《電路分析基礎》補充-耦合電感和理想變壓器

第十一章耦合電感和理想變壓器§11－1基本概念§11－2耦合電感的VCR耦合系數(shù)§11－3

空心變壓器電路的分析反映阻抗§11－4耦合電感的去耦等效電路§11－5

理想變壓器的VCR§11－6

理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)§11－7

理想變壓器的實現(xiàn)§11－8

理想變壓器的模型耦合電感(coupledinductors)§11－l耦合電感的電壓電流關系當幾個電感線圈相互靠近時，電磁感應存在著相互作用，這種現(xiàn)象稱為磁耦合現(xiàn)象，也稱為互感(mutualinductance)現(xiàn)象。L2L1L3☆

理想變壓器是一種由耦合電感抽象出來的無損耗、全耦合變壓器?！钕嗷タ拷牟⑿虚L直導線存在磁耦耦合現(xiàn)象，可視為耦合電感。磁耦合試驗：在環(huán)形磁芯上用漆包線繞制一個耦合電感+–uORO+–uSRL在一個電感兩端加一交流電壓uS

，另一個電感端接負載電阻RL，RL上可測量到輸出交流電壓uO。

1.耦合電感的自感和互感當存在電流i1通過電感時，在線圈1中產(chǎn)生自感磁鏈1111=N111=L1i1

i1與11的方向滿足右手螺旋法則同時部分磁通穿過臨近線圈2，在圈2上產(chǎn)生互感磁鏈2121=N221=M21i1

M21

——線圈1與2的互感系數(shù)當線圈2也存在電流i2

時:=L1i1+M12i2=M21i1

+L2i21=11+122=21+22i2i1L1L2

11

221=L1i1±M21i22=±M12i1+L2i2兩個電感同時存在電流i1和i2時，通過每個電感的總磁鏈等于自感磁鏈疊加互感磁鏈，是電流i1和i2單獨作用時磁鏈的疊加。

22

11i1i2互感M12、M21的量值反映了一個電感在另一個電感產(chǎn)生磁鏈的能力。

根據(jù)電磁場理論可以證明：M12＝M21＝M，互感M的大小不僅與兩線圈的匝數(shù)、形狀及尺寸有關，還與兩線圈的相對位置有關。

耦合電感的自感電壓與互感電壓根據(jù)電磁感應定律，當電流i1和i2隨時間變化時，電感中磁鏈也隨時間變化，將在電感中產(chǎn)生感應電動勢。1=L1i1±M

i22=±M

i1+L2i2(電磁感應定律)由：

1

2i1–+u1–+u2i2互感電壓自感電壓

1

2i1–+u1–+u2i2互感電壓的正負號取決于磁通方向，當i1和i2在耦合線圈中產(chǎn)生的磁場方向相同而相互增強時，互感電壓的符號為正。反之為負。

1

2i1–+u1–+u2i2

1

2i1–+u1–+u2i2上圖：下圖：2.耦合電感的耦合系數(shù)k

一對耦合電感的電流產(chǎn)生的磁通只有部分磁通相交鏈，而彼此不交鏈的部分磁通稱為漏磁通。用耦合系數(shù)表征耦合電感的緊密程度k=1時稱為全耦合(緊耦合)

k值較小時稱為松耦合

k=0時為無耦合(孤立電感)

i1i1全耦合電感一般采用雙線并繞制作。3.耦合電感的同名端為了在看不見線圈相對位置和繞法的情況下，確定互感電壓取正號或負號，人們在耦合線圈的兩個端鈕上標注一對特殊的符號，稱為同名端(?,*)

。當兩個電流分別從兩個線圈對應的同名端端子流入時，互感電壓的符號為正，反之為負。+–u11+–u12i11N1N2+–u13N3**i2確定同名端的方法：(1)由線圈的相互繞法及線圈的相對位置方向確定兩線圈同名端。例，注意：線圈的同名端必須兩兩確定。11'22'**(2)未知互感線圈內(nèi)部結(jié)構時，測量兩個線圈中的感生電壓極性確定兩線圈同名端。11'22'3'3**由同名端及u,i參考方向確定互感電壓的極性Mi1+_+_L2L1u21u1Mi1+_+_L2L1u21u1u21–Mi1+u1+–u21–Mi1+u1+–4.耦合電感的電流電壓關系時域形式的方程為:在電路分析中耦合電感的互感電壓可以用電流控制電壓源(CCVS)來表征。Mi1+_+_L2L1u2u1i2–Mi1++L2L1i2––++–u1u12u21u2當兩電感中的電流為正弦交流電時，則：相量形式的方程為:–?1++jwL2jwL1?2––++–jwM相量模型電路2Hab4H4Hi1+_uabi2例1，求下圖耦合電感的端口等效電路。當

uab=30cos5t時，求Zab、i1、i2

。解:1)求Zab由端口VCR3H

2).當uab=30cos5t時，求i1、i22Hab4H4Hi1+_uabi2解:反變換：i1=2cos(5t–

90)A,

i1=cos(5t–90)A。例2，設uS=14cos10tV，求i1、i2

。解:1)畫相量模型電路(變換)j2j3j5?1?2+-23140V-j12).求i1、i20.2H0.3H0.5Hi1i2+-23uS0.1FR1R2L1L2由網(wǎng)孔方程：j2j3j5?1?2+-23140V-j1∴反變換：§11－2耦合電感的串聯(lián)與并聯(lián)一、互感線圈的串聯(lián)1.同名端順接+_uiLeqROMi+_L1uL2R1R22.同名端反接順接與反接通式：+_uiLeqROMi+_L1uL2R1R2*順接一次，反接一次，就可以測出互感：互感的測量方法：Mi1L1L2問題：已知L1

、L2

測量M(應用電感測試儀測量互感M)1.同側(cè)并聯(lián)i=i1+i2解得u,i

的關系：二、互感線圈的并聯(lián)LeqMi+_L2L1ui1i22.

