對(duì)稱在藝術(shù)與科學(xué)中的作用

對(duì)稱在藝術(shù)與科學(xué)中的作用1介紹數(shù)學(xué)是什么？對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們有很多的答案。一種回答就是，數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。這種研究的一個(gè)非常重要的方面就是要理解現(xiàn)象背后的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，更確切的說(shuō)，就是隱含的對(duì)稱。既然數(shù)學(xué)一貫都被認(rèn)為是理解自然界和宇宙的基本語(yǔ)言，我們當(dāng)然有理由相信，“對(duì)稱”將會(huì)在諸如藝術(shù)，文學(xué)和自然科學(xué)的方方面面扮演重要的角色。在本文中，我們討論幾個(gè)藝術(shù)，建筑和自然科學(xué)中的例子，其中將會(huì)看到對(duì)稱的觀念起了怎樣的關(guān)鍵作用。我們將帶著讀者領(lǐng)略浩瀚文獻(xiàn)中所描述的“對(duì)稱”，及其廣泛的應(yīng)用。下面是我們所要討論的專題目錄：1介紹2什么是對(duì)稱3破缺的對(duì)稱4廣義的對(duì)稱5對(duì)稱背后的數(shù)學(xué)6正多邊形與正多面體7平移對(duì)稱，晶體與擬晶體8雙曲鑲嵌9投影幾何與繪畫(huà)中的透視10特征值的美妙音符11素?cái)?shù)或齊達(dá)（zeta）函數(shù)的對(duì)稱12李群與物理13對(duì)稱空間14注記感謝作者感謝他的夫人一一王嵐在準(zhǔn)備這篇文章過(guò)程中所給予的幫助。徐浩翻譯了本文，周誠(chéng)放幫助整理了文中的圖片，一并表示感謝。2什么是對(duì)稱根據(jù)《美國(guó)傳統(tǒng)字典》，“對(duì)稱”是一條邊界（例如平面或直線）兩側(cè)，或者繞著圓心的形態(tài)與排列的對(duì)應(yīng)。根據(jù)《牛津字典》，“對(duì)稱”是一種結(jié)構(gòu)，使得物體可以被分割成形狀和大小相同的幾部分，或者是物體關(guān)于邊界和中心的類似重復(fù)。我們要舉的第一個(gè)例子，也許是大多數(shù)中國(guó)人最熟悉的，是北京的天壇。Fig0.北京天壇試想你沿著天壇的臺(tái)階拾級(jí)而上，一定會(huì)感受到一種和諧的美感。這座沿著道路中軸對(duì)稱的建筑展現(xiàn)了令人折服的莊嚴(yán)與肅穆，這是反射對(duì)稱（或鏡像對(duì)稱）的例子。再看一下印度阿格拉的泰姬陵，建于1632-1643年，是莫臥兒王朝帝王沙賈漢為愛(ài)妃泰吉?馬哈爾所造。據(jù)傳當(dāng)年沙賈漢聽(tīng)聞愛(ài)妃先他而去的消息后，竟一夜白頭。Fig1.泰姬陵這座建筑也是沿中心線對(duì)稱的。除了整體上的對(duì)稱，局部上也遵循了對(duì)稱美的原則。下面的建筑是希臘雅典的帕臺(tái)農(nóng)神廟，建于公元前448-432年。Fig2.帕臺(tái)農(nóng)神廟（再找一張）無(wú)論從前方或側(cè)面看，它都是對(duì)稱的。而它的柱子呈周期分布，也體現(xiàn)了一種平移對(duì)稱。下面的盂鼎鑄造于西周晚期，約公元前1100-1000年，也具有鏡像的對(duì)稱。Fig2.1.盂鼎日本鐮倉(cāng)的大佛建于1252年，體現(xiàn)了反射對(duì)稱。Fig3.日本大佛這里還有一個(gè)具有復(fù)雜對(duì)稱性的建筑，北京的一座石塔。Fig3.1.北京的石塔如果你在春暖花開(kāi)的時(shí)節(jié)走進(jìn)公園，你會(huì)看到爭(zhēng)妍斗麗的百花大都是對(duì)稱的。比如，冬烏頭就是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。Fig4.冬烏頭有些花還帶有更多的對(duì)稱，比如大麗花。Fig5,大麗花除了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，大麗花還有一種由內(nèi)而外、層次鮮明的對(duì)稱。多重對(duì)稱的疊加讓花朵更加的艷麗。另一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的美妙實(shí)例就是西班牙科多巴市的清真寺廟的圓屋頂。Fig6.西班牙清真寺圓屋頂巴黎圣母院北邊墻面上的巨大的玫瑰窗，有著五彩華麗的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，令人嘆為觀止。它建于1250年，圓面的直徑大約是40英尺。Fig6.1.巴黎圣母院的玫瑰窗我們前面提到過(guò)，雅典帕臺(tái)農(nóng)神廟的柱子市平移對(duì)稱的。這里我們?cè)俳o出三個(gè)例子。第一個(gè)是法國(guó)噶爾德橋下的導(dǎo)水渠，建于羅馬時(shí)期。Fig7.法國(guó)導(dǎo)水渠它有三層。雖然每層都有不同的樣式，可是我們還是可以看出某種相似性在里面。第二個(gè)例子是我國(guó)西北麥積山石窟的千佛廊，建于公元500年左右。上下兩層排列著258尊魏代石胎泥塑佛像。Fig7.1.佛像約旦Khirbat-al-Mafjar宮殿的方格地板的圖案具有兩種平移對(duì)稱。Fig8.