對稱在藝術(shù)與科學中的作用

對稱在藝術(shù)與科學中的作用1介紹數(shù)學是什么？對這個問題，我們有很多的答案。一種回答就是，數(shù)學是研究數(shù)與形的科學。這種研究的一個非常重要的方面就是要理解現(xiàn)象背后的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，更確切的說，就是隱含的對稱。既然數(shù)學一貫都被認為是理解自然界和宇宙的基本語言，我們當然有理由相信，“對稱”將會在諸如藝術(shù)，文學和自然科學的方方面面扮演重要的角色。在本文中，我們討論幾個藝術(shù)，建筑和自然科學中的例子，其中將會看到對稱的觀念起了怎樣的關(guān)鍵作用。我們將帶著讀者領(lǐng)略浩瀚文獻中所描述的“對稱”，及其廣泛的應(yīng)用。下面是我們所要討論的專題目錄：1介紹2什么是對稱3破缺的對稱4廣義的對稱5對稱背后的數(shù)學6正多邊形與正多面體7平移對稱，晶體與擬晶體8雙曲鑲嵌9投影幾何與繪畫中的透視10特征值的美妙音符11素數(shù)或齊達（zeta）函數(shù)的對稱12李群與物理13對稱空間14注記感謝作者感謝他的夫人一一王嵐在準備這篇文章過程中所給予的幫助。徐浩翻譯了本文，周誠放幫助整理了文中的圖片，一并表示感謝。2什么是對稱根據(jù)《美國傳統(tǒng)字典》，“對稱”是一條邊界（例如平面或直線）兩側(cè)，或者繞著圓心的形態(tài)與排列的對應(yīng)。根據(jù)《牛津字典》，“對稱”是一種結(jié)構(gòu)，使得物體可以被分割成形狀和大小相同的幾部分，或者是物體關(guān)于邊界和中心的類似重復。我們要舉的第一個例子，也許是大多數(shù)中國人最熟悉的，是北京的天壇。Fig0.北京天壇試想你沿著天壇的臺階拾級而上，一定會感受到一種和諧的美感。這座沿著道路中軸對稱的建筑展現(xiàn)了令人折服的莊嚴與肅穆，這是反射對稱（或鏡像對稱）的例子。再看一下印度阿格拉的泰姬陵，建于1632-1643年，是莫臥兒王朝帝王沙賈漢為愛妃泰吉?馬哈爾所造。據(jù)傳當年沙賈漢聽聞愛妃先他而去的消息后，竟一夜白頭。Fig1.泰姬陵這座建筑也是沿中心線對稱的。除了整體上的對稱，局部上也遵循了對稱美的原則。下面的建筑是希臘雅典的帕臺農(nóng)神廟，建于公元前448-432年。Fig2.帕臺農(nóng)神廟（再找一張）無論從前方或側(cè)面看，它都是對稱的。而它的柱子呈周期分布，也體現(xiàn)了一種平移對稱。下面的盂鼎鑄造于西周晚期，約公元前1100-1000年，也具有鏡像的對稱。Fig2.1.盂鼎日本鐮倉的大佛建于1252年，體現(xiàn)了反射對稱。Fig3.日本大佛這里還有一個具有復雜對稱性的建筑，北京的一座石塔。Fig3.1.北京的石塔如果你在春暖花開的時節(jié)走進公園，你會看到爭妍斗麗的百花大都是對稱的。比如，冬烏頭就是旋轉(zhuǎn)對稱的。Fig4.冬烏頭有些花還帶有更多的對稱，比如大麗花。Fig5,大麗花除了旋轉(zhuǎn)對稱，大麗花還有一種由內(nèi)而外、層次鮮明的對稱。多重對稱的疊加讓花朵更加的艷麗。另一個旋轉(zhuǎn)對稱的美妙實例就是西班牙科多巴市的清真寺廟的圓屋頂。Fig6.西班牙清真寺圓屋頂巴黎圣母院北邊墻面上的巨大的玫瑰窗，有著五彩華麗的旋轉(zhuǎn)對稱，令人嘆為觀止。它建于1250年，圓面的直徑大約是40英尺。Fig6.1.巴黎圣母院的玫瑰窗我們前面提到過，雅典帕臺農(nóng)神廟的柱子市平移對稱的。這里我們再給出三個例子。第一個是法國噶爾德橋下的導水渠，建于羅馬時期。Fig7.法國導水渠它有三層。雖然每層都有不同的樣式，可是我們還是可以看出某種相似性在里面。第二個例子是我國西北麥積山石窟的千佛廊，建于公元500年左右。上下兩層排列著258尊魏代石胎泥塑佛像。Fig7.1.佛像約旦Khirbat-al-Mafjar宮殿的方格地板的圖案具有兩種平移對稱。Fig8.約旦宮殿的地板另一個平移對稱的例子是南太平洋的復活節(jié)島上的石雕人像，雕刻于公元1000-1600年。Fig9.復活節(jié)島石像有的石像重量超過50噸。讓人費解的是，為什么這些石像會出現(xiàn)在這個小島上？