2021-2022學(xué)年陜西省西安市陜西中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題

2021-2022學(xué)年陜西省西安市陜西中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C2.將個(gè)正整數(shù)1、2、3、、（）任意排成n行n列的數(shù)表．對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a、b（a>b）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”．當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為(

)A．3

B．2

C．

D．參考答案：C3.在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a5=12，那么它的前8項(xiàng)和S8等于(

)A．12 B．24 C．36 D．48參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a8=12，而S8=，代入計(jì)算即可．解答：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a8=a4+a5=12，故S8===48故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．4.在數(shù)列{an}中，，則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.在極坐標(biāo)系中，圓=-2sin+2cos的圓心的極坐標(biāo)是(

)A.(,)

B.(,)

C.(,)

D.(,)參考答案：A6.函數(shù)的定義域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)

C．(－1，＋∞)

D．(－1,0)參考答案：A略7.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程為（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用雙曲線的簡單性質(zhì)直接求解．【解答】解：雙曲線=1的漸近線方為，整理，得y=．故選：C．8.某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（

）A.720種 B.520種 C.360種 D.600種參考答案：C【分析】分別計(jì)算甲乙只有一人參加、甲乙都參加兩種情況下的發(fā)言順序的種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理加和求得結(jié)果.【詳解】甲、乙只有一人參加，則共有：種發(fā)言順序甲、乙都參加，則共有：種發(fā)言順序根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：種發(fā)言順序本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查排列組合綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過分類方式，分別計(jì)算兩類情況的種數(shù)，屬于?？碱}型.9.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=3x+m（m為常數(shù)），則f（﹣log35）的值為（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6參考答案：B【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由題設(shè)條件可先由函數(shù)在R上是奇函數(shù)求出參數(shù)m的值，求函數(shù)函數(shù)的解板式，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到f（﹣log35）=﹣f（log35）代入解析式即可求得所求的函數(shù)值，選出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=3x+m（m為常數(shù)），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0時(shí)f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故選B10.設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①

②

③④其中為真命題的是（

）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為1，則_________.參考答案：12.以下五個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；②以拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的．③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；④過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條．⑤過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）參考答案：①②④【分析】①根據(jù)橢圓和雙曲線的c是否相同即可判斷．②根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷．③根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行判斷．④根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．⑤根據(jù)圓錐曲線的根據(jù)方程進(jìn)行判斷．【解答】解：①由得a2=16，b2=9，則c2=16+9=25，即c=5，由橢圓得a2=49，b2=24，則c2=49﹣24=25，即c=5，則雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，故①正確，②不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），取AB的中點(diǎn)M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故②正確，③平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)k（k＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴故③不正確；④過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0）作直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，橫坐標(biāo)之和等于2，不合題意；當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；∴設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），則直線l為y=k（x﹣1），代入拋物線y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，∴=5，解得k2=，∴這樣的直線有且僅有兩條．故④正確，⑤設(shè)定圓C的方程為（x﹣a）2+（x﹣b）2=r2，其上定點(diǎn)A（x0，y0），設(shè)B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），由=（+）得，消掉參數(shù)θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2=r2，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，故⑤錯(cuò)誤；故答案為：①②④13.設(shè),則代數(shù)式=_________參考答案：【分析】由二項(xiàng)展開式，兩邊求導(dǎo)得，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可知，兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中對(duì)二項(xiàng)展開式兩邊求導(dǎo)，再，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14.如圖是2013年元旦歌詠比賽，七位評(píng)委為某班打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為_

_．參考答案：3.215.設(shè)集合，,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：16.記當(dāng)時(shí)，觀察下列等式：，，，，，可以推測(cè)，

.參考答案：略17.雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F的距離為8，則P到右準(zhǔn)線的距離為

參考答案：4

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率,直線的方程為.(1)求橢圓的方程;(2)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)),設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),記的斜率分別為則存在常數(shù),使得求的值

參考答案：（1）

（2）F，

，而，

同理

所以而M（）故＝2略19.已知｛｝為等差數(shù)列，且（1）求｛｝的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列｛｝滿足，，求｛｝的前n項(xiàng)和公式。參考答案：（1）方法一：

………….2分解得

……………4分所以

……..6分法二：

（2）

…………….7分20.

某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計(jì)算：f=其中（單位：元）為托運(yùn)費(fèi)，ω為托運(yùn)物品的重量（單位：千克），試寫出一個(gè)計(jì)算費(fèi)用算法，并畫出相應(yīng)的程序框圖.參考答案：算法：第一步：輸入物品重量ω；第二步：如果ω≤50，那么f=0.53ω，否則，f=50×0.53+（ω－50）×0.85；第三步：輸出物品重量ω和托運(yùn)費(fèi)f.相應(yīng)的程序框圖.21.設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）證明：a2＞；（Ⅱ）若=2，求△OAB的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式；平行向量與共線向量；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）把直線l的方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)可得△＞0，解出即可證明；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等得到y(tǒng)1，y2的關(guān)系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積及基本不等式的性質(zhì)即可得出取得面積最大值時(shí)的k的值，進(jìn)而得到a的值．【解答】（1）證明：由y=k（x+1）（k≠0）得．并代入橢圓方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0

①∵直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，∴．（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由①，得，②∵，而點(diǎn)C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），得y1=﹣2y2代入②，得，③∴△OAB的面積==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)k2=3，即時(shí)取等號(hào)．把k的值代入③可得，將及這兩組值分別代入①，均可解出a2=15．∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2+y2=15．22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝－kx，.（1）若k＝e，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若k>0，且對(duì)于任意確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F(x)＝f(x)