約旦宮殿的地板另一個(gè)平移對(duì)稱的例子是南太平洋的復(fù)活節(jié)島上的石雕人像，雕刻于公元1000-1600年。Fig9.復(fù)活節(jié)島石像有的石像重量超過(guò)50噸。讓人費(fèi)解的是，為什么這些石像會(huì)出現(xiàn)在這個(gè)小島上？在沒(méi)有現(xiàn)代化起重機(jī)的幫助下，這些石像是如何豎立起來(lái)的？在上面的所有例子中，都包含著一個(gè)保持物體形狀或模式不變的等距群。前兩張圖的等距群是由相對(duì)于中線的反射生成的二階群。在第二組圖片中，是一個(gè)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的有限群。在最后的一組圖片中，如果假設(shè)物體延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處，那么就有一個(gè)無(wú)窮的平移變換群作用在其上，并且保持模式不變。在這些圖片的基礎(chǔ)上，我們可以從數(shù)學(xué)上給出一個(gè)物體“對(duì)稱”的定義，即有一些非平凡的等距作用在其上。明顯的，這樣的等距全體構(gòu)成了一個(gè)群，并把物體分成了相同的幾個(gè)部分（也就是等距群基本區(qū)域的平移），如同我們?cè)谶@一節(jié)開(kāi)頭所介紹的那樣。同樣的，我們成一個(gè)物體是非對(duì)稱的，如果不存在非平凡等距作用在其上。給了兩個(gè)物體A與B，如果A的等距群包含了B的等距群，那么我們就說(shuō)A比B更加的對(duì)稱。為了更好的表述這些概念，我們考慮如下四個(gè)圖形，圓，正方形，長(zhǎng)方形和一個(gè)不規(guī)則的四邊形。Fig10.四個(gè)圖形明顯的，最后這個(gè)四邊形不是“對(duì)稱”的。同樣，直覺(jué)告訴我們，圓是最對(duì)稱的，正方形比長(zhǎng)方形更加的對(duì)稱。事實(shí)上，圓的等距群是無(wú)窮的，并且包含了正方形的有限等距群，而后者又包含了長(zhǎng)方形的等距群。3.破缺的對(duì)稱人生不可能是盡善盡美的。我們也很難找到一朵花是完美無(wú)缺的。雖然人體總的來(lái)說(shuō)是左右對(duì)稱的，可是這種對(duì)稱遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是完全的。每個(gè)人左右手的粗細(xì)不一樣，一只眼睛比另一只眼睛更大或更圓，耳垂的形狀也不同。最明顯的，就是每個(gè)人只有一個(gè)心臟，通常都在靠右的位置（當(dāng)然也有極少數(shù)人的心臟在左側(cè)）。不僅日常生活中我們會(huì)有意的打破對(duì)稱，藝術(shù)家有時(shí)也會(huì)極力的創(chuàng)造出不對(duì)稱的圖像和物體，可是仍然給人以和諧與平衡的美感。我們以仰韶文化的一個(gè)陪葬用的器皿為例，這也許可算是最古老的實(shí)物之一。Fig10.1.陪葬器皿這件看起來(lái)似乎工整的器皿其實(shí)并不對(duì)稱。除了明顯的不太完美的反射對(duì)稱外，瓶頸處的貼瓷也是對(duì)稱的。請(qǐng)看建于1145年的法國(guó)沙特爾大教堂。Fig11.不對(duì)稱的教堂教堂在塔樓以下的部分是反射對(duì)稱的。同樣在局部上也有許多的對(duì)稱。例如，中間的窗子是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。試想一下，如果塔樓也是對(duì)稱的，那么這座教堂看起來(lái)也許就沒(méi)有現(xiàn)在那么吸引人了。許多人也許會(huì)有這樣的共識(shí)，臉上如果有一個(gè)美人痔，那么會(huì)讓人眼前一亮，可是如果有兩個(gè)對(duì)稱的美人痔，肯定會(huì)讓人覺(jué)得不舒服。下面是一副大約公元前2530年的埃及古畫(huà)，其中鵝的排列是對(duì)稱的，可是兩邊的鵝卻著上了不同的顏色。讀者不妨體會(huì)一下，到底是對(duì)稱的著色還是現(xiàn)在這樣比較好。Fig12.鵝，埃及古畫(huà)有時(shí)候?qū)ΨQ會(huì)以一種非常微妙的方式出現(xiàn)。比如，看一下建于公元前486一460年的奧林匹亞宙斯神廟的西門的三角楣上的雕塑，它的外輪廓（或者用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是閉包）呈現(xiàn)出反射對(duì)稱性，并且中線兩邊的人數(shù)相等。可是兩邊的塑像卻有著天壤之別。Fig13.宙斯神廟破缺對(duì)稱另一個(gè)例子是下面這幅鑲嵌畫(huà)，講述的是耶穌用發(fā)五條魚(yú)，兩個(gè)餅讓五千信徒吃飽的故事。Fig14.圣經(jīng)故事這副12到13世紀(jì)的尼泊爾古畫(huà)給出了破缺對(duì)稱的另一個(gè)例子。Fig14.1.尼泊爾古畫(huà)上面的例子都是反射對(duì)稱的變體。平移對(duì)稱的近似也出現(xiàn)在藝術(shù)中。例如，在宋朝著名畫(huà)家米友仁的畫(huà)中，山峰基本上是呈現(xiàn)周期變化的。Fig15.米友仁的國(guó)畫(huà)另一個(gè)近似平移對(duì)稱的例子是北京頤和園內(nèi)沿著湖岸的畫(huà)廊。Fig15.1.頤和園讀者不妨分析一下，下面這幅鄭板橋的竹畫(huà)中是否也蘊(yùn)含了平移對(duì)稱呢。4.廣義的對(duì)稱在許多情況下，和諧或有序來(lái)自于多種對(duì)稱運(yùn)算的組合。