2021-2022學年四川省達州市渠縣有慶一中學高三數(shù)學理期末試題含解析

2021-2022學年四川省達州市渠縣有慶一中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)若，則的值是(

)

A.1

B.2

C.1

D.-2參考答案：C2.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：由于，，因此，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，故答案為B.考點：函數(shù)零點的判斷.3.{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75參考答案：B【考點】等差數(shù)列．【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故選B．4.（5分）設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）A．B．C．D．參考答案：B【考點】：向量的加法及其幾何意義；向量的三角形法則．【專題】：平面向量及應用．【分析】：根據(jù)所給的關(guān)于向量的等式，把等式右邊二倍的向量拆開，一個移項一個和左邊移來的向量進行向量的加減運算，變形整理，得到與選項中一致的形式，得到結(jié)果．解：∵，∴，∴∴∴故選B．【點評】：本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答．向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學好向量的加減運算．5.已知p：則p是q的（

）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A6.已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），與的夾角為60°，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相切

B．相交

C．相離

D．隨α，β的值而定參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】只要求出圓心到直線的距離，與半徑比較，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系．【解答】解：由已知得到||=2，||=3，?=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）=6cos60°=3，所以cos（α﹣β）=，圓心到直線的距離為：=|cos（α﹣β）+|=1，圓的半徑為，1＞，所以直線與圓相離；故選C．7.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為A．3

B．

C．

D．參考答案：B8.設(shè)集合,集合，則集合中有___個元素A．4

B．5 C．6 D． 7參考答案：

∵，所以，∴中有6個元素，故選．9.復數(shù)z滿足方程=﹣i（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】由=﹣i，得，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，求出復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（1，1）．位于第一象限．故選：A．10.某幾何體三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=，S3=，則公比q=

．參考答案：1或【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和建立等式，利用a3和q表示出a1與a2，然后解關(guān)于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=則a1+a2=3∴化簡得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案為：1或【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和，以及等比數(shù)列的通項，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．12.冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則___________.參考答案：2略13.給出下列四個命題：①若，且則；②設(shè)，命題“若”的否命題是真命題；③函數(shù)的一條對稱軸是直線；④若定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任意必有.其中，所有正確命題的序號是

▲

.參考答案：②④略14.右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是

.參考答案：515.拋物線的焦點坐標是

．參考答案：

16.已知向量，向量，且，則

;參考答案：617.已知圓，過點作的切線，切點分別為，則直線的方程為；參考答案：2x+3y-4=0以O(shè)（0，0）,A（2，3）為直徑端點的圓的方程為：X（x-2）+y（y-3）-0即，與圓相減得：2x+3y-4=0，所以直線的方程為2x+3y-4=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講.如圖，直線PQ與⊙O相切于點A，AB是⊙O的弦，的平分線AC交⊙O于點C，連結(jié)CB，并延長與直線PQ相交于Q點，(1)求證:;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的長.

參考答案：(1)見解析(2)【知識點】選修4-1

幾何證明選講.解析：（1）∵PQ與⊙O相切于點A，∴∵

∴∴AC=BC=5由切割線定理得：

∴

------------5分（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知

QC=9由

知∽

∴

∴

.

----------10分【思路點撥】(1)由割線定理易于求解.（2）由三角形相似即可求得弦AB的長.19.某企業(yè)2012年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進行技術(shù)改造，預測從2013年起每年比上一年純利潤減少20萬元，2013年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（2013年為第1年）的利潤為500（1+）萬元（n為正整數(shù)）．（1）設(shè)從2013年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求An，Bn的表達式；（2）依上述預測，從2013年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）根據(jù)從2013年起每年比上一年純利潤減少20萬元，可得An的表達式；根據(jù)2013年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（2013年為第1年）的利潤為500（1+）萬元，可得Bn的表達式；（2）作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）依題設(shè)，An=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n）=490n﹣10n2；Bn=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]﹣600=500n﹣﹣100．（2）Bn﹣An=（500n﹣﹣100）﹣（490n﹣10n2）=10n2+10n﹣﹣100=10[n（n+1）﹣﹣10]．因為函數(shù)y=x（x+1）﹣﹣10在（，+∞）上為增函數(shù)，當1≤n≤3時，n（n+1）﹣﹣10≤12﹣﹣10＜0；當n≥4時，n（n+1）﹣﹣10≥20﹣﹣10＞0．∴僅當n≥4時，Bn＞An．答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤．【點評】本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力．20.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列．參考答案：【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】（Ⅰ）求出a1=1．利用當n≥2時，由Sn﹣Sn﹣1=an，利用q（q﹣1）≠0，說明{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，求出通項公式．（Ⅱ）求出Sn=，靈活S3+S6=2S9，得到a2+a5=2a8．說明a2，a8，a5成等差數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）當n=1時，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．當n≥2時，由（1﹣q）Sn+qan=1，得（1﹣q）Sn﹣1+qan﹣1=1，兩式相減得：（1﹣q）an+qan﹣qan﹣1=0，即an=qan﹣1，又q（q﹣1）≠0，所以{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，故an=qn﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=，又S3+S6=2S9，得+=，化簡得a3+a6=2a9，兩邊同除以q得a2+a5=2a8．故a2，a8，a5成等差數(shù)列．21.已知函數(shù)f（x）=2sin（﹣πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤）的圖象與y軸交于點（0，1）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)P是函數(shù)f（x）圖象的最高點，M，N是函數(shù)f（x）圖象上距離P最近的兩個零點，求與的夾角的余弦值．參考答案：【考點】正弦函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）把（0，1）代入已知函數(shù)解析式可得φ值，可得f（x）=2sin（πx﹣），解不等式2kπ+≤πx﹣≤2kπ+可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）分別令πx﹣=π，π和2π，可得P、M、N坐標，由向量的夾角公式可得．【解答】解：（1）把（0，1）代入已知函數(shù)解析式可得1=2sinφ，∵0≤φ≤，∴φ=，∴f（x）=2sin（﹣πx+）=﹣2sin（πx﹣），由2kπ+≤πx﹣≤2kπ+可解得2k+≤x≤2k+（k∈Z），∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）；（2）由（1）可得f（x）=﹣2sin（πx﹣），令πx﹣=π可解得x=，令πx﹣=π可解得x=，令πx﹣=2π可解得x=，故可取P（，2），M（，0），N（，0），∴=（﹣，﹣2），=（，﹣2），設(shè)與的夾角為α，則cosα==．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象，涉及單