天然腸衣數(shù)學建模

摘要該題是以天然腸衣為背景，對其搭配問題進行探討和研究，建立數(shù)學模型，利用 編程，得到符合實際問題的最優(yōu)方案。在給出了成品規(guī)格表和原料描述表等資料的基礎上，采用整數(shù)線性規(guī)劃，分別以最大捆數(shù)、最優(yōu)方案、降級利用、時間限制四個方面為目標和約束條件建立最優(yōu)模型，利用編程，制作一套科學編程程序，整理合理的數(shù)據(jù)以及便利的搭配方案，從而達到提供生產效率的目的。首先，通過分析題目中成品捆數(shù)越多越好的要求，建立最大捆數(shù)最優(yōu)模型。對給出的成品規(guī)格數(shù)據(jù)分類為A、三類，對原料按長度分檔，以米為一檔，共46檔。考慮到選擇最短長度最長的成品越多方案越好以及剩余材料可以降級利用，我們采用“倒序（從大規(guī)格取到小規(guī)格）”方法。其次，在上述建立的最優(yōu)模型基礎上，根據(jù)總長度允許有土米的誤差,總根數(shù)允許比標準少1根這一約束條件，對不同規(guī)格建立約束條件函數(shù)并建立模型。最后，綜合以上兩個模型，把得出的規(guī)格余料降級至規(guī)格中，再建立規(guī)格模型，依次類推，利用求解，最后得出如下結果：規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)136,出11種分配方式，并且把剩余材料降級至13.5米檔使用。、規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)34，出3種分配方式，剩余根材料降級為6.5米檔使用。規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)17,出2種分配方式。剩余材料為下表最后，得出最終捆數(shù)為 （捆），該 程序能在分鐘內產生。關鍵字：整數(shù)規(guī)劃 編程搭配方案最優(yōu)模型一、問題重述天然腸衣（以下簡稱腸衣）制作加工是我國的一個傳統(tǒng)產業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經過清洗整理后被分割成長度不等的小段（原料），進入組裝工序。傳統(tǒng)的生產方式依靠人工，邊丈量原料長度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長度組裝出成品（捆）。原料按長度分檔，通常以0.米5為一檔，如：3-3米.按43米計算，3.米5-3.米9按3.米5計算，其余的依此類推。表1是幾種常見成品的規(guī)格，長度單位為米，表示沒有上限，但實際長度小于米。表1成品規(guī)格表最短長度最大長度根數(shù)總長度36.52089713.588914OO589為了提高生產效率，公司計劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個原料表。表2為某批次原料描述。表2原料描述表長度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設計-個原料搭E肚方案，工人根據(jù)這個方案“照召方抓藥”進行生產。公司對搭配方案有以下具體要求：對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；對于成品捆數(shù)相同的方案，最短長度最長的成品越多，方案越好；為提高原料使用率，總長度允許有±0.米5的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根；(4某)種規(guī)格對應原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級使用。如長度為14米的原料可以和長度介于7-13米.的5進行捆扎，成品屬于7-13米.的5規(guī)格；(5為)了食品保鮮,要求在30分鐘內產生方案。請建立上述問題的數(shù)學模型，給出求解方法，并對表1、表2給出的實際數(shù)據(jù)進行求解，給出搭配方案。二、問題分析2.1問題背景分析該題以腸衣制作加工為背景，由題意可知，目的為建立一種模型，通過計算，生成經過優(yōu)化后滿足成品規(guī)模要求的搭配方法，然后按照成品規(guī)格表，再根據(jù)“照方抓藥”選擇最優(yōu)方案，以達到減少勞動強度、提高生產效率的目的。2.問2題數(shù)據(jù)分析根據(jù)成品規(guī)格表，把成品規(guī)格分為三類，分別為A、B、C三類。原料按長度分檔，通常以0.米5為一檔，如：3-3米.按43米計算，3.米5米按 米計算，其余的依此類推，共 個小檔，在類中只有個可用數(shù)據(jù)。2.問3題要求分析題目要求裝出的成品捆數(shù)越多越好，建立f(x)的函數(shù)，當maxf(x)=€xi時，即可以達到最優(yōu)解，以捆數(shù)最大為目標方案進行優(yōu)化。綜合考慮到(2)(4)中的要求，所以先從大規(guī)格開始分析并且優(yōu)先選擇最長腸衣充分搭配，使剩余原料長度接近下一檔的最長腸衣長度。利用lingo軟件編程，求出最大捆數(shù)和每一規(guī)格在最大捆數(shù)下使用的具體根數(shù)。如果出現(xiàn)了剩余原料，則考慮降級使用，如長度為14米的原料可以和長度介于7-13米.的5進行捆扎，成品屬于7-13米.的規(guī)格。在優(yōu)化過程中考慮到提高原料利用率，約束條件為總長度允許有土 米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根。運用線性規(guī)劃，以捆數(shù)最大為目標方案進行優(yōu)化。最后，在確定了最大捆數(shù)的具體根數(shù)情況下，就每規(guī)格的具體搭配建立通用搭配模型，分別就三種規(guī)格具體數(shù)據(jù)，利用lingo軟件編程，求出三種規(guī)格成品各個搭配方案。三、模型假設假設在整理分配天然腸衣過程中不出現(xiàn)損壞情況。假設組裝整理任何時候機器和工人都正常并且不間斷工作假設不考慮時間、溫度、濕度等外界因素對腸衣質量的影響假設接口處長度忽略不計降級使用的原料不出現(xiàn)分割錯誤等問題該模型建立在一起理想化條件上，忽略外界因素對模型的影響四、符號說明X為某種搭配方式對應生產的腸衣捆數(shù)；ii為第幾種搭配方式；i表示第幾種搭配方式，i=l,2,3,...N；j表示第幾號材料,j=l,2,3,…24；R表示第i種搭配方式中，第j號材料的長度；ijL表示j號種材料的長度；jS表示表示j號材料的總根數(shù)。如Sl=35,表示14米檔的材料根數(shù)為35；j五、模型建立原料以3~3.4算為3米檔，3.5~3.9算為3.5米檔，依此類推。長度33.5424.52525.5根數(shù)435939001根據(jù)公司對搭配方案的要求，將不同長度的腸衣分為三個規(guī)格，3-6.5米為規(guī)格A；7-13.5米為規(guī)格B；14-25.5米為規(guī)格C。某種規(guī)格對應原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級使用。因此先從大規(guī)格開始分析求解。例如：大規(guī)格的材料有剩余，應降級算入規(guī)格中，對材料降檔處理。規(guī)格：規(guī)格類的材料為 米所取根數(shù)范圍為 ，并且所取總長度范圍[88.5，89.5],將材料進行編號：編號檔類數(shù)量編號