直線上的周期現(xiàn)象來(lái)自于一個(gè)給定非零實(shí)數(shù)的疊加。在指數(shù)映射exp:—〉0下，瞼上的平移就轉(zhuǎn)換成正的半直線〉0上的乘法。我們給出兩個(gè)從平移，旋轉(zhuǎn)和比例變換產(chǎn)生出有序模式的例子。第一個(gè)是伊朗沙馬拉的清真寺，建于公元848-852年。其中的塔樓把垂直平移，水平面上的旋轉(zhuǎn)，以及比例變換結(jié)合了起來(lái)。Fig16.清真寺的塔樓第二個(gè)例子是鸚鵡螺的殼，是旋轉(zhuǎn)與比例變換的完美結(jié)合。Fig17.鸚鵡螺的殼另一類對(duì)稱的變體就是，雖然局部上是對(duì)稱的，可是不存在整體的對(duì)稱。一個(gè)著名的例子是彭羅斯平鋪，這是非周期的。Fig18.彭羅斯平鋪分形是用來(lái)處理不規(guī)則形狀的?？墒撬鼈冇兄姸嗟木植繉?duì)稱。事實(shí)上，在比例變換下，這種模式不斷重復(fù)出現(xiàn)。在這種意義下，它有著豐富的局部對(duì)稱性。人們創(chuàng)造了有許多漂亮的分形圖片，下面就是其中一張。Fig19.分形5對(duì)稱背后的數(shù)學(xué)如我們前面所定義的，平面上一個(gè)物體如果有一個(gè)非平凡的對(duì)稱群作用，則稱它是對(duì)稱的。所以對(duì)稱現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)就是群論。群論是法國(guó)青年數(shù)學(xué)家伽羅華為了用根式來(lái)解決代數(shù)方程而引入的。Fig20.伽羅華我們知道任意二次方程破2+bx+c=0可以用根式來(lái)解。16世紀(jì)時(shí)人們就發(fā)現(xiàn)三次和四次代數(shù)方程可以用根式來(lái)解。對(duì)于高次方程一直都不得其解，直到19世紀(jì)阿貝爾證明了，對(duì)5次以上方程，不存在一個(gè)一般解的公式。對(duì)于某些特殊的高次方程，仍然可以用根式來(lái)解。伽羅華用代數(shù)方程的對(duì)稱性給出了方程可解的精確條件。他的結(jié)論也許有些令人驚訝：如果方程具有過(guò)多對(duì)稱的話，那么就不能用根式來(lái)解。（這似乎有悖于人們的認(rèn)識(shí)，豐富的對(duì)稱性通?？梢宰寙?wèn)題得到簡(jiǎn)化。所以對(duì)于對(duì)稱的合理解釋就顯得非常重要）考慮下面三個(gè)方程其中*,a6是隨機(jī)選取的整數(shù)。我們應(yīng)該怎樣定義一個(gè)方程的對(duì)稱性，己及對(duì)稱程度的比較？精確的定義需要相當(dāng)?shù)募记?。我們可以粗略的描述為，每個(gè)方程都有一個(gè)有限群，稱為伽羅華群。伽羅華群越大，就越對(duì)稱。第一個(gè)方程有平凡的對(duì)稱（或者干脆說(shuō)沒(méi)有對(duì)稱），所以可以很容易解出，即x=1。第二個(gè)方程的對(duì)稱性也很小，所以方程可以用根式解出：X1=2,X2=_],%=LX4=~\:5,X5=_*'5。也許稍有些意外的是，最后這個(gè)具有隨機(jī)系數(shù)的方程是最對(duì)稱的，所以不能夠用根式解出。根據(jù)通常的認(rèn)識(shí)，隨機(jī)性與對(duì)稱性應(yīng)該是背道而馳的，所以我們會(huì)傾向于認(rèn)為一個(gè)具有隨機(jī)系數(shù)的方程不是對(duì)稱的?？墒窃谠S多情況下，我們也看到隨機(jī)是被某些對(duì)稱所支配的。另一個(gè)例子是，隨機(jī)矩陣的特征值分布是由多種對(duì)稱性支配的（參看文章［KS］或本文的第11節(jié)）。這種現(xiàn)象可以用中國(guó)的一句成語(yǔ)來(lái)描述，就是“物極必反”。伽羅華群是有限的。我們前面遇到的對(duì)稱群，除了直線『上的平移群以外，也都是有限的。所有實(shí)數(shù)集合『構(gòu)成一個(gè)群，直線上周期現(xiàn)象的平移群是它的一個(gè)子群。是挪威數(shù)學(xué)家索菲斯?李所引入的李群的一個(gè)重要例子。Fig21.索菲斯?李（Lie）李群通常是不可數(shù)的，并且有非平凡的拓?fù)?，雖然它們包含某些有限群與離散子群作為特例。另一個(gè)重要的例子是〃中全體正交變換構(gòu)成的群0（〃），一個(gè)非交換（或非阿貝爾）群。另一個(gè)稍大的群是乃中的全體可逆線性變換構(gòu)成的群GL（n,）。另一個(gè)重要的例子是作用在n上的特殊酉群SU（n）。在數(shù)學(xué)中，對(duì)稱的概念經(jīng)常與李群的概念等同起來(lái)。我們稱一個(gè)對(duì)象（或一個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)映射，一個(gè)微分方程）具有由一個(gè)李群G所給定的對(duì)稱，當(dāng)這個(gè)群G保持不變地作用在其上，或者滿足某個(gè)簡(jiǎn)單的變換條件。比如，我們熟知sin2心以1為周期，所以在平移群一的作用下保持不變。函數(shù)sin2心的圖像是一個(gè)波。下面的畫(huà)出自一位日本畫(huà)家OgataKoran（1658-1716）之手，包含了許多這種波。Fig21.1.日本畫(huà)一波雖然函數(shù)弟不是周期的，它在平移作用下滿足一個(gè)簡(jiǎn)單的公式：KHueK，所以弟相對(duì)于平移群，也享有某種對(duì)稱性。