實驗五行星的軌道和位置

行星的軌道數(shù)學實驗和位置上海交通大學

數(shù)學實驗行星的軌道 和位置樂經(jīng)良

他以幾乎神一般的思維力,最先說明了行星的運動和圖象,慧星的軌道和大海的潮汐. ─Newton墓志銘樂經(jīng)良

哥白尼(波蘭，1473-1543)日心說

地球－我們的家園 46億歲,赤道半徑6378.14公里，比極半徑長21公里

金星－看起來最亮的行星半徑約為6073公里,表面溫度高達465至485度,自轉(zhuǎn)方向與其它行星相反

背景介紹16世紀前，人們認為太陽只有6大行星托勒密（古希臘）地心說樂經(jīng)良

水星－距太陽最近的行星半徑為2440公里,較小，難以觀察

火星－離地球最近、人們最關(guān)注的行星：火星上有無生命？

土星－最美麗的行星衛(wèi)星數(shù)目最多,23顆.光環(huán)由無數(shù)塊冰狀物組成的

木星－行星中的巨無霸赤道半徑約為71400公里，是地球的11.2倍樂經(jīng)良

行星運行三大規(guī)律

開普勒(1571－1630)(觀察分析數(shù)據(jù)) 在第谷·布拉赫(1546-1601)的基礎上提出1.行星運行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓;2.從太陽指向某一行星的線段在單位時間內(nèi) 掃過的面積相同;3.行星運行周期的平方與其運行軌道橢圓長軸 的立方之比值是不隨行星而改變的常數(shù).樂經(jīng)良(Adams1845,Leverrier1846)

萬有引力定律

“自然哲學的數(shù)學原理”(1687牛頓)天王星－樂師(Herschel)發(fā)現(xiàn)的行星(1781)海王星－筆尖上的行星冥王星－離太陽最遠、未知數(shù)最多的行星 2006年8月24日國際天文學聯(lián)合大會決定： 冥王星降級為“矮行星”(大行星的定義) 太陽只有八大行星！樂經(jīng)良

二實驗目的

本實驗主要涉及常微分方程。通過實驗復習：微分方程的建模和解法，數(shù)值積分的計算。另外，還將介紹：建立數(shù)學模型時復坐標系的選取，基于壓縮映像的求根方法，微分方程的Runge-Kutta法樂經(jīng)良

三實際問題

地球距太陽最遠處(遠日點)距離為 1.521×1011m,此時地球繞太陽運動(公轉(zhuǎn))的速度為2.929×104m/s,試求: 1)地球距太陽的最近距離 2)地球繞太陽運轉(zhuǎn)的周期 3)在從遠日點開始的第100天結(jié)束時, 地球的位置與速度樂經(jīng)良加速度

數(shù)學模型

在運動學中常采用復坐標系 設太陽中心所在位置為復平面之原點,在時刻t, 行星位于以下復數(shù)代表的點

速度為

四數(shù)學模型根據(jù)Newton第二定律比較虛實部導出微分方程組四數(shù)學模型問題（5.4）~（5.9）就是行星繞太陽運行的軌跡的數(shù)學模型。四數(shù)學模型四數(shù)學模型于是我們得到了行星運動的形式較為簡單的數(shù)學模型：四數(shù)學模型rdC1tp樂經(jīng)良

I行星的軌跡請嘗試推導出行星的軌道方程？

p1ecosr2(p,e是常數(shù),根據(jù)相關(guān)已知數(shù)據(jù)導出) 改寫前面積分表達式成為210dT1C1 2

1(1-ecos)給出時間T1，要求位置即求出θ1與r，較難！五解析方法五解析方法II行星的周期五解析方法III行星的位置五解析方法hnthtrjsdv0.05331.65001.49401.99592.98190.011681.68001.49331.99792.98340.0053371.685001.49321.99822.98360.00116861.686001.49311.99832.9837

六數(shù)值方法

六數(shù)值方法

六數(shù)值方法

六數(shù)值方法

六數(shù)值方法

五數(shù)值方法

六數(shù)值方法樂經(jīng)良艾薩克?煉金術(shù)士造幣廠總監(jiān)較之科學他更多致力于《圣經(jīng)》的研究

牛頓SirIsaacNewton(英格蘭1643－1727年)

科學史上最有影響力的人 物理學家數(shù)學家天文學家 哲學家

專心于科學研究到癡情樂經(jīng)良性格內(nèi)向獨身一生牛頓的一句名言

WhatDescartesdidwasagoodstepyouhave addedmuchseveralways&especiallyintaking thecoloursofthethinplatesintophilosophcal consideration IfIhaveseenfurtheritisbystandingonyeshouldersofGiants.hh樂經(jīng)良III微分方程的Runge-kutte方法以一元為例dx dtf(t,x),xt0x0設步長為h,則tkkh,記xkx(tk)

xk1x(tkh)（Taylor展開）

33!

22!x(tk)x(tk)x(tk)hx(tk)其中x(tk)f(tk,xk)x(tk)ft(tk,xk)fx(tk,xk)x(tk)

ft(tk,xk)fx(tk,xk)f(tk,xk)可以求出各階導數(shù)xkh(K1樂經(jīng)良

計算高階導數(shù)代之以f在一些點的值的組合當Taylor展開到四階項，可取16262616K4)K2K3xk1其中K1f(tk,xk)K2f(tkh/2,xkhK1/2)K3f(tkh/2,xkhK2/2)K4f(tkh,xkhK3)Runge-Kutte迭代格式

在Matlab可 以直接調(diào)用樂經(jīng)良

使用Matlab

先定義一階微分方程組函數(shù)組functiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;樂經(jīng)良

再調(diào)用Runge‐kutte方法專用程序：functionT=m5_2(h)[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*3600],[0,1.521e11,0]);n=max(find(y(:,3)<2*pi));%查找小于 2pi所對應的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2))樂經(jīng)良

軌道圖形將計算所得的數(shù)據(jù)，利用Matlab作圖可得樂經(jīng)良

實驗任務任務2.水星距太陽最遠處距離為0.6982×1011m, 此時水星繞太陽運行的線速度為3.886×104m/s,畫出水星繞太陽運行的軌道曲線,試求: 1)水星繞太陽運行的周期 2)水星到太陽的最近距離 3)求從遠日點開始的第50天(地球天) 結(jié)束時水星的位置樂經(jīng)良任務4.冥王星在1989年10月處于近日點距 太陽44.4×1011m,此時其線速度為0.6122×104m