數(shù)模競(jìng)賽中部分幾何物理問題解析

數(shù)模競(jìng)賽中部分幾何物理問題解析譚勁英14/07/181.CUMCM-1995A：一個(gè)飛行管理問題2.CUMCM-2000D：空洞探測(cè)3.CUMCM-2010A：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定CUMCM-1995A：一個(gè)飛行管理問題在約10000m高空的某邊長(zhǎng)160km的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行，區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)邊界區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與其區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架(包括新進(jìn)入的)飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞。現(xiàn)假設(shè)條件如下：1)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km；2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30度；3)所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí)為800km；4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上；5)最多考慮6架飛機(jī)；6)不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況。請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型。列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過0.01度)，要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄數(shù)據(jù)為：飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052注：方向角指飛行方向與x軸正向的夾角。初始位置：

時(shí)刻t飛機(jī)的位置：兩架飛機(jī)的距離（平方）：兩架飛機(jī)不碰撞的條件（0≤t≤Tij）Ti為第i架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻：不碰撞條件：不必考慮在區(qū)域外的碰撞！

兩架飛機(jī)都在區(qū)域中的時(shí)間：具體來看，第i架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的時(shí)間：飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)刻0i整理：fij(t)的最小值(-bij2/4+cij)；此時(shí)其中：不碰撞條件的等價(jià)表述

最后，優(yōu)化模型為fij(t)大于等于０肯定成立fij(t)大于等于０等價(jià)于fij(t)大于等于０等價(jià)于其他目標(biāo)：調(diào)整后的方向角：總的調(diào)整量最?。鹤畲笳{(diào)整量最?。撼跏嘉恢门c方向角：山體隧道壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量來確定。簡(jiǎn)化問題可敘述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞。在平板的兩個(gè)鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在他們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間。根據(jù)彈性波在介質(zhì)和在空氣中不同的傳播速度來確定板內(nèi)空洞的位置。CUMCM-2000D：空洞探測(cè)具體問題：一塊240(米)×240(米)的平板ABCD：在AB邊等距地設(shè)置7個(gè)波源Pi(i=1,…,7)，在CD邊等距地設(shè)置7個(gè)接收器Qj(j=1,…,7)，記錄由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間tij(秒)；在AD邊等距地設(shè)置7個(gè)波源Ri(i=1,…,7)，在BC邊等距地設(shè)置7個(gè)接收器Sj(j=1,…,7)，記錄由Ri發(fā)出的彈性波到達(dá)Sj的時(shí)間τij(秒)。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880(米/秒)和320(米/秒)，且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。P2Q4R3S6TP=(tij)tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P1

.0611.0895.1996.2032.4181.4923.5646P2.0989.0592.4413.4318.4770.5242.3805P3.3052.4131.0598.4153.4156.3563.1919P4.3221.4453.4040.0738.1789.0740.2122P5.3490.4529.2263.1917.0839.1768.1810P6.3807.3177.2364.3064.2217.0939.1031P7.4311.3397.3566.1954.0760.0688.1042TR=(τij)τijS1S2S3S4S5S6S7R1

.0645.0602.0813.3516.3867.4314.5721R2.0753.0700.2852.4341.3491.4800.4980R3.3456.3205.0974.4093.4240.4540.3112R4.3655.3289.4247.1007.3249.2134.1017R5.3165.2509.3214.3256.0904.1874.2130R6.2749.3891.5895.3016.2058.0841.0706R7.4434.4919.3904.0786.0709.0914.0583要求：(1)確定該平面內(nèi)空洞的位置。(2)只根據(jù)Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間tij能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接收器的方法。分析：彈性波沿平板邊緣的理論傳播時(shí)間：t=240/2880=0.0833(秒)彈性波沿平板邊緣的實(shí)際傳播時(shí)間：t11=.0611,t77=.1042,

τ11=.0645,τ77=.0583題目中已假設(shè)“彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同”。觀測(cè)數(shù)據(jù)的最大絕對(duì)誤差為d=0.025秒?？梢哉J(rèn)為，0.025*320=8(米）以下的空洞是探測(cè)不出的。假設(shè)1.觀測(cè)數(shù)據(jù)有測(cè)量誤差。觀測(cè)數(shù)據(jù)除測(cè)量誤差外是可靠的。2.

波在傳播過程中沿直線單向傳播，且不考慮波的反射、折射以及干涉等現(xiàn)象。3.空氣密度和介質(zhì)密度都均勻。4.“彈性波”在傳播過程中沒有能量損失。其波速僅與介質(zhì)有關(guān)，且在同一均勻介質(zhì)中波速不變。彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。5.假設(shè)平板可劃分化為網(wǎng)格，空洞定位于每個(gè)網(wǎng)格單元內(nèi)，空洞大小大致相同。波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算(k,l)記波源Pi與接收器Qj決定的波線與每個(gè)單元（k，l）的交線長(zhǎng)度為bijkl

i=j時(shí)，123456654321PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)左邊緣直線方程x=40(k-1)波線與單元(k,l)左邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為y1ijkl=240(k-i)/(j-i)，其中l(wèi)-1≤6(k-i)/(j-i)≤l

(k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)右邊緣直線方程x=40k波線與單元(k,l)右邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為y2ijkl=240(k+1-i)/(j-i)，其中l(wèi)-1≤6(k+1-i)/(j-i)≤l

(k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)下邊緣直線方程y=40(l-1)波線與單元(k,l)下邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為y3ijkl=40(l-1)，其中0≤6(i-k)-(i-j)(l-1)≤6(k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算PiQj決定的直線方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情況單元(k,l)上邊緣直線方程y=40l波線與單元(k,l)上邊緣對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的y坐標(biāo)為y4ijkl=40l，其中0≤6(i-k)-(i-j)l≤6(k,l)波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算交線在y軸的投影長(zhǎng)度(交點(diǎn)條件最多只有2個(gè)成立)i=j以外的情況dyijkl=max(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)-min(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形關(guān)系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,l)bijklEFGbijkl=aijdyijkl/240i=j也成立波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算由對(duì)稱性，RiSj與單元(k,l)的交線長(zhǎng)度ci,j,k,l=bj,i,l,7-k波線與網(wǎng)格交線長(zhǎng)度的計(jì)算參量、變量：xkl：?jiǎn)卧?k,l)是否為空洞(1：是；0：否)aij：波源Pi與接收器Qj，或Ri與Sj之間的距離Pij：經(jīng)過介質(zhì)的長(zhǎng)度,qij經(jīng)過空氣的長(zhǎng)度tij(同樣ij):傳播時(shí)間觀測(cè)值優(yōu)化模型（擬合／回歸）若沒有誤差：tij=pij/v1+qij/v2同理：模型：優(yōu)化模型（擬合／回歸）計(jì)算結(jié)果空洞X(P2,Q2)1X(P2,Q3)1X(P2,Q5)1X(