這種連續(xù)的比例變換是中國(guó)山水畫(huà)的重要組成部分。6正多邊形與正多面體代數(shù)方程的伽羅華群論也許有些抽象和形式化。讓我們回到對(duì)稱的更加幾何直觀的概念。如同前面所提到的那樣，正方形比長(zhǎng)方形更加的規(guī)則。事實(shí)上，正方形是正多邊形的一種。一個(gè)正多邊形滿足（1）所有的邊長(zhǎng)都相等；（2）相鄰邊夾成的角度都相等。Fig22.正多邊形的例子當(dāng)邊數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，正多邊形就收斂到圓，所以圓可以解釋為完美理想的正多邊形。每個(gè)正多邊形具有反射和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，在相同邊數(shù)的多邊形中無(wú)疑是對(duì)稱程度最高的。另一方面，在藝術(shù)和建筑中，常用的往往是那些非等邊的三角形。比如帕臺(tái)農(nóng)神廟頂部的三角形，還有金字塔就不是等邊的。非常受歡迎的是黃金三角形和相應(yīng)的黃金分割。關(guān)于黃金分割及其應(yīng)用的詳細(xì)討論，請(qǐng)參看［Li］。在拉斐爾的名畫(huà)“牧場(chǎng)圣女”中，我們可以看到其中的許多三角形。我們留給讀者一個(gè)小練習(xí)，就是找出其中一共有多少個(gè)三角形。Fig23.拉斐爾的名畫(huà)圓周是理想化的正多邊形，具有無(wú)窮的對(duì)稱性。它在中國(guó)傳統(tǒng)藝術(shù)中被廣為使用。我們給出幾個(gè)例子。第一個(gè)是山東梁帝墓（約公元150年）Fig24.梁帝墓如同車輪的圓代表著運(yùn)動(dòng)。圓形圖案也傳達(dá)了一種和諧與寧?kù)o。第二個(gè)是南京蕭景墓前的帶翅石獅。Fig25.蕭景墓前的帶翅石獅另一個(gè)例子是公元前10世紀(jì)的周朝尖牙虎銅雕Fig25.1.周朝尖牙虎銅雕圓形代表了一種向上運(yùn)動(dòng)的感覺(jué)，可是它也傳達(dá)著權(quán)勢(shì)和實(shí)力。它也透露著寧?kù)o的氣息。事實(shí)上，在中國(guó)園林設(shè)計(jì)中，圓形圖案占了很大的比重?？匆幌绿K州園林的兩處門洞。Fig25.2.蘇州園林正多邊形到三維歐氏空間3的推廣，就是正多面體。與二維情形不同，一共只有5種正多面體。R由于圓周的良好性質(zhì)，它是所有等長(zhǎng)曲線中包圍面積最大的。同樣的，三維歐氏空間3中的球面也具有同樣的極值性質(zhì)。這也解釋了為何肥皂泡都是球形的（還有熱氣球）。由定義，一個(gè)多面體被稱為正多面體，如果滿足下面的條件：它被有限多個(gè)平面包圍，每個(gè)面都是正多邊形；所有面在等距下都是相同的；所有相鄰平面間的二面角都相等。明顯的，立方體是正多面體。其它四個(gè)正多面體是：正四面體，正八面體正十二面體和正二十面體。它們的等距群是O（3）的有限子群，并且可以具體的計(jì)算出來(lái)。Fig26.正多面體事實(shí)上，恩貝多克利（Empedocles，公元490-430年）認(rèn)為，萬(wàn)物都是由四種基本元素構(gòu)成的：火，空氣，水和土。這個(gè)理論在希臘被廣泛接受。既然正多面體是完全理想化的，而世界也是完美的，柏拉圖于是提出，世界是由正多面體構(gòu)成的。火對(duì)應(yīng)于正四面體，正二十面體有著最多的面，最易滑動(dòng)，就對(duì)應(yīng)于水，土就是正立方體，空氣就是正八面體。剩下的正十二面體就代表宇宙。由于等邊三角形存在于正四面體，正八面體和正二十面體中，所以火，空氣和水可以相互轉(zhuǎn)換，但不能轉(zhuǎn)換成正立方體代表的土。開(kāi)普勒用正多面體建立了行星運(yùn)動(dòng)理論。所以人們相信正多面體在微觀和宏觀上都起著統(tǒng)治作用。正多面體理論及其推廣在數(shù)學(xué)中非常重要，比如，在Coxeter的反射群理論，以及李群論和圈形簇理論中。關(guān)于多面體的輕松而又詳細(xì)的討論，可以看［Cr］和經(jīng)典專著［Co］。7平移對(duì)稱，晶體與擬晶體平移對(duì)稱自然地出現(xiàn)在晶體中，還有貼墻紙和鋪瓷磚也不例外。位于西班牙格蘭納達(dá)的阿爾汗布拉宮的墻壁裝飾，很好地展現(xiàn)了二維的對(duì)稱。Fig27.阿爾汗布拉宮墻紙如下是著名版畫(huà)家Escher的作品Fig28.Escher作品與這種模式相關(guān)的是數(shù)學(xué)中“格”的概念?；貞浺幌?，2中的各是指由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量v1,v2生成的離散子群，L=v1+v2。技一個(gè)明顯的格是2，它由V]=(1,0),v2=(0,1)生成?；谶@個(gè)格的平鋪如下所示： 易Fig29.方格平鋪明顯的，這種平鋪在2的平移作用下保持不變?？墒撬€有其它的對(duì)稱，比如，相對(duì)于任意一個(gè)角旋轉(zhuǎn)45度，或者相對(duì)于對(duì)角線的反射。方格平鋪的對(duì)稱性與格2的對(duì)稱性一致。記G=I(2)為2的等距變換群。那么任意格的等距群就是G的子群，稱為晶體群。它包含嫻作為有限指數(shù)的子群。晶體群在晶體的研究中起了重要的作用。格的結(jié)構(gòu)決定了許多性質(zhì)，特別是晶體的電子性質(zhì)?