異側(cè)并聯(lián)i=i1+i2解得u,i的關系：LeqMi+_L2L1ui1i2例1,求圖示電路開關閉合后的時間常數(shù)t。設k=0.5。K2HuSS2H22–+解:uS–+46H開關閉合后的等效電路如圖–+44H2H4HuSi例2，設us=10costV時求i

。解:uS–+43Hi§11-3

耦合電感的去耦等效電路討論耦合電感具有公共端的去耦等效電路Mi1L1+_u1i2L2+_u2i2i1u2++u1LaLbLc––當兩電路對應端口VCR相等時電路等效即：u1=f1(i1,i2)u2=f2(i1,i2)u1=f1(i1,i2)u2=f2(i1,i2)=去耦等效——去除互感M的等效公共端為同名端的等效電路++jLajLcjLb––?1?2jM?1+_?2+_jL2jL1++jLajLcjLb––?1?2jM?1+_?2+_jL2jL1兩電路等效方程組對應系數(shù)相等L1=La+LbL2=Lb+LcM=LbLa=L1–M

Lb=MLc

=L2–M

L1–ML2–MMML2L1L1–ML2–MMML2L1L1+ML2+M–M公共端為同名端公共端為異名端解：Lab=(L1–M)+M║(L2–M)例1,求Lab

。L1–ML2–MMab2H4H4Hab3H例2,求Zab

。Zab=(3+j3)+j2║j2=3+j4Wj2Wj5Wj2Wj2Wab3Wabj(5-2)Wj(2-2)Wj2Wj2W3Wi15W+-8W1Hus3Hi23.5H1H?15W+-8Wj4W?2j5Wj4W(1)畫電路的相量模型。(2)求i1、i2。(3)求8W電阻吸收的平均功率。解:Zin=(5+j5)+(j4)∥(8+j4)=6+j8例3,?15W+-8Wj4W?2j5Wj4W(2)反變換(3)求8W電阻吸收的平均功率。i11.2H3W+-2W0.8H0.2H0.2F0.2F+-u2us求i1(t)、u2(t)解:①等效變換②求i1(t)Zin=(3+j7)+(-j2)║(2+j4)=4+j4+-?13W+-2W-j1j7-j1j5-j1?2i1(t)=2cos5tA例4,

已知+-?13W+-2W-j1j7-j1j5-j1?2③求u2(t)§11-4空心變壓器電路分析變壓器空心變壓器：變壓器骨架材料為非磁性材料;磁芯變壓器:變壓器骨架材料為磁性材料。變壓器骨架空心變壓器：

L1、

L2、M較小主要用于高頻電路。iML2L1磁芯變壓器:

L1、

L2、M較大，性能接近理想變壓器。主要用于低頻電路。L∝

Nm,m——磁性材料的磁導率一.端接負載的空心變壓器初級端次級端ML1L2R1R2R1、

R2為電感內(nèi)阻,阻值較小。變壓器電路模型jM?1+_?2jL2jL1R1R2ZLZi?1+_ZL=RL+jXLjM?1+_?2jL2jL1R1R2ZL1.變壓器輸入阻抗Zi

的計算由網(wǎng)孔方程:Z11——稱為變壓器初級回路自阻抗，它是初級回路內(nèi)所有阻抗之和。Z22——稱為變壓器次級回路自阻抗，它是次級回路內(nèi)所有阻抗之和。Z12=Z21——稱為變壓器初級回路與次級回路的互阻抗。Z12=Z21=ZM=–jMjM?1+_?2jL2jL1R1R2ZLjM?1+_?2jL2jL1R1R2ZL=Z11+ZrefZref稱為次級回路折合到初級回路的反映阻抗Zref?1+_Z11初級等效電路2.次級等效電路jM?1+_?2jL2jL1R1R2ZL+––+?2Z22–jM?1++L2L1?2++–––ZLR1R2例1,已知L1=50.5mF,L2=50mF,M=0.5mF,US=10V,

=2×107rad/s。求i1,i2。解：①求i1Z11=R1+jL1+1/jC1=10+j1010-j1000=10+j10Z22=R2+jL2+1/jC2=10+j1000-j1000=10M=2×107×0.5×106=10=10+j10+10=20+j10ML1L2R1R2+-1010C1C2i1i2Zref?1+_Z11ML1L2R1R2+-1010C1C2i1i2Zi=20+j10US=10VZ22=10,jM=j10ML1L2R1R2+-4010C1C2?1?21nF1nF1mH1mH例2,已知US

=10V,w=106rad/s。為使R2