在沒有現(xiàn)代化起重機的幫助下，這些石像是如何豎立起來的？在上面的所有例子中，都包含著一個保持物體形狀或模式不變的等距群。前兩張圖的等距群是由相對于中線的反射生成的二階群。在第二組圖片中，是一個由旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的有限群。在最后的一組圖片中，如果假設(shè)物體延伸到無窮遠處，那么就有一個無窮的平移變換群作用在其上，并且保持模式不變。在這些圖片的基礎(chǔ)上，我們可以從數(shù)學上給出一個物體“對稱”的定義，即有一些非平凡的等距作用在其上。明顯的，這樣的等距全體構(gòu)成了一個群，并把物體分成了相同的幾個部分（也就是等距群基本區(qū)域的平移），如同我們在這一節(jié)開頭所介紹的那樣。同樣的，我們成一個物體是非對稱的，如果不存在非平凡等距作用在其上。給了兩個物體A與B，如果A的等距群包含了B的等距群，那么我們就說A比B更加的對稱。為了更好的表述這些概念，我們考慮如下四個圖形，圓，正方形，長方形和一個不規(guī)則的四邊形。Fig10.四個圖形明顯的，最后這個四邊形不是“對稱”的。同樣，直覺告訴我們，圓是最對稱的，正方形比長方形更加的對稱。事實上，圓的等距群是無窮的，并且包含了正方形的有限等距群，而后者又包含了長方形的等距群。3.破缺的對稱人生不可能是盡善盡美的。我們也很難找到一朵花是完美無缺的。雖然人體總的來說是左右對稱的，可是這種對稱遠遠不是完全的。每個人左右手的粗細不一樣，一只眼睛比另一只眼睛更大或更圓，耳垂的形狀也不同。最明顯的，就是每個人只有一個心臟，通常都在靠右的位置（當然也有極少數(shù)人的心臟在左側(cè)）。不僅日常生活中我們會有意的打破對稱，藝術(shù)家有時也會極力的創(chuàng)造出不對稱的圖像和物體，可是仍然給人以和諧與平衡的美感。我們以仰韶文化的一個陪葬用的器皿為例，這也許可算是最古老的實物之一。Fig10.1.陪葬器皿這件看起來似乎工整的器皿其實并不對稱。除了明顯的不太完美的反射對稱外，瓶頸處的貼瓷也是對稱的。請看建于1145年的法國沙特爾大教堂。Fig11.不對稱的教堂教堂在塔樓以下的部分是反射對稱的。同樣在局部上也有許多的對稱。例如，中間的窗子是旋轉(zhuǎn)對稱的。試想一下，如果塔樓也是對稱的，那么這座教堂看起來也許就沒有現(xiàn)在那么吸引人了。許多人也許會有這樣的共識，臉上如果有一個美人痔，那么會讓人眼前一亮，可是如果有兩個對稱的美人痔，肯定會讓人覺得不舒服。下面是一副大約公元前2530年的埃及古畫，其中鵝的排列是對稱的，可是兩邊的鵝卻著上了不同的顏色。讀者不妨體會一下，到底是對稱的著色還是現(xiàn)在這樣比較好。Fig12.鵝，埃及古畫有時候?qū)ΨQ會以一種非常微妙的方式出現(xiàn)。比如，看一下建于公元前486一460年的奧林匹亞宙斯神廟的西門的三角楣上的雕塑，它的外輪廓（或者用數(shù)學的語言來說就是閉包）呈現(xiàn)出反射對稱性，并且中線兩邊的人數(shù)相等。可是兩邊的塑像卻有著天壤之別。Fig13.宙斯神廟破缺對稱另一個例子是下面這幅鑲嵌畫，講述的是耶穌用發(fā)五條魚，兩個餅讓五千信徒吃飽的故事。Fig14.圣經(jīng)故事這副12到13世紀的尼泊爾古畫給出了破缺對稱的另一個例子。Fig14.1.尼泊爾古畫上面的例子都是反射對稱的變體。平移對稱的近似也出現(xiàn)在藝術(shù)中。例如，在宋朝著名畫家米友仁的畫中，山峰基本上是呈現(xiàn)周期變化的。Fig15.米友仁的國畫另一個近似平移對稱的例子是北京頤和園內(nèi)沿著湖岸的畫廊。Fig15.1.頤和園讀者不妨分析一下，下面這幅鄭板橋的竹畫中是否也蘊含了平移對稱呢。4.廣義的對稱在許多情況下，和諧或有序來自于多種對稱運算的組合。直線上的周期現(xiàn)象來自于一個給定非零實數(shù)的疊加。在指數(shù)映射exp:—〉0下，瞼上的平移就轉(zhuǎn)換成正的半直線〉0上的乘法。我們給出兩個從平移，旋轉(zhuǎn)和比例變換產(chǎn)生出有序模式的例子。第一個是伊朗沙馬拉的清真寺，建于公元848-852年。其中的塔樓把垂直平移，水平面上的旋轉(zhuǎn)，以及比例變換結(jié)合了起來。Fig16.