；镜脑蛟谟?，相對(duì)于格的周期函數(shù)的譜理論確實(shí)依賴于格的性質(zhì)。這種對(duì)稱性在理解晶體中X射線折射的內(nèi)在性質(zhì)方面發(fā)揮了重要的作用。晶體的對(duì)稱性體現(xiàn)在分子的排列上。其實(shí)，對(duì)稱性的考慮在原子級(jí)別上也很重要。參看[HD]。下面我們還將看到，對(duì)稱在亞原子粒子中也很重要。同樣，對(duì)稱也在研究恒星，太陽(yáng)系的和整個(gè)宇宙的天體物理學(xué)中起著重要的作用。大家最熟悉的晶體也許是(小顆的)鉆石?？墒蔷薮蟮木w結(jié)構(gòu)也在自然界中存在，比如，愛(ài)爾蘭的巨人石道。每根柱子的截面就是近似的正六邊形，與蜂窩類似。Fig30.愛(ài)爾蘭巨人石道雖然原則上有無(wú)窮多種墻紙的設(shè)計(jì)方案。只有17種(或在仿射變換群作用下的共扼類)不同的晶體群。注意不是在等距群下的共扼類。為了解釋這種差異，我們注意到所有格都在某個(gè)仿射變換，而不是等距群下共扼?；貞浢總€(gè)晶體群A包含平移子群L，并且商A：L是一個(gè)作用在L上的有限正交群，稱為格的點(diǎn)群。(A/L,L)這樣的對(duì)稱為Bravais格。我們發(fā)現(xiàn)剛好有14個(gè)Bravais格。17與14的差別在于A不是由(A/L,L)唯一確定的。更多的討論，請(qǐng)參看[We][St][SK]。值得一提的是，一般的乃中的晶體群等價(jià)類的有限性是著名的希爾波特第

十八問(wèn)題。這已經(jīng)被Bieberbach在1910年完全解決了。詳細(xì)的分類是很困難的。比如，在三維有230種不同類型。Fig31.希爾伯特與Bieberbach晶體群的分類不僅是數(shù)學(xué)上有趣的問(wèn)題，在固體物理中也有重要應(yīng)用。事實(shí)上，它在晶體的分類方面很重要，對(duì)于1984年擬晶體的發(fā)現(xiàn)也起了關(guān)鍵的作用。其實(shí)，按照晶體群的分類來(lái)看，1984年發(fā)現(xiàn)的晶體化合物有著驚人的五重點(diǎn)群結(jié)構(gòu)。擬晶體具有擬周期性：它的排列并不完全重復(fù)，但是卻具有很強(qiáng)的局部正則性。生成擬晶體結(jié)構(gòu)的一種典型的方法是，取非有理嵌入在乃中的子空間V，以及一個(gè)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)、結(jié)構(gòu)有理的格結(jié)構(gòu)（到周期平鋪的分解）的交。平鋪允許我們可以用一種模式周期地覆蓋住整個(gè)平面。一個(gè)自然的問(wèn)題是，那種平鋪可以用非周期的方式覆蓋住整個(gè)平面。這被稱為非周期平鋪。一個(gè)著名的例子是我們前面提到的彭羅斯平鋪。這種非周期平鋪很自然地出現(xiàn)在擬晶體中。請(qǐng)參考彭羅斯的文章［Pe］。如我們提到的那樣，圓周在中國(guó)傳統(tǒng)藝術(shù)中被廣泛使用。我們現(xiàn)在給出一種平移對(duì)稱的模式，或稱比例變換對(duì)稱：>0/］RM在這些映射下，『的周期平移就成為連續(xù)的比例變換。在唐寅的畫(huà)中，山的深邃與宏大被連續(xù)的比例變換描繪出來(lái)。Fig32.唐寅的雪山圖這種提升視野的手法在中國(guó)山水畫(huà)李有著重要的地位，引導(dǎo)觀眾深入到畫(huà)中?？匆幌鹿?0世紀(jì)時(shí)董源的山水畫(huà)。Fig32.董源山水畫(huà)還有董其昌的畫(huà)Fig34.青平山許多中國(guó)山水畫(huà)展現(xiàn)連續(xù)比例變換和相關(guān)的對(duì)稱。這里是更進(jìn)一步的例子。Fig34.1Fig34.2Fig34.3Fig34.48雙曲鑲嵌到目前為止，我們集中于2中的平鋪。另一類平鋪在如下Escher給出圖中Fig35.雙曲鑲嵌 住與下面的圖作比較Fig35.1.雙曲鑲嵌另一張類似的圖Fig36.Escher的空間平鋪在這些照片中，瓷片在邊界附近變得越來(lái)越小，并且他們看起來(lái)不是周期的。另一方面，他們都體現(xiàn)了和諧與均衡。我們可以證明當(dāng)圓盤是龐卡萊圓盤(即具有常負(fù)曲率度量)時(shí)，那么這是周期的。另一方面，第二張圖不是周期的，雖然通過(guò)比例變換，他們是局部對(duì)稱。另一個(gè)更簡(jiǎn)單的雙曲平面模型是其中在圓盤模型中，群SL(2,R)變成了SU(1,1)。上面Escher的第一章圖相對(duì)于SU(1,1)的一個(gè)合適的離散子群是周期的。事實(shí)上，這個(gè)圖將龐卡萊圓盤按照一個(gè)基本區(qū)域作了分解。9投影幾何與繪畫(huà)中的透視在上面的討論中，我們主要集中于平面2的對(duì)稱。在上一節(jié)，我們考慮了雙曲鑲嵌的平鋪的例子。平面的曲率為零，雙曲平面具有常負(fù)曲率一1。根據(jù)23歲的Klein在1872年提出的Erlanger綱領(lǐng)，它們是非常不同的幾何。Fig37.Klein在這個(gè)綱領(lǐng)中，幾何由它的變換群所決定。在這個(gè)思想下，歐式平面幾何與雙曲幾何都是射影幾何的子集。參看［Kl,第38章］。令人驚訝的是，射影幾何的發(fā)展受到繪畫(huà)中的透視方法的很大影響。我們熟知，平面上兩條平行線永不相交。另一方面，投影空間中的兩條直線交于某一點(diǎn)。