檔類數(shù)量1、根據(jù)條件1對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應的目標函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對應生產的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根，建立相應的約束條件：式表示i種搭配方式中，各檔材料的根數(shù)小于該材料的總根數(shù)；式表示i種搭配方式中，各檔材料的根數(shù)之和為4或5根；式表示i種搭配方式中，各檔材料的長度和的范圍是88.5,89.5］；式表示以i種搭配方式生產X捆成品，所需的各檔材料數(shù)小于該材料的總數(shù)；用LINGGO軟件進行優(yōu)化求解(附錄1)，求得局部最優(yōu)解，得到結果總捆數(shù)136捆。11種分配方式，其分配方案如下：1141151161171181192202212222325捆4.55.56.57.58.59.50.51.52.5.5.5數(shù)111111422111113531121274111285239612167111148111112911111111111101121111剩余材料表如下，并把剩余材料降級至13.5米使用:規(guī)格的余料20米檔1根21.5米檔2根22.5米檔1根規(guī)格：規(guī)格B類的材料為7~13.5米，所取根數(shù)范圍為 ，所取總長度范圍［88.5,89.5］，并考慮降級使用的材料，將材料進行歸于13.檔5。對材料進行編號并制

成下表：編號1234567891011121314檔類77.588.599.51010.51111.51212.51313.5數(shù)量2424202521232118312322591835+4=39i根據(jù)條件對于F給定的一批原料，裝出的成品?捆數(shù)i越多越好，可建立相應的目標函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對應生產的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根，建立相應的約束條件：用 求解得(附錄)：總捆數(shù)34捆。3種分配方式，其分配方案如下77.588.599.51010.51111.51212.51313.5捆數(shù)1111112122211211293121223剩余材料表如下，并把剩余材料降級至6.5米使用:規(guī)格及規(guī)格降級使用的余料米檔米檔米檔米檔米檔米檔米檔米檔規(guī)格：規(guī)格類的材料為3-6.5米，所取根數(shù)范圍為 ，所取總長度范圍［88.5,89.5］，并考慮降級使用的材料，將材料進行歸于6.檔5，考慮降級使用的材料對材料進行編號并制成下表。：編號檔類數(shù)量i根據(jù)條件對于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應的目標函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對應生產的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標準少1根，建立相應的約束條件：使用 軟件求解得：總捆數(shù)17捆。2種分配方式，其分配方案如下：33.544.555.566.5捆數(shù)134211224142013930213最終剩余材料:最終剩余材料：米檔根米檔根米檔根米檔根綜上，整理最終得出總捆數(shù)為六、模型優(yōu)缺點優(yōu)點:（1） 該方案，形式簡單，通俗易懂易，所有的數(shù)據(jù)已表格形式呈現(xiàn)，易于操作和查看。（2） 方案數(shù)直觀顯示各種配方的類型和所需數(shù)目，完全達到了“照方抓藥”的目的，也可以準確得出剩余數(shù)目，方便工人對所需要加工的腸衣種類做好準備。（3） 提高了生產的速度，降低成本。缺點:（1） 忽略原料損壞而使整個生產方案失效的情況。（2） 對軟件掌握不熟練，導致無法得出正確答案七、模型推廣該模型不僅應用于原料優(yōu)化搭配，而且還在其他的優(yōu)化系統(tǒng)中有著很廣泛的應用，由于線性規(guī)劃的問題涉及的因素很多，因此我們建立約束條件來滿足所有的因素。因此我們在解答線性規(guī)劃的優(yōu)化問題時，首先建立目標函數(shù)，其次依據(jù)所有的因素建立目標函數(shù)的約束條件，最后借助數(shù)學軟件來求解，得到我們滿意的方案。因此，對于生活中的實際問題，我們依據(jù)模型中的方法，我們可以為決策者提供一定經驗，讓決策者采用更合理的方案。對決策者有一定的指導意義。模型的推廣:模型還可運用到項目投資，證券交易等。附錄:程序：規(guī)格：22.523.525.5;enddatamax=@sum(pai:y);@for(liao(j):@sum(pai(i):y(i)*x(i,j))<=l(j));@for(liao(j):s(j)=l(j)-@sum