清真寺的塔樓第二個例子是鸚鵡螺的殼，是旋轉(zhuǎn)與比例變換的完美結(jié)合。Fig17.鸚鵡螺的殼另一類對稱的變體就是，雖然局部上是對稱的，可是不存在整體的對稱。一個著名的例子是彭羅斯平鋪，這是非周期的。Fig18.彭羅斯平鋪分形是用來處理不規(guī)則形狀的?？墒撬鼈冇兄姸嗟木植繉ΨQ。事實上，在比例變換下，這種模式不斷重復出現(xiàn)。在這種意義下，它有著豐富的局部對稱性。人們創(chuàng)造了有許多漂亮的分形圖片，下面就是其中一張。Fig19.分形5對稱背后的數(shù)學如我們前面所定義的，平面上一個物體如果有一個非平凡的對稱群作用，則稱它是對稱的。所以對稱現(xiàn)象背后的數(shù)學就是群論。群論是法國青年數(shù)學家伽羅華為了用根式來解決代數(shù)方程而引入的。Fig20.伽羅華我們知道任意二次方程破2+bx+c=0可以用根式來解。16世紀時人們就發(fā)現(xiàn)三次和四次代數(shù)方程可以用根式來解。對于高次方程一直都不得其解，直到19世紀阿貝爾證明了，對5次以上方程，不存在一個一般解的公式。對于某些特殊的高次方程，仍然可以用根式來解。伽羅華用代數(shù)方程的對稱性給出了方程可解的精確條件。他的結(jié)論也許有些令人驚訝：如果方程具有過多對稱的話，那么就不能用根式來解。（這似乎有悖于人們的認識，豐富的對稱性通?？梢宰寙栴}得到簡化。所以對于對稱的合理解釋就顯得非常重要）考慮下面三個方程其中*,a6是隨機選取的整數(shù)。我們應(yīng)該怎樣定義一個方程的對稱性，己及對稱程度的比較？精確的定義需要相當?shù)募记?。我們可以粗略的描述為，每個方程都有一個有限群，稱為伽羅華群。伽羅華群越大，就越對稱。第一個方程有平凡的對稱（或者干脆說沒有對稱），所以可以很容易解出，即x=1。第二個方程的對稱性也很小，所以方程可以用根式解出：X1=2,X2=_],%=LX4=~\:5,X5=_*'5。也許稍有些意外的是，最后這個具有隨機系數(shù)的方程是最對稱的，所以不能夠用根式解出。根據(jù)通常的認識，隨機性與對稱性應(yīng)該是背道而馳的，所以我們會傾向于認為一個具有隨機系數(shù)的方程不是對稱的。可是在許多情況下，我們也看到隨機是被某些對稱所支配的。另一個例子是，隨機矩陣的特征值分布是由多種對稱性支配的（參看文章［KS］或本文的第11節(jié)）。這種現(xiàn)象可以用中國的一句成語來描述，就是“物極必反”。伽羅華群是有限的。我們前面遇到的對稱群，除了直線『上的平移群以外，也都是有限的。所有實數(shù)集合『構(gòu)成一個群，直線上周期現(xiàn)象的平移群是它的一個子群。是挪威數(shù)學家索菲斯?李所引入的李群的一個重要例子。Fig21.索菲斯?李（Lie）李群通常是不可數(shù)的，并且有非平凡的拓撲，雖然它們包含某些有限群與離散子群作為特例。另一個重要的例子是〃中全體正交變換構(gòu)成的群0（〃），一個非交換（或非阿貝爾）群。另一個稍大的群是乃中的全體可逆線性變換構(gòu)成的群GL（n,）。另一個重要的例子是作用在n上的特殊酉群SU（n）。在數(shù)學中，對稱的概念經(jīng)常與李群的概念等同起來。我們稱一個對象（或一個系統(tǒng)，一個映射，一個微分方程）具有由一個李群G所給定的對稱，當這個群G保持不變地作用在其上，或者滿足某個簡單的變換條件。比如，我們熟知sin2心以1為周期，所以在平移群一的作用下保持不變。函數(shù)sin2心的圖像是一個波。下面的畫出自一位日本畫家OgataKoran（1658-1716）之手，包含了許多這種波。Fig21.1.日本畫一波雖然函數(shù)弟不是周期的，它在平移作用下滿足一個簡單的公式：KHueK，所以弟相對于平移群，也享有某種對稱性。這種連續(xù)的比例變換是中國山水畫的重要組成部分。6正多邊形與正多面體代數(shù)方程的伽羅華群論也許有些抽象和形式化。讓我們回到對稱的更加幾何直觀的概念。如同前面所提到的那樣，正方形比長方形更加的規(guī)則。事實上，正方形是正多邊形的一種。一個正多邊形滿足（1）所有的邊長都相等；（2）相鄰邊夾成的角度都相等。Fig22.正多邊形的例子當邊數(shù)趨于無窮時，正多邊形就收斂到圓，所以圓可以解釋為完美理想的正多邊形。