求證：AB2＝AD·AE；(2)如圖2-1-20(2)所示，當D為BC延長線上的一點時，第(1)題的結論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【解】(1)證明：如圖(3)，連接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如圖(4)，連接BE，結論仍然成立，證法同(1)．[能力提升]1．如圖2-1-21，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，那么eq\f(CD,AB)等于()【導學號：07370032】圖2-1-21A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．以上答案都不對【解析】連接BD，由BA是直徑，知△ADB是直角三角形．由∠DCB＝∠DAB，∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝cos∠BPD.【答案】B2．如圖2-1-22所示，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，則AE＝__________.圖2-1-22【解析】連接CE，則∠AEC＝∠ABC，又△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AEC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AE)，∴AE＝eq\f(AC2,AD)＝9.【答案】93．如圖2-1-23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是__________．圖2-1-23【解析】由圓周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，∴AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形．∴周長等于9.【答案】94.如圖2-1-24，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，連接BE，AD交于點P.求證：圖2-1-24(1)D是BC的中點；(2)△BEC∽△ADC；(3)AB·CE＝2DP·AD.【證明】(1)因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，因為AB＝AC，所以D是BC的中點．(2)因為AB是⊙O的直徑，所以∠AEB＝∠ADB＝90°，即∠CEB＝∠CDA＝90°，因為∠C是公共角，所以△BEC∽△ADC.(3)因為△BEC∽△ADC，所以∠CBE＝∠CAD.因為AB＝AC，BD＝CD，所以∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CBE，因為∠ADB＝∠BEC＝90°，所以△ABD∽△BCE，所以eq\