高中數(shù)學(xué) 平面及其基本性質(zhì) 新人教A必修2

日常生活和學(xué)習(xí)中，總離不開幾何圖形，這些幾何圖形大致可分為兩種：一種是我們在初步已研究的平面圖形，這種圖形上的點都在同一平面上，如三角形、圓……另一種圖形上的點不全在一個平面上，如廠房、書桌等。同學(xué)們以后走上工作崗位后，只知道平面幾何知識顯然不夠，這就要進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)空間圖形。平面幾何研究的對象是平面圖形（點、線以及組合）的形狀、大小、位置關(guān)系，而立體幾何研究的對象是空間圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。兩者的區(qū)別：平面圖形——所研究的對象都在同一平面內(nèi)；空間圖形——所研究的對象不一定在同一平面內(nèi)。兩者的關(guān)系：前者為后者的特殊情形。由上可知，在解決立體幾何問題的時候，要利用立體幾何的有關(guān)概念和性質(zhì)，而不能隨便把平面幾何的性質(zhì)用于立體幾何問題；只有所研究的對象在同一平面上的時候，才能利用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)。但是，許多空間問題可以轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，這里就涉及到數(shù)學(xué)中的重要思想——轉(zhuǎn)化思想。.平面及其基本性質(zhì)PlanesandTheirBasicPropertiesone海南省洋浦中學(xué)：趙生碧.實例引入觀察.實例引入觀察.

實例引入觀察.生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類似平面形的物體嗎？引入新課

幾何里所說的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．.DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面記作：平面的表示平面記作：平面

常把希臘字母α、β、γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱．.平面的畫法我們常常把水平的平面畫成一個平行四邊形，用平行四邊形表示平面．

DCAB.平面的畫法【思考1】下列平行四邊形表示的平面的大致位置如何？.【思考2】當(dāng)兩個平面相交時，你認(rèn)為下列哪個圖形的立體感強(qiáng)？你能指出其畫法要點嗎？(1)畫出交線；(2)被遮擋部分畫虛線.平面的畫法.ADCBEF被遮擋部分用虛線表示為了增強(qiáng)立體感，常常把被遮擋部分用虛線畫出來．平面的畫法.AlABlAl點A在直線l上．點A不在直線l上．Al直線l在平面上．直線l在平面上．平面經(jīng)過直線l．【討論】點線平面的位置關(guān)系有哪些？.AB點A在平面內(nèi)，記作．記作．點B在平面外，讀作讀作點與平面的位置關(guān)系平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合．點在平面內(nèi)和點在平面外都可以用元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來表示．.如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．a(chǎn)lABalPb（1）（2）解：在（1）中，在（2）中，【鞏固深化，發(fā)展思維】.【探究】：平面的基本性質(zhì)11:如果直線l與平面α有一個公共點P，那么直線l是否在平面α內(nèi)?2:如圖，設(shè)直線l與平面α有一個公共點A，點B為直線l上另一個點，當(dāng)點B逐漸與平面α靠近時，直線l上其余各點與平面α的位置關(guān)系如何變化？．AABα.3:如圖，當(dāng)點A、B落在平面α內(nèi)時，直線l上其余各點與平面α的位置關(guān)系如何？由此可得什么結(jié)論？公理1

如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).【思考】公理1如何用符號語言表述？它有什么理論作用？．．ABα.2、如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1。BB1D1A1DACC1OO1.探究新知

（一）：平面的基本性質(zhì)2

思考1:空間中，經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線，那么兩點能否確定一個平面？經(jīng)過三點、四點可以作多少個平面？思考2:照相機(jī)，測量儀等器材的支架為何要做成三腳架？.思考3:經(jīng)過任意三點都能確定一個平面嗎？由此可得什么結(jié)論？公理2

過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

．．．ABC進(jìn)一步思考

:公理2可簡述為“不共線的三點確定一個平面”，它有什么理論作用？.探究新知

（二）:平面的基本性質(zhì)2

思考4:如圖，把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點B？為什么？BB思考5:如果兩條不重合的直線有公共點，則其公共點只有一個.如果兩個不重合的平面有公共點，其公共點有多少個？這些公共點的位置關(guān)系如何？.觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體的兩個相交平面有沒有公共直線嗎？觀察

這條公共直線B’C’叫做這兩個平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交線．

另一方面，相鄰兩個平面有一個公共點，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一個公共點B’，經(jīng)過點B有且只有一條過該點的公共直線B’C’..思考6:根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論？P公理3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線..公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．作用：①判斷兩個平面相交的依據(jù)．②判斷多點共線的依據(jù)．lP平面公理.理論遷移例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由.（1）直線AC1在平面A1B1C1D1內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；（3）由點A，O，C可以確定一個平面；（4）平面AB1C1與平面AC1D重合..BB1D1A1DACC1OO1（1）直線AC1在平面A1B1C1D1內(nèi)；（2）設(shè)正方體上、下底面中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；（3）由點A，O，C可以確定一個平面；（4）平面AB1C1與平面AC1D重合..1、求證：經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一條平面.

2、求證：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.

3、求證：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

【探究】.例2：直線AB、BC、CA兩兩相交，交點分別為A、B、C，證明這三條直線共面.理論遷移證明1：∵AB、AC相交，∴AB、AC確定一個平面，設(shè)為α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BCα因此AB、AC、BC都在平面α內(nèi).即AB、AC、BC共面.證明2：∵AB、AC相交；∴AB、AC確定一個平面α∴點A、B、C∈α，且不共線；∵AB、BC相交∴AB、BC確定一個平面β∴點