每個正多邊形具有反射和旋轉(zhuǎn)對稱性，在相同邊數(shù)的多邊形中無疑是對稱程度最高的。另一方面，在藝術(shù)和建筑中，常用的往往是那些非等邊的三角形。比如帕臺農(nóng)神廟頂部的三角形，還有金字塔就不是等邊的。非常受歡迎的是黃金三角形和相應(yīng)的黃金分割。關(guān)于黃金分割及其應(yīng)用的詳細討論，請參看［Li］。在拉斐爾的名畫“牧場圣女”中，我們可以看到其中的許多三角形。我們留給讀者一個小練習，就是找出其中一共有多少個三角形。Fig23.拉斐爾的名畫圓周是理想化的正多邊形，具有無窮的對稱性。它在中國傳統(tǒng)藝術(shù)中被廣為使用。我們給出幾個例子。第一個是山東梁帝墓（約公元150年）Fig24.梁帝墓如同車輪的圓代表著運動。圓形圖案也傳達了一種和諧與寧靜。第二個是南京蕭景墓前的帶翅石獅。Fig25.蕭景墓前的帶翅石獅另一個例子是公元前10世紀的周朝尖牙虎銅雕Fig25.1.周朝尖牙虎銅雕圓形代表了一種向上運動的感覺，可是它也傳達著權(quán)勢和實力。它也透露著寧靜的氣息。事實上，在中國園林設(shè)計中，圓形圖案占了很大的比重?？匆幌绿K州園林的兩處門洞。Fig25.2.蘇州園林正多邊形到三維歐氏空間3的推廣，就是正多面體。與二維情形不同，一共只有5種正多面體。R由于圓周的良好性質(zhì)，它是所有等長曲線中包圍面積最大的。同樣的，三維歐氏空間3中的球面也具有同樣的極值性質(zhì)。這也解釋了為何肥皂泡都是球形的（還有熱氣球）。由定義，一個多面體被稱為正多面體，如果滿足下面的條件：它被有限多個平面包圍，每個面都是正多邊形；所有面在等距下都是相同的；所有相鄰平面間的二面角都相等。明顯的，立方體是正多面體。其它四個正多面體是：正四面體，正八面體正十二面體和正二十面體。它們的等距群是O（3）的有限子群，并且可以具體的計算出來。Fig26.正多面體事實上，恩貝多克利（Empedocles，公元490-430年）認為，萬物都是由四種基本元素構(gòu)成的：火，空氣，水和土。這個理論在希臘被廣泛接受。既然正多面體是完全理想化的，而世界也是完美的，柏拉圖于是提出，世界是由正多面體構(gòu)成的?；饘?yīng)于正四面體，正二十面體有著最多的面，最易滑動，就對應(yīng)于水，土就是正立方體，空氣就是正八面體。剩下的正十二面體就代表宇宙。由于等邊三角形存在于正四面體，正八面體和正二十面體中，所以火，空氣和水可以相互轉(zhuǎn)換，但不能轉(zhuǎn)換成正立方體代表的土。開普勒用正多面體建立了行星運動理論。所以人們相信正多面體在微觀和宏觀上都起著統(tǒng)治作用。正多面體理論及其推廣在數(shù)學中非常重要，比如，在Coxeter的反射群理論，以及李群論和圈形簇理論中。關(guān)于多面體的輕松而又詳細的討論，可以看［Cr］和經(jīng)典專著［Co］。7平移對稱，晶體與擬晶體平移對稱自然地出現(xiàn)在晶體中，還有貼墻紙和鋪瓷磚也不例外。位于西班牙格蘭納達的阿爾汗布拉宮的墻壁裝飾，很好地展現(xiàn)了二維的對稱。Fig27.阿爾汗布拉宮墻紙如下是著名版畫家Escher的作品Fig28.Escher作品與這種模式相關(guān)的是數(shù)學中“格”的概念?；貞浺幌拢?中的各是指由兩個線性無關(guān)向量v1,v2生成的離散子群，L=v1+v2。技一個明顯的格是2，它由V]=(1,0),v2=(0,1)生成?；谶@個格的平鋪如下所示： 易Fig29.方格平鋪明顯的，這種平鋪在2的平移作用下保持不變?？墒撬€有其它的對稱，比如，相對于任意一個角旋轉(zhuǎn)45度，或者相對于對角線的反射。方格平鋪的對稱性與格2的對稱性一致。記G=I(2)為2的等距變換群。那么任意格的等距群就是G的子群，稱為晶體群。它包含嫻作為有限指數(shù)的子群。晶體群在晶體的研究中起了重要的作用。格的結(jié)構(gòu)決定了許多性質(zhì)，特別是晶體的電子性質(zhì)?；镜脑蛟谟?，相對于格的周期函數(shù)的譜理論確實依賴于格的性質(zhì)。這種對稱性在理解晶體中X射線折射的內(nèi)在性質(zhì)方面發(fā)揮了重要的作用。晶體的對稱性體現(xiàn)在分子的排列上。