射影平面是通過(guò)在普通平面上加一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)得到的。在西方繪畫(huà)中，這一點(diǎn)稱為消失點(diǎn)，構(gòu)成了畫(huà)面的焦點(diǎn)，其它的事物都是根據(jù)這點(diǎn)出發(fā)的直線來(lái)描繪?？匆幌逻_(dá)芬奇的“最后的晚餐”。Fig38.最后的晚餐Fig38.a,帶直線的最后的晚餐以及拉斐爾的畫(huà)“雅典學(xué)派”Fig39.雅典學(xué)派Fig39.a.帶透視線的畫(huà)在這幅圖中，建筑物的深度清楚可見(jiàn)，是通過(guò)與中國(guó)畫(huà)完全不同的手法得到的。另一方面，他們是類似的，因?yàn)槎际諗炕蜈呄蛴跓o(wú)窮遠(yuǎn)處。10特征值的美妙音符對(duì)稱或正則的概念在數(shù)學(xué)中非常重要，一個(gè)例子與著名的問(wèn)題“聽(tīng)出一個(gè)鼓的形狀”有關(guān)。這個(gè)問(wèn)題最早由洛侖茲，后來(lái)由Kac在一篇著名的文章“Canyouheartheshapeofadrum?”中提出.洛侖茲在1910年的根廷根大學(xué)提出一個(gè)問(wèn)題，能夠聽(tīng)出一個(gè)鼓的體積。這個(gè)問(wèn)題被當(dāng)時(shí)還是學(xué)生的Weyl解決，令人驚嘆。這是Weyl偉大數(shù)學(xué)生涯的開(kāi)始，對(duì)稱是Weyl工作的一個(gè)主旋律。請(qǐng)參看文章[Ya1][Pe]。Fig40.Weyl更精確的，這個(gè)問(wèn)題可以敘述如下。給定〃中的一個(gè)有界域。，具有良好的邊界?？紤]Dirichlet邊值問(wèn)題， r特征值構(gòu)成了一個(gè)遞增列氣<X2<。特征值對(duì)應(yīng)于鼓。的頻率，也就是我們可以聽(tīng)到的音調(diào)。問(wèn)題就是，是否鼓。的面積可以被這些特征值人,?所決定。???著名的Weyl定理說(shuō)，小于人的特征值的個(gè)數(shù)按照cnvol（。）；形式增長(zhǎng)，其中七是只依賴于維數(shù)的萬(wàn)有常數(shù)。從這個(gè)公式我們就可以看出特征值決定了vol（。）。這個(gè)定理也可以表述為，正規(guī)化的特征值c人j在合理的常數(shù)c下，按照，增長(zhǎng)。這是非常了不起的公式，因?yàn)樘卣鞯挠?jì)算通常是很困難的，而且頭幾個(gè)特征值往往并不以對(duì)稱或規(guī)則的模式出現(xiàn)。如我們?cè)谇懊嫠懻摰?，序?,2,，是最對(duì)稱的對(duì)象，自然的在藝術(shù)中占有一席之地。一個(gè)自然的問(wèn)題是，差以t-i的行為如何。這個(gè)問(wèn)題很復(fù)雜。它的分布很可能由某個(gè)更高層次的對(duì)稱所支配，這是受到了我們下面將要討論的黎曼zeta函數(shù)G（s）的啟發(fā)。11素?cái)?shù)或齊達(dá)（zeta）函數(shù)的對(duì)稱素?cái)?shù)2,3,5,7,11,是最基本和重要的研究對(duì)象?？墒撬鼈?cè)谧匀粩?shù)列1,2,3,中的分布看起來(lái)好像完全是隨機(jī)的。研究它們的一個(gè)重要工具就是著名的黎曼zeta函數(shù)。Fig41.黎曼???它定義在Re(s)>1上，81；(s)=^-n=1必可以亞純解析延拓到整個(gè)復(fù)平面上。我們把頃S)規(guī)范化，得到&(1-s)=&(s)頃s)=K-s2r(必(s)。J烏(s)或頃s)的一個(gè)重要性質(zhì)是下面的函數(shù)方程即它關(guān)于直線Re(s)=1對(duì)稱。這就反映出了序列1,2,3,，或者說(shuō)整個(gè)整數(shù)集合2的對(duì)稱性。讓我驚訝的是，這個(gè)對(duì)稱性質(zhì)的證明與雙曲鑲嵌的對(duì)稱性有關(guān)，也就是相對(duì)于模群SL(2,)的模性質(zhì)。簡(jiǎn)而言之，雙曲鑲嵌要求在SL(2,R)的離散子群(例如SL(2,))作用下的不變性，模形式滿足SL(2,)作用下的某些變換律。模性的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中頻繁出現(xiàn)。一個(gè)例子是郎蘭茲綱領(lǐng)，即何有意義和實(shí)際的數(shù)的序列都是模性的，也就是說(shuō)它們是一個(gè)模形式(或自守表示)的系數(shù)。一個(gè)著名的例子就是懷爾斯關(guān)于費(fèi)馬大定理的證明。另一個(gè)重要的例子是Borcherds[Bo]證明的大魔群的月光猜想，他為此得到了1998年的菲爾茲獎(jiǎng)。這也可以解釋為數(shù)學(xué)和自然科學(xué)中無(wú)處不在的對(duì)稱。Zeta函數(shù)的零點(diǎn)匚(s)在素?cái)?shù)分布的研究中特別重要。著名的黎曼猜測(cè)說(shuō)，它的所有非平凡零點(diǎn)都出現(xiàn)在對(duì)稱線Re(s)=1上。這是美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所懸2賞百萬(wàn)美元的難題。對(duì)稱性在。(s)的零點(diǎn)分布方面發(fā)揮了重要的作用。事實(shí)上，在合理的正規(guī)化以后，零點(diǎn)的分布可以用李群來(lái)控制，李群也支配了隨機(jī)矩陣特征值的間隔。