高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列等差數(shù)列 2023版第1章學(xué)業(yè)分層測評1

學(xué)業(yè)分層測評(一)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．?dāng)?shù)列－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…的一個通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝－eq\f(1,2n) B．a(chǎn)n＝eq\f(－1n,2n)C．a(chǎn)n＝eq\f(－1n＋1,2n) D．a(chǎn)n＝eq\f(－1n,2n＋1)【解析】項(xiàng)的符號可以用(－1)n調(diào)節(jié)，項(xiàng)的絕對值可以寫成eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，eq\f(1,24)，…∴通項(xiàng)公式為an＝eq\f(－1n,2n).【答案】B2．?dāng)?shù)列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…的第10項(xiàng)為()\f(8,9) \f(9,10)\f(10,11) \f(11,12)【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n＋1)，所以a10＝eq\f(10,10＋1)＝eq\f(10,11).【答案】C3．?dāng)?shù)列{an}中，an＝n＋(－1)n，則a4＋a5＝()【導(dǎo)學(xué)號：47172054】A．7 B．8C．9 D．10【解析】因?yàn)閍n＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5.a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9.【答案】C4．已知數(shù)列1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，…則3eq\r(5)是它的()A．第22項(xiàng) B．第23項(xiàng)C．第24項(xiàng) D．第28項(xiàng)【解析】由題意知an＝eq\r(2n－1)，由eq\r(2n－1)＝3eq\r(5)得n＝23.【答案】B5．用火柴棒按如圖1-1-1的方法搭三角形：圖1-1-1按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù)n之間的關(guān)系式可以是()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝2n＋1C．a(chǎn)n＝2n＋3 D．a(chǎn)n＝2n－3【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝5；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝7；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝9，…，依次類推an＝2n＋1，因此火柴棒數(shù){an}與所搭三角形個數(shù)n的關(guān)系式為an＝2n＋1.【答案】B二、填空題6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－n2＋7n＋9，則其第3、4項(xiàng)分別是________，________.【解析】a3＝－32＋7×3＋9＝21.a4＝－42＋7×4＋9＝21.【答案】21217．?dāng)?shù)列eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，eq\f(5,11)，eq\f(3,7)，eq\f(7,17)，…的一個通項(xiàng)公式是________.【導(dǎo)學(xué)號：47172055】【解析】數(shù)列eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，eq\f(5,11)，eq\f(3,7)，eq\f(7,17)，…即數(shù)列eq\f(3,5)，eq\f(4,8)，eq\f(5,11)，eq\f(6,14)，eq\f(7,17)，…故an＝eq\f(n＋2,3n＋2).【答案】an＝eq\f(n＋2,3n＋2)8．已知數(shù)列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，則7為該數(shù)列的第________項(xiàng)．【解析】由a8＝8k－5＝1，解得k＝eq\f(3,4)，∴an＝eq\f(3,4)n－5，∴令eq\f(3,4)n－5＝7，解得n＝16.【答案】16三、解答題9．根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)的規(guī)律，寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式．(1)－1,1，－1,1；(2)－3,12，－27,48；(3)1,11,111,1111，…；(4)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63).【解】(1)各項(xiàng)絕對值為1，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.(2)各項(xiàng)絕對值可以寫成3×12,3×22,3×32,3×42，…，又因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n3n2.(3)將數(shù)列變形為eq\f(1,9)(10－1)，eq\f(1,9)(102－1)，eq\f(1,9)(103－1)，eq\f(1,9)(104－1)，…，所以an＝eq\f(1,9)(10n－1)．(4)因?yàn)榉帜?,15,35,63可看作22－1,42－1,62－1,82－1，故通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n,2n2－1)＝eq\f(2n,4n2－1).10．在數(shù)列{an}中通項(xiàng)公式是an＝(－1)n－1·eq\f(n2,2n－1n＋1)，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并判斷eq\f(81,170)是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．【解】a1＝(－1)0·eq\f(12,1×2)＝eq\f(1,2)，a2＝(－1)1·eq\f(22,3×3)＝－eq\f(4,9)，a3＝(－1)2·eq\f(32,5×4)＝eq\f(9,20)，a4＝(－1)3·eq\f(42,7×5)＝－eq\f(16,35)，a5＝(－1)4·eq\f(52,9×6)＝eq\f(25,54).所以該數(shù)列前5項(xiàng)分別為eq\f(1,2)，－eq\f(4,9)，eq\f(9,20)，－eq\f(16,35)，eq\f(25,54).令(－1)n－1·eq\f(n2,2n－1n＋1)＝eq\f(81,170)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＞1且為奇數(shù)，,8n2－81n＋81＝0.))所以n＝9.所以eq\f(81,170)是該數(shù)列中的第9項(xiàng)．[能力提升]1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，以后各項(xiàng)由公式a1·a2·a3…an＝n2給出，則a3＋a5等于()\f(25,9) \f(25,16)\f(61,16) \f(31,15)【解析】由a1a2＝22，a1·a2·a3＝32，得a3＝eq\f(9,4)，又a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52，所以42·a5＝52，即a5＝eq\f(25,16).所以a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).【答案】C2．在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4中第25項(xiàng)為()A．6 B．7C．8 D．9【解析】數(shù)字共有n個，當(dāng)數(shù)字n＝6時(shí)，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21項(xiàng)，所以第22項(xiàng)起數(shù)字為7至28項(xiàng)為止，故25項(xiàng)為7.【答案】B3．?dāng)?shù)列eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(10),8)，eq\f(\r(17),a＋b)，eq\f(\r(a－b),24)，…中有序數(shù)對(a，b)可以是________.【導(dǎo)學(xué)號：47172056】【解析】從上面的規(guī)律可以看出分母呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：3＝22－1,8＝32－1,24＝52－1，即a＋b＝42－1＝15，又被開方數(shù)5,10,17，a－b后一項(xiàng)比前一項(xiàng)多5,7,9，故a－b＝17＋9＝26，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝15，,a－b＝26，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(41,2)，,b＝－\f(11,2).))【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,2)，－\f(11,2)))4．已知無窮數(shù)列eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，eq\f(25,26)，…，(1)求出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式；(2)該數(shù)列在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,10)，\f(36,37)))內(nèi)有沒有項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，請說明理由．【解】(1)因?yàn)閿?shù)列的分子依次為4,9,16,25，…可看成與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系式為(n＋1)2，而每一項(xiàng)的分母恰好比分子大1，所以通項(xiàng)公式的分母可以為(n＋1)2＋1.所以數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n＋12,n＋12＋1)(n＝1,2，…)．(2)當(dāng)eq\f(9,10)≤an≤eq\f(36,37)時(shí)，可得eq\f(9,10)≤eq\f(n＋12,n＋12＋1)≤eq\f(36,37).由e