2021-2022學(xué)年山西省忻州市磨坊學(xué)區(qū)胡家灘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省忻州市磨坊學(xué)區(qū)胡家灘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知l，m，n為三條不同直線，α，β，γ為三個(gè)不同平面，則下列判斷正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；分析法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)常見幾何體模型舉出反例，或者證明結(jié)論．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，則m與n可能平行，可能相交，也可能異面，故A錯(cuò)誤；（B）在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，設(shè)平面ABCD為平面α，平面CDD′C′為平面β，直線BB′為直線m，直線A′B為直線n，則m⊥α，n∥β，α⊥β，但直線A′B與BB′不垂直，故B錯(cuò)誤．（C）設(shè)過m的平面γ與α交于a，過m的平面θ與β交于b，∵m∥α，m?γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：n∥a．∴a∥b，∵b?β，a?β，∴a∥β，∵α∩β=l，a?α，∴a∥l，∴l(xiāng)∥m．故C正確．（D）在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，設(shè)平面ABCD為平面α，平面ABB′A′為平面β，平面CDD′C′為平面γ，則α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC?平面ABCD，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，借助常見空間幾何模型舉出反例是解題關(guān)鍵．2.(07年全國卷Ⅱ理)從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有

(A)40種

(B)

60種

(C)100種

(D)120種參考答案：答案：B解析：從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有種，選B。3.在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，,，動(dòng)點(diǎn)滿足

,則的取值范圍是（

） A.

B. C.

D. 參考答案：D4.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是（

）A、B、

C、D、參考答案：5.（1+x）n的展開式中，xk的系數(shù)可以表示從n個(gè)不同物體中選出k個(gè)的方法總數(shù)．下列各式的展開式中x8的系數(shù)恰能表示從重量分別為1，2，3，4，…，10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是（）A．（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）C．（1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+10x10）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）…（1+x+x2+…+x10）參考答案：A【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10中的、指數(shù)和等于8的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè)x8．而各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，選出若干個(gè)表示8克的方法，從而得出結(jié)論．【解答】解：x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10中的、指數(shù)和等于8的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè)x8．各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，選出若干個(gè)表示8克的方法．故“從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)．使其總重量恰為8克的方法總數(shù)”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x10）”的展開式中x8的系數(shù)”，故選A．6.某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加視力測試，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（

）（A）8，8

（B）9，7

（C）10，6

（D）12，4參考答案：B略7.設(shè)x，y滿足的約束條件，則的最大值為（A）8

（B）7

（C）2

（D）1參考答案：B8.在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.命題“對任意都有”的否定為（

）A.對任意都有

B.不存在使得C.存在使得

D.存在使得參考答案：D10.已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，則cos（α﹣π）等于（）A． B．

C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的正弦．【專題】三角函數(shù)的求值．分析：由條件求得sinα和cosα的值，再根據(jù)cos（α﹣π）=﹣cosα求得結(jié)果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)=，則不等式的解集為

．參考答案：略12.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.參考答案：略13.（2015?上海模擬）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=，前n項(xiàng)和為Sn，則=．參考答案：【考點(diǎn)】：數(shù)列的極限．【專題】：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】：先利用裂項(xiàng)相消法求出Sn，再求極限即可．解：Sn=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，則==．故答案為：．【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列極限的求法，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是先用裂項(xiàng)相消法求和，再利用常見數(shù)列極限求解．14.已知直線l過點(diǎn)（1,0）且垂直于軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.參考答案：(1,0)分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，將點(diǎn)(1,2)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，將P(1,2)代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).點(diǎn)睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.

15.已知a，bR，2a2-b2=1，則|2a-b|的最小值為

.參考答案：116.在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。己知曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為

.參考答案：17.一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出

人。參考答案：25三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；參考答案：（1）；（2）證明見解析；試題分析：(1)利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線的方法可得函數(shù)的解析式為.(2)構(gòu)造新函數(shù).結(jié)合函數(shù)的最值和單調(diào)性可得.試題解析：（1）根據(jù)題意，得，則.由切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入，得，故.（2）令.由，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增.所以，所以.19.（12分）向量=（1，2），=（x，1），（1）當(dāng)+2與2﹣平行時(shí)，求x；（2）當(dāng)+2與2﹣垂直時(shí)，求x．參考答案：考點(diǎn)： 單位向量；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： （1）利用向量共線定理即可得出．（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．解答： ∵向量=（1，2），=（x，1），∴+2=（1，2）+2（x，1）=（2x+1，4）2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）．（1）當(dāng)+2與2﹣平行時(shí)，則3（2x+1）﹣4（2﹣x）=0，解得x=．（2）當(dāng)+2與2﹣垂直時(shí)，（2x+1）（2﹣x）+12=0，化為2x2﹣3x﹣14=0，解得x=﹣2或x=．點(diǎn)評： 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即，屬于基礎(chǔ)題．20.已知函數(shù)，（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證：參考答案：（1）不等式即為。當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，無解當(dāng)時(shí)，，得。

…………………3分所以不等式的解集為。

…………………5分（2）證明：

…………………10分21.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求Sn.參考答案：（1）；(2)見解析。（1）設(shè)公差為d，則由，，成等比數(shù)列.得整理得，所以。（2）利用“錯(cuò)位相減法”求和22.已知橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l過點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D.證明直線BD過x軸上的定點(diǎn).參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】（Ⅰ）由離心率列方程可求得橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線BD過點(diǎn)（2，0）．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x-1），聯(lián)立方程組，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件求出直線BD過x軸上的定點(diǎn)．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可得,

解得，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）直線BD恒過x軸上的定點(diǎn)N（2，0）．證明如下（a）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，不妨設(shè)A（1，），B（1，），D（3，）．此時(shí)，直線BD的方程為：y=（x-2），所以直線BD過點(diǎn)（2，0）．（b）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），