12李群與物理對(duì)稱與李群在物理學(xué)中有許多應(yīng)用。在物理學(xué)中的應(yīng)用在極大刺激了群倫的發(fā)展。事實(shí)上，量子力學(xué)極大影響了李群表示論的發(fā)展。對(duì)稱可以在物理學(xué)中從多個(gè)層面上觀察到。例如，在牛頓力學(xué)中，包括萬(wàn)有引力定律在內(nèi)的許多定律都在平移，旋轉(zhuǎn)和反射下保持不變。在廣義相對(duì)論中，對(duì)稱性由洛倫茲群(或龐卡萊群)所支配。狹義相對(duì)論的一個(gè)重要特征就是空間與時(shí)間的觀念是對(duì)稱的。其實(shí)，偉大的物理學(xué)家Dirac對(duì)楊振寧說(shuō)過(guò)，這個(gè)概念也許是愛(ài)因斯坦對(duì)物理學(xué)最大的貢獻(xiàn)（參考［Ya2,p.23］）。對(duì)稱性在物理中的一個(gè)非常重要的應(yīng)用是，可以從對(duì)稱推出守恒律，這是歷史上最著名的女?dāng)?shù)學(xué)家EmmyNoether證明的。比如，空間中的平移對(duì)稱（或不變性）可以推出動(dòng)量的守恒律，時(shí)間的平移不變性可以推出能量的守恒律。參考［LH］，有一個(gè)很友好的關(guān)于Noether定理及其應(yīng)用的討論。Noether定理的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述，請(qǐng)參考［Mr,Theoremp.330］。如我們?cè)谖恼麻_(kāi)頭所討論的那樣，反射對(duì)稱在藝術(shù)中也普遍存在?？墒窃谖锢碇?，這是最復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的。兩個(gè)分別發(fā)生在右手坐標(biāo)和左手坐標(biāo)系里的物理現(xiàn)象稱為宇稱守恒。事實(shí)上，楊振寧和李政道在1956年提出，在弱作用領(lǐng)域，宇稱是不守恒的。他們?yōu)榇嗽?957年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，它們的發(fā)現(xiàn)被著名華裔女物理學(xué)家吳健雄用實(shí)驗(yàn)證實(shí)。參考［Lee］中關(guān)于物理學(xué)中弱作用的介紹。對(duì)稱性（或群論）在物理學(xué)中的另一個(gè)了不起的應(yīng)用是關(guān)于亞原子粒子（稱為八重道粒子）的分類規(guī)劃，這種命名來(lái)自于佛教中的八正道（EightfoldWay），這是佛教認(rèn)為可以達(dá)到至善至美的中庸之道。為了解釋這一規(guī)劃，Gell-Mann引入了基本夸克，使他在1969年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，一個(gè)粒子對(duì)應(yīng)于希爾波特空間上哈密爾頓作用的特征函數(shù)。如果一個(gè)李群保持哈密爾頓作用（或與之交換），那么哈密爾頓作用的特征空間就是表示空間。同一個(gè)特征空間中的狀態(tài)有許多共同的性質(zhì)。除了有時(shí)出現(xiàn)的退化現(xiàn)象，特征空間給出了群的所有不可約表示，并且術(shù)語(yǔ)一個(gè)不可約子空間的特征函數(shù)（或狀態(tài)）自然的形成初等粒子的多重態(tài)。在1960年代初期，許多新的亞原子結(jié)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)，可是缺少一致的組成結(jié)構(gòu)。李群SU（3）的加權(quán)空間分解給出了粒子多重態(tài)的參數(shù)化。一個(gè)相關(guān)的特別重要的表示是李代數(shù)su（3）的伴隨表示，它是八維的，所以命名為八重道。一些新的粒子最早就是由這個(gè)分類所預(yù)言，后來(lái)由實(shí)驗(yàn)加以證實(shí)。除了這些和SU（3）的平凡表示，只有另一個(gè)10維的表示很自然的出現(xiàn)。SU⑶在3上的標(biāo)準(zhǔn)表示并不出現(xiàn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)表示中的三個(gè)權(quán)向量被Gell-Mann稱為夸克。對(duì)表示的標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算，如取張量和對(duì)稱積可以用來(lái)解釋和澄清亞原子粒子的某些結(jié)構(gòu)。在這個(gè)意義下來(lái)說(shuō)，SU（3）代表了宇宙的對(duì)稱（或者更加謙虛的說(shuō)，代表了亞原子世界的對(duì)稱）。詳細(xì)請(qǐng)參看［St,Chap5］。對(duì)稱在物理中的其它應(yīng)用，請(qǐng)看楊振寧先生的文章［Ya2］。13對(duì)稱空間在上面的各節(jié)中，我們討論了歐氏空間，雙曲平面（即龐卡萊圓盤）中的對(duì)稱物體和對(duì)稱模式。雖然前面沒(méi)有提，可是直覺(jué)告訴我們，這些空間一定是對(duì)稱的，至少具有豐富的對(duì)稱性質(zhì)。事實(shí)上，這個(gè)條件是必要的。我們發(fā)現(xiàn)，他們是一類非常重要，被稱為對(duì)稱空間的黎曼流形的兩個(gè)實(shí)例。