Linear System Theory-Lec 5-1-第五章-系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性

1LinearSystemTheory

Lecture6北京交通大學先進控制系統(tǒng)研究所張嚴心講授電話：51683974辦公室：9號樓西503xxxtll2015zyx@126.com密碼：xxxtll2015第五章系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性Lyapunov意義下的運動穩(wěn)定性（針對一般非線性系統(tǒng)）線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)外部穩(wěn)定性與內部穩(wěn)定性之間的關系為什么要研究平衡點的穩(wěn)定性問題概述一個自動控制系統(tǒng)要能正常工作,必須首先是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。電機自動調速系統(tǒng)中保持電機轉速為一定的能力以及火箭飛行中保持航向為一定的能力等。具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義為：當系統(tǒng)受到外界干擾后,顯然它的平衡被破壞,但在外擾去掉以后,它仍有能力自動地在平衡態(tài)下繼續(xù)工作。如果一個系統(tǒng)不具有上述特性，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一直是控制理論中所關注的最重要問題。在經典控制理論中,借助于常微分方程穩(wěn)定性理論,產生了許多穩(wěn)定性判據(jù),如勞斯-赫爾維茨(Routh-Hurwitz)判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)等，都給出了既實用又方便的判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。但這些穩(wěn)定性判別方法僅限于討論SISO線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)關系,討論的是線性定常系統(tǒng)的有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性,未研究系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化的穩(wěn)定性。也不能推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)。對于非線性或時變系統(tǒng),雖然通過一些系統(tǒng)轉化方法,上述穩(wěn)定判據(jù)尚能在某些特定系統(tǒng)和范圍內應用,但是難以勝任一般系統(tǒng)。Lyapunov穩(wěn)定性定理控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常有兩種定義方式：外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài),即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關系所定義的外部穩(wěn)定性。經典控制理論討論的確有界輸入有界輸出穩(wěn)定即為外部穩(wěn)定性

。內部穩(wěn)定性：是關于動力學系統(tǒng)的內部狀態(tài)變化所呈現(xiàn)穩(wěn)定性,即系統(tǒng)的內部狀態(tài)穩(wěn)定性。本節(jié)討論的Lyapunov穩(wěn)定性即為內部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng),內部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個線性系統(tǒng),只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。1892年,俄國學者Lyapunov發(fā)表題為“運動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻,建立了關于運動穩(wěn)定性研究的一般理論。Lyapunov理論得到極大發(fā)展,在數(shù)學、力學、控制理論、機械工程等領域得到廣泛應用。Lyapunov把分析一階常微分方程組穩(wěn)定性的所有方法歸納為兩類。第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化,然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法,與經典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法,亦稱為Lyapunov第一法。第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性,而是通過定義一個叫做Lyapunov函數(shù)的標量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。由于不用解方程就能直接判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,所以第二種方法稱為直接法,亦稱為Lyapunov第二法。5.1Lyapunov穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種本質特征，不隨系統(tǒng)變換而改變,可通過系統(tǒng)反饋和綜合加以控制。在經典控制理論中,討論的是在有界輸入下,是否產生有界輸出的輸入輸出穩(wěn)定性問題。從經典控制理論知道,線性系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性取決于其特征方程的根,與初始條件和擾動都無關,而非線性系統(tǒng)則不然。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對系統(tǒng)的平衡態(tài)而言,我們很難籠統(tǒng)地討論非線性系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間的穩(wěn)定性。對于非線性系統(tǒng),其不同的平衡態(tài)有著不同的穩(wěn)定性,故只能分別討論各平衡態(tài)附近的穩(wěn)定性。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng),由于只存在唯一的孤立平衡態(tài),所以只有對線性系統(tǒng)才能籠統(tǒng)提系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。Lyapunov穩(wěn)定性理論討論的是動態(tài)系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性問題。它是一種具有普遍性的穩(wěn)定性理論,不僅適用于線性定常系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)。首先討論Lyapunov穩(wěn)定性理論的基礎--Lyapunov穩(wěn)定性定義。5.1.1系統(tǒng)的運動與平衡點沒有外輸入作用時的系統(tǒng)通常稱這類系統(tǒng)為自治系統(tǒng)。自治系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述：其中，x為

維狀態(tài)向量；f(…)為n維向量函數(shù)。系統(tǒng)為線性由初始狀態(tài)x0所引起的運動為稱其為系統(tǒng)的受擾運動。系統(tǒng),如果存在

某個狀態(tài)

，滿足

則稱為系統(tǒng)的一個平衡點或平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)即是系統(tǒng)方程的常數(shù)解，或系統(tǒng)的一種靜止的運動。系統(tǒng)也可有非零平衡狀態(tài)。