其實，對稱性的考慮在原子級別上也很重要。參看[HD]。下面我們還將看到，對稱在亞原子粒子中也很重要。同樣，對稱也在研究恒星，太陽系的和整個宇宙的天體物理學中起著重要的作用。大家最熟悉的晶體也許是(小顆的)鉆石。可是巨大的晶體結(jié)構(gòu)也在自然界中存在，比如，愛爾蘭的巨人石道。每根柱子的截面就是近似的正六邊形，與蜂窩類似。Fig30.愛爾蘭巨人石道雖然原則上有無窮多種墻紙的設(shè)計方案。只有17種(或在仿射變換群作用下的共扼類)不同的晶體群。注意不是在等距群下的共扼類。為了解釋這種差異，我們注意到所有格都在某個仿射變換，而不是等距群下共扼?；貞浢總€晶體群A包含平移子群L，并且商A：L是一個作用在L上的有限正交群，稱為格的點群。(A/L,L)這樣的對稱為Bravais格。我們發(fā)現(xiàn)剛好有14個Bravais格。17與14的差別在于A不是由(A/L,L)唯一確定的。更多的討論，請參看[We][St][SK]。值得一提的是，一般的乃中的晶體群等價類的有限性是著名的希爾波特第

十八問題。這已經(jīng)被Bieberbach在1910年完全解決了。詳細的分類是很困難的。比如，在三維有230種不同類型。Fig31.希爾伯特與Bieberbach晶體群的分類不僅是數(shù)學上有趣的問題，在固體物理中也有重要應(yīng)用。事實上，它在晶體的分類方面很重要，對于1984年擬晶體的發(fā)現(xiàn)也起了關(guān)鍵的作用。其實，按照晶體群的分類來看，1984年發(fā)現(xiàn)的晶體化合物有著驚人的五重點群結(jié)構(gòu)。擬晶體具有擬周期性：它的排列并不完全重復，但是卻具有很強的局部正則性。生成擬晶體結(jié)構(gòu)的一種典型的方法是，取非有理嵌入在乃中的子空間V，以及一個相對標準、結(jié)構(gòu)有理的格結(jié)構(gòu)（到周期平鋪的分解）的交。平鋪允許我們可以用一種模式周期地覆蓋住整個平面。一個自然的問題是，那種平鋪可以用非周期的方式覆蓋住整個平面。這被稱為非周期平鋪。一個著名的例子是我們前面提到的彭羅斯平鋪。這種非周期平鋪很自然地出現(xiàn)在擬晶體中。請參考彭羅斯的文章［Pe］。如我們提到的那樣，圓周在中國傳統(tǒng)藝術(shù)中被廣泛使用。我們現(xiàn)在給出一種平移對稱的模式，或稱比例變換對稱：>0/］RM在這些映射下，『的周期平移就成為連續(xù)的比例變換。在唐寅的畫中，山的深邃與宏大被連續(xù)的比例變換描繪出來。Fig32.唐寅的雪山圖這種提升視野的手法在中國山水畫李有著重要的地位，引導觀眾深入到畫中?？匆幌鹿?0世紀時董源的山水畫。Fig32.董源山水畫還有董其昌的畫Fig34.青平山許多中國山水畫展現(xiàn)連續(xù)比例變換和相關(guān)的對稱。這里是更進一步的例子。Fig34.1Fig34.2Fig34.3Fig34.48雙曲鑲嵌到目前為止，我們集中于2中的平鋪。另一類平鋪在如下Escher給出圖中Fig35.雙曲鑲嵌 住與下面的圖作比較Fig35.1.雙曲鑲嵌另一張類似的圖Fig36.Escher的空間平鋪在這些照片中，瓷片在邊界附近變得越來越小，并且他們看起來不是周期的。另一方面，他們都體現(xiàn)了和諧與均衡。我們可以證明當圓盤是龐卡萊圓盤(即具有常負曲率度量)時，那么這是周期的。另一方面，第二張圖不是周期的，雖然通過比例變換，他們是局部對稱。另一個更簡單的雙曲平面模型是其中在圓盤模型中，群SL(2,R)變成了SU(1,1)。上面Escher的第一章圖相對于SU(1,1)的一個合適的離散子群是周期的。事實上，這個圖將龐卡萊圓盤按照一個基本區(qū)域作了分解。9投影幾何與繪畫中的透視在上面的討論中，我們主要集中于平面2的對稱。在上一節(jié)，我們考慮了雙曲鑲嵌的平鋪的例子。平面的曲率為零，雙曲平面具有常負曲率一1。根據(jù)23歲的Klein在1872年提出的Erlanger綱領(lǐng)，它們是非常不同的幾何。Fig37.Klein在這個綱領(lǐng)中，幾何由它的變換群所決定。在這個思想下，歐式平面幾何與雙曲幾何都是射影幾何的子集。參看［Kl,第38章］。令人驚訝的是，射影幾何的發(fā)展受到繪畫中的透視方法的很大影響。我們熟知，平面上兩條平行線永不相交。另一方面，投影空間中的兩條直線交于某一點。射影平面是通過在普通平面上加一個無窮遠點得到的。在西方繪畫中，這一點稱為消失點，構(gòu)成了畫面的焦點，其它的事物都是根據(jù)這點出發(fā)的直線來描繪?？匆幌逻_芬奇的“最后的晚餐”。Fig38.最后的晚餐Fig38.a,帶直線的最后的晚餐以及拉斐爾的畫“雅典學派”Fig39.雅典學派Fig39.a.帶透視線的畫在這幅圖中，建筑物的深度清楚可見，是通過與中國畫完全不同的手法得到的。另一方面，他們是類似的，因為都收斂或趨向于無窮遠處。10特征值的美妙音符對稱或正則的概念在數(shù)學中非常重要，一個例子與著名的問題“聽出一個鼓的形狀”有關(guān)。這個問題最早由洛侖茲，后來由Kac在一篇著名的文章“Canyouheartheshapeofadrum?”中提出.洛侖茲在1910年的根廷根大學提出一個問題，能夠聽出一個鼓的體積。這個問題被當時還是學生的Weyl解決，令人驚嘆。這是Weyl偉大數(shù)學生涯的開始，對稱是Weyl工作的一個主旋律。請參看文章[Ya1][Pe]。Fig40.Weyl更精確的，這個問題可以敘述如下。給定〃中的一個有界域。，具有良好的邊界?？紤]Dirichlet邊值問題， r特征值構(gòu)成了一個遞增列氣<X2<。特征值對應(yīng)于鼓。的頻率，也就是我們可以聽到的音調(diào)。問題就是，是否鼓。的面積可以被這些特征值人,?所決定。???著名的Weyl定理說，小于人的特征值的個數(shù)按照cnvol（。）；形式增長，其中七是只依賴于維數(shù)的萬有常數(shù)。從這個公式我們就可以看出特征值決定了vol（。）。這個定理也可以表述為，正規(guī)化的特征值c人j在合理的常數(shù)c下，按照，增長。這是非常了不起的公式，因為特征的計算通常是很困難的，而且頭幾個特征值往往并不以對稱或規(guī)則的模式出現(xiàn)。如我們在前面所討論的，序列1,2,，是最對稱的對象，自然的在藝術(shù)中占有一席之地。一個自然的問題是，差以t-i的行為如何。這個問題很復雜。它的分布很可能由某個更高層次的對稱所支配，這是受到了我們下面將要討論的黎曼zeta函數(shù)G（s）的啟發(fā)。11素數(shù)或齊達（zeta）函數(shù)的對稱素數(shù)2,3,5,7,11,是最基本和重要的研究對象?？墒撬鼈冊谧匀粩?shù)列1,2,3,中的分布看起來好像完全是隨機的。研究它們的一個重要工具就是著名的黎曼zeta函數(shù)。Fig41.黎曼???它定義在Re(s)>1上，81；(s)=^-n=1必可以亞純解析延拓到整個復平面上。我們把頃S)規(guī)范化，得到&(1-s)=&(s)頃s)=K-s2r(必(s)。J烏(s)或頃s)的一個重要性質(zhì)是下面的函數(shù)方程即它關(guān)于直線Re(s)=1對稱。這就反映出了序列1,2,3,，或者說整個整數(shù)集合2的對稱性。讓我驚訝的是，這個對稱性質(zhì)的證明與雙曲鑲嵌的對稱性有關(guān)，也就是相對于模群SL(2,)的模性質(zhì)。簡而言之，雙曲鑲嵌要求在SL(2,R)的離散子群(例如SL(2,))作用下的不變性，模形式滿足SL(2,)作用下的某些變換律。模性的現(xiàn)象在數(shù)學和物理學中頻繁出現(xiàn)。一個例子是郎蘭茲綱領(lǐng)，即何有意義和實際的數(shù)的序列都是模性的，也就是說它們是一個模形式(或自守表示)的系數(shù)。一個著名的例子就是懷爾斯關(guān)于費馬大定理的證明。另一個重要的例子是Borcherds[Bo]證明的大魔群的月光猜想，他為此得到了1998年的菲爾茲獎。這也可以解釋為數(shù)學和自然科學中無處不在的對稱。Zeta函數(shù)的零點匚(s)在素數(shù)分布的研究中特別重要。著名的黎曼猜測說，它的所有非平凡零點都出現(xiàn)在對稱線Re(s)=1上。這是美國克雷數(shù)學研究所懸2賞百萬美元的難題。對稱性在。(s)的零點分布方面發(fā)揮了重要的作用。事實上，在合理的正規(guī)化以后，零點的分布可以用李群來控制，李群也支配了隨機矩陣特征值的間隔。12李群與物理對稱與李群在物理學中有許多應(yīng)用。在物理學中的應(yīng)用在極大刺激了群倫的發(fā)展。事實上，量子力學極大影響了李群表示論的發(fā)展。對稱可以在物理學中從多個層面上觀察到。例如，在牛頓力學中，包括萬有引力定律在內(nèi)的許多定律都在平移，旋轉(zhuǎn)和反射下保持不變。在廣義相對論中，對稱性由洛倫茲群(或龐卡萊群)所支配。狹義相對論的一個重要特征就是空間與時間的觀念是對稱的。其實，偉大的物理學家Dirac對楊振寧說過，這個概念也許是愛因斯坦對物理學最大的貢獻（參考［Ya2,p.23］）。對稱性在物理中的一個非常重要的應(yīng)用是，可以從對稱推出守恒律，這是歷史上最著名的女數(shù)學家EmmyNoether證明的。比如，空間中的平移對稱（或不變性）可以推出動量的守恒律，時間的平移不變性可以推出能量的守恒律。參考［LH］，有一個很友好的關(guān)于Noether定理及其應(yīng)用的討論。Noether定理的嚴格的數(shù)學表述，請參考［Mr,Theoremp.330］。如我們在文章開頭所討論的那樣，反射對稱在藝術(shù)中也普遍存在?？墒窃谖锢碇?，這是最復雜的問題，有時甚至是錯誤的。兩個分別發(fā)生在右手坐標和左手坐標系里的物理現(xiàn)象稱為宇稱守恒。事實上，楊振寧和李政道在1956年提出，在弱作用領(lǐng)域，宇稱是不守恒的。他們?yōu)榇嗽?957年獲得諾貝爾物理學獎，它們的發(fā)現(xiàn)被著名華裔女物理學家吳健雄用實驗證實。參考［Lee］中關(guān)于物理學中弱作用的介紹。對稱性（或群論）在物理學中的另一個了不起的應(yīng)用是關(guān)于亞原子粒子（稱為八重道粒子）的分類規(guī)劃，這種命名來自于佛教中的八正道（EightfoldWay），這是佛教認為可以達到至善至美的中庸之道。為了解釋這一規(guī)劃，Gell-Mann引入了基本夸克，使他在1969年獲得了諾貝爾物理學獎。簡單的說，一個粒子對應(yīng)于希爾波特空間上哈密爾頓作用的特征函數(shù)。如果一個李群保持哈密爾頓作用（或與之交換），那么哈密爾頓作用的特征空間就是表示空間。同一個特征空間中的狀態(tài)有許多共同的性質(zhì)。除了有時出現(xiàn)的退化現(xiàn)象，特征空間給出了群的所有不可約表示，并且術(shù)語一個不可約子空間的特征函數(shù)（或狀態(tài)）自然的形成初等粒子的多重態(tài)。在1960年代初期，許多新的亞原子結(jié)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)，可是缺少一致的組成結(jié)構(gòu)。李群SU（3）的加權(quán)空間分解給出了粒子多重態(tài)的參數(shù)化。一個相關(guān)的特別重要的表示是李代數(shù)su（3）的伴隨表示，它是八維的，所以命名為八重道。一些新的粒子最早就是由這個分類所預(yù)言，后來由實驗加以證實。除了這些和SU（3）的平凡表示，只有另一個10維的表示很自然的出現(xiàn)。SU⑶在3上的標準表示并不出現(xiàn)。這個標準表示中的三個權(quán)向量被Gell-Mann稱為夸克。對表示的標準運算，如取張量和對稱積可以用來解釋和澄清亞原子粒子的某些結(jié)構(gòu)。在這個意義下來說，SU（3）代表了宇宙的對稱（或者更加謙虛的說，代表了亞原子世界的對稱）。詳細請參看［St,Chap5］。對稱在物理中的其它應(yīng)用，請看楊振寧先生的文章［Ya2］。13對稱空間在上面的各節(jié)中，我們討論了歐氏空間，雙曲平面（即龐卡萊圓盤）中的對稱物體和對稱模式。雖然前面沒有提，可是直覺告訴我們，這些空間一定是對稱的，至少具有豐富的對稱性質(zhì)。事實上，這個條件是必要的。我們發(fā)現(xiàn)，他們是一類非常重要，被稱為對稱空間的黎曼流形的兩個實例。對稱空間的定義比對稱物體的定義要復雜得多。我們只作簡要討論。在〃中，任意兩個都沒有區(qū)別，因為我們總可以用一個等距平移把一個點變到另一個點。具有這種性質(zhì)的空間稱為齊性空間。在n中，一個更強的性質(zhì)是，任意兩點處的任意兩個方向都是一樣的，也就是說可以用一個等距，把一個方向變到另一個方向。這些性質(zhì)雙曲平面也同樣具有，可是這還不是對稱空間的正確定義。對稱空間的正確定義是說，在每一個點處，相對于它的反射都是空間的整體等距。我們很容易驗證歐氏空間和雙曲平面是對稱空間。對稱空間的另一個重要例子是復平面2，但它不滿足上面兩個條件。對稱空間定義以后，一個自然的問題是，是否它們與李群相關(guān)，我們已經(jīng)強調(diào)過李群是對稱概念的嚴格數(shù)學基礎(chǔ)?；卮甬斎皇强隙ǖ?，對稱空間與李群的關(guān)系仍然是數(shù)學中的一個活躍的研究領(lǐng)域。比如，朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何背景就由對稱空間及其商空間構(gòu)成。14注記對稱在許多場合中出現(xiàn)。完美的上帝創(chuàng)造完美的宇宙，對稱是其中的重要一環(huán)。完美的理想化總是通過對稱表現(xiàn)出來。本文中有許多專題并未提及。其實，關(guān)于對稱的不同方面都有許多的專著。這里是向讀者推薦一些。Weyl有一本經(jīng)典的書[We]。一本最近和比較容易的書是Walser撰寫的[Wa]。幾本其它關(guān)于對稱的書是Istvan和MagolnaHargitta寫的[HH]，Lederman和Hill的[Le]，Rosen的[Ro]，以及Jablan的[Ja]。對于在化學中的應(yīng)用的比較輕松的介紹，請看Heibronner和Dunitz的書[HD]。幾何與對稱在藝術(shù)和生活中的應(yīng)用請看Ghyka的[Gh]。關(guān)于物理學中的對稱，請看Feynman的書[Fe]，還有Wigne的[Wi]，以及前面提到過的楊振寧的文章[Ya2]。參考文獻[Ar]M.Armstrong,Groupsandsymmetries,Springer,1988.[Co]H.Coxeter,Regularpolytopes,TheMacmillanCo.,1963.[Cr]P.Cromwell,Polyhedra,CambridgeUniversityPress,1997.[De]K.Devlin,Mathematics:thescienceofpatterns,ScientificAmericanLibrary,1997.[Fe]R.Feynman,Thecharacterofphysicallaw,TheModernLibrary,1994.[Gh]M.Ghyka,Thegeometryofartandlife,Dover1977.[HSP]T.Hales,P.Sarnak,M.Pugh,Advancesinrandommatrixtheory,zetafunctions,andspherepacking,Proc.Natl.Acad.Sci.USA97(2000)12963-12964.[HH]I.Hargitta,M.Hargitta,Symmetry:AUnifyingConcept,ShelterPublications,Inc,1994.[HD]E.Heilbronner,J.Dunitz,Reflectionsonsymmetry,VerlagHelveticaChimicaActa,Basel,1993.[Ja]{ja}S.Jablan,Theoryofsymmetryandornament},Beograd,MatematickiInstitut,1995.[Ka]M.Kac,Canoneheartheshapeofadrum,Amer.Math.Monthly73(1966)no.4,partII,1-23.[KS]N.Katz,P.Sarnak,Zeroesofzetafunctionsandsymmetry,Bull.Amer.Math.Soc.36(1999)1-26.[Kl1]M.Kline,Mathematicalthoughtfromancienttomoderntimes,OxfordUniversityPress,1972.[Kl2]M.Kline,Mathematicsinwesternculture,OxfordUniversityPress,1953.[Li]M.Livio,Thegoldenratio,BroadwayBooks,200