對(duì)稱空間的定義比對(duì)稱物體的定義要復(fù)雜得多。我們只作簡(jiǎn)要討論。在〃中，任意兩個(gè)都沒(méi)有區(qū)別，因?yàn)槲覀兛偪梢杂靡粋€(gè)等距平移把一個(gè)點(diǎn)變到另一個(gè)點(diǎn)。具有這種性質(zhì)的空間稱為齊性空間。在n中，一個(gè)更強(qiáng)的性質(zhì)是，任意兩點(diǎn)處的任意兩個(gè)方向都是一樣的，也就是說(shuō)可以用一個(gè)等距，把一個(gè)方向變到另一個(gè)方向。這些性質(zhì)雙曲平面也同樣具有，可是這還不是對(duì)稱空間的正確定義。對(duì)稱空間的正確定義是說(shuō)，在每一個(gè)點(diǎn)處，相對(duì)于它的反射都是空間的整體等距。我們很容易驗(yàn)證歐氏空間和雙曲平面是對(duì)稱空間。對(duì)稱空間的另一個(gè)重要例子是復(fù)平面2，但它不滿足上面兩個(gè)條件。對(duì)稱空間定義以后，一個(gè)自然的問(wèn)題是，是否它們與李群相關(guān)，我們已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)李群是對(duì)稱概念的嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?；卮甬?dāng)然是肯定的，對(duì)稱空間與李群的關(guān)系仍然是數(shù)學(xué)中的一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。比如，朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何背景就由對(duì)稱空間及其商空間構(gòu)成。14注記對(duì)稱在許多場(chǎng)合中出現(xiàn)。完美的上帝創(chuàng)造完美的宇宙，對(duì)稱是其中的重要一環(huán)。完美的理想化總是通過(guò)對(duì)稱表現(xiàn)出來(lái)。本文中有許多專題并未提及。其實(shí)，關(guān)于對(duì)稱的不同方面都有許多的專著。這里是向讀者推薦一些。Weyl有一本經(jīng)典的書(shū)[We]。一本最近和比較容易的書(shū)是Walser撰寫的[Wa]。幾本其它關(guān)于對(duì)稱的書(shū)是Istvan和MagolnaHargitta寫的[HH]，Lederman和Hill的[Le]，Rosen的[Ro]，以及Jablan的[Ja]。對(duì)于在化學(xué)中的應(yīng)用的比較輕松的介紹，請(qǐng)看Heibronner和Dunitz的書(shū)[HD]。幾何與對(duì)稱在藝術(shù)和生活中的應(yīng)用請(qǐng)看Ghyka的[Gh]。關(guān)于物理學(xué)中的對(duì)稱，請(qǐng)看Feynman的書(shū)[Fe]，還有Wigne的[Wi]，以及前面提到過(guò)的楊振寧的文章[Ya2]。參考文獻(xiàn)[Ar]M.Armstrong,Groupsandsymmetries,Springer,1988.[Co]H.Coxeter,Regularpolytopes,TheMacmillanCo.,1963.[Cr]P.Cromwell,Polyhedra,CambridgeUniversityPress,1997.[De]K.Devlin,Mathematics:thescienceofpatterns,ScientificAmericanLibrary,1997.[Fe]R.Feynman,Thecharacterofphysicallaw,TheModernLibrary,1994.[Gh]M.Ghyka,Thegeometryofartandlife,Dover1977.[HSP]T.Hales,P.Sarnak,M.Pugh,Advancesinrandommatrixtheory,zetafunctions,andspherepacking,Proc.Natl.Acad.Sci.USA97(2000)12963-12964.[HH]I.Hargitta,M.Hargitta,Symmetry:AUnifyingConcept,ShelterPublications,Inc,1994.[HD]E.Heilbronner,J.Dunitz,Reflectionsonsymmetry,VerlagHelveticaChimicaActa,Basel,1993.[Ja]{ja}S.Jablan,Theoryofsymmetryandornament},Beograd,MatematickiInstitut,1995.[Ka]M.Kac,Canoneheartheshapeofadrum,Amer.Math.Monthly73(1966)no.4,partII,1-23.[KS]N.Katz,P.Sarnak,Zeroesofzetafunctionsandsymmetry,Bull.Amer.Math.Soc.36(1999)1-26.[Kl1]M.Kline,Mathematicalthoughtfromancienttomoderntimes,OxfordUniversityPress,1972.[Kl2]M.Kline,Mathematicsinwesternculture,OxfordUniversityPress,1953.[Li]M.Livio,Thegoldenratio,BroadwayBooks,200