對于孤立平衡狀態(tài)，總是可以通過移動坐標系而將其轉換為空間的原點，所以在許多情形下?？梢约俣ㄆ胶鉅顟B(tài)

為原點。由于非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性具有局部性特點,因此在討論穩(wěn)定性時,通常還要確定平衡態(tài)的穩(wěn)定鄰域(區(qū)域)。例1

定常線性系統(tǒng)容易求得其平衡點集為從定義可知,平衡態(tài)即指狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的導數(shù)向量為零向量的點(狀態(tài))。由于導數(shù)表示的狀態(tài)的運動變化方向,因此平衡態(tài)即指能夠保持平衡、維持現(xiàn)狀不運動的狀態(tài),如右圖所示。Lyapunov穩(wěn)定性研究的平衡態(tài)附近(鄰域)的運動變化問題。若平衡態(tài)附近某充分小鄰域內所有狀態(tài)的運動最后都趨于該平衡態(tài),則稱該平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;若發(fā)散掉則稱為不穩(wěn)定的,若能維持在平衡態(tài)附近某個鄰域內運動變化則稱為穩(wěn)定的,如圖所示。顯然,對于線性定常系統(tǒng)x’=Ax的平衡態(tài)xe是滿足下述方程的解。Axe=0當矩陣A為非奇異時,線性系統(tǒng)只有一個孤立的平衡態(tài)xe=0;而當A為奇異時,則存在無限多個平衡態(tài),且這些平衡態(tài)不為孤立平衡態(tài),而構成狀態(tài)空間中的一個子空間。對于非線性系統(tǒng),通常可有一個或幾個孤立平衡態(tài),它們分別為對應于式f(x,t)0的常值解。例如,對于非線性系統(tǒng)其平衡態(tài)為下列代數(shù)方程組的解,即下述狀態(tài)空間中的三個狀態(tài)為其孤立平衡態(tài)。5.1.2Lyapunov意義下的穩(wěn)定性先引入如下幾個數(shù)學名詞和符號：范數(shù)球域然后介紹Lyapunov意義下的穩(wěn)定性的定義。范數(shù)在數(shù)學上定義為度量n維空間中的點之間的距離。對n維空間中任意兩點x1和x2,它們之間距離的范數(shù)記為||x1-x2||。由于所需要度量的空間和度量的意義的不同,相應有各種具體范數(shù)的定義。在工程中常用的是2-范數(shù),即歐幾里德范數(shù),其定義式為其中x1,i和x2,i分別為向量x1和x2的各分量。2)

球域以n維空間中的點xe為中心,在所定義的范數(shù)度量意義下的長度為半徑內的各點所組成空間體稱為球域,記為S(xe,),即S(xe,)包含滿足||x-xe||的n維空間中的各點x。5.1.2

Lyapunov意義下的運動穩(wěn)定性定義所謂系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內部的結構因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內。

注1：穩(wěn)定性不是直接對系統(tǒng)而言的，而是針對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的。對一般的動力學系統(tǒng)，“系統(tǒng)穩(wěn)定與否”是沒有意義的。注2：穩(wěn)定性定義中的初始時刻---一致性問題

穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性以至于全局漸近穩(wěn)定性的定義都與初始時刻有關。同一系統(tǒng)不同起始時刻的運動完全可能有著不同的穩(wěn)定性。初始時刻的影響決定了穩(wěn)定性是否一致的問題。注3：穩(wěn)定性定義中的吸收域定義中表征了穩(wěn)定平衡狀態(tài)所允許的初值擾動范圍，稱為平衡狀態(tài)的吸收域。它決定了穩(wěn)定的全局性和局部性。Lyapunov第一法又稱間接法,它是研究動態(tài)系統(tǒng)的一次近似數(shù)學模型(線性化模型)穩(wěn)定性的方法。它的基本思路是:首先,對于非線性系統(tǒng),可先將非線性狀態(tài)方程在平衡態(tài)附近進行線性化,即在平衡態(tài)求其一次Taylor展開式,然后利用這一次展開式表示的線性化方程去分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。其次,解出線性化狀態(tài)方程組或線性狀態(tài)方程組的特征值,然后根據(jù)全部特征值在復平面上的分布情況來判定系統(tǒng)在零輸入情況下的穩(wěn)定性。下面將討論Lyapunov第一法的結論以及在判定系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性中的應用。設所討論的非線性動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x’=f(x)其中f(x)為與狀態(tài)向量x同維的關于x的非線性向量函數(shù),其各元素對x有連續(xù)的偏導數(shù)。欲討論系統(tǒng)在平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性,先必須將非線性向量函數(shù)f(x)在平衡態(tài)附近展開成Taylor級數(shù),即有其中A為nn維的向量函數(shù)f(x)與x間的雅可比矩陣;R(x-xe)為Taylor展開式中包含x-xe的二次及二次以上的余項。雅可比矩陣A定義為如果用該一次近似式來表達原非線性方程的近似動態(tài)方程,可得如下線性化的狀態(tài)方程:x’=A(x-xe)由于對如上式所示的狀態(tài)方程總可以通過n維狀態(tài)空間中的坐標平移,將平衡態(tài)xe移到原點。因此,上式又可轉換成如下原點平衡態(tài)的線性狀態(tài)方程:x’=Ax判別非線性系統(tǒng)平衡態(tài)xe穩(wěn)定性的Lyapunov第一法的思想即為:通過線性化,將討論非線性系統(tǒng)平衡態(tài)穩(wěn)定性問題轉換到討論線性系統(tǒng)x’=Ax的穩(wěn)定性問題。Lyapunov第一法的基本結論是:1.若線性化系統(tǒng)的狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe漸近穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階項R(x)無關。2.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中至少有一個具有正實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe不穩(wěn)定,而且該平衡態(tài)的穩(wěn)定性與高階項R(x)無關。3.若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A除有實部為零的特征值外,其余特征值都具有負實部,則原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe的穩(wěn)定性由高階項R(x)決定。由上述Lyapunov第一法的結論可知,該方法與經典控制理論中穩(wěn)定性判據(jù)的思路一致,需求解線性化狀態(tài)方程或線性狀態(tài)方程的特征值,根據(jù)特征值在復平面的分布來分析穩(wěn)定性。值得指出的區(qū)別是:經典控制理論討論的是輸出穩(wěn)定性問題,而Lyapunov方法討論狀態(tài)穩(wěn)定性問題。由于Lyapunov第一法需要求解線性化后系統(tǒng)的特征值,因此該方法也僅能適用于非線性定常系統(tǒng)或線性定常系統(tǒng),而不能推廣至時變系統(tǒng)。試確定系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性。解：由狀態(tài)方程知,原點為該系統(tǒng)的平衡態(tài)。將系統(tǒng)在原點處線性化,則系統(tǒng)矩陣為例

某裝置的動力學特性用下列常微分方程組來描述:因此,系統(tǒng)的特征方程為|I-A|=2+K1+K2=0Lyapunov第二法由Lyapunov第一法的結論可知,該方法能解決部分弱非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定問題,但對強非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定則無能為力,而且該方法不易推廣到時變系統(tǒng)。下面我們討論對所有動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的穩(wěn)定性分析都適用的Lyapunov第二法。Lyapunov第二法又稱為直接法。它是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎上建立起來的。若系統(tǒng)平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)經激勵后,其儲存的能量將隨著時間推移而衰減。當趨于平衡態(tài)時,其能量達到最小值。反之,若平衡態(tài)不穩(wěn)定,則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量,其儲存的能量將越來越大。基于這樣的觀點,只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù),通過考察該函數(shù)隨時間推移是否衰減,就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。下面是幾個在由變量x1和x2組成的2維線性空間中的正定函數(shù)、負定函數(shù)等的例子。1)正定函數(shù)2)負定函數(shù)3)非負定函數(shù)4)非正定函數(shù)5)不定函數(shù)Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義右圖所示動力學系統(tǒng)的平衡態(tài)在一定范圍內為漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)。對該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數(shù)如下:其中x為位移,x’為速度,兩者且選為狀態(tài)變量。在圖中所示狀態(tài),v=-x’,由牛頓第二定律可知,其運動滿足如下方程:m(-x’’)=mgcos-fmgsin其中f為摩擦阻尼系數(shù)。因此,有mx’’=-mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(導數(shù))為V’=mx’x’’+mgx’cos=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos

=mgx’fsinLyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義當取值為[0,90],由于v的方向與x相反，x’為負,因此上式恒小于零。即漸近穩(wěn)定的平衡態(tài),其正定的能量函數(shù)的導數(shù)(變化趨勢)為負。對小球向上運動時亦可作同樣分析。從直觀物理意義的角度,也非常易于理解。由于物體運動所受到的摩擦力作負功,由能量守恒定律可知,物體的能量將隨物體運動減少,即其導數(shù)(變化趨勢)為負。Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義再如右圖所示的動力學系統(tǒng),其平衡態(tài)在一定范圍內為不穩(wěn)定的平衡態(tài)。對該平衡態(tài)的鄰域,可定義其能量(動能+勢能)函數(shù)如下:Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義由牛頓第二定律可知,其運動滿足如下方程:ma=mgcos-fmgsin因此,有mx’’=mg(cos-fsin)因此,能量的變化趨勢(導數(shù))為Lyapunov穩(wěn)定性定理的直觀意義V’=mx’x’’-mgx’cos=mgx’(cos-fsin)-mgx’cos=-mgx’fsin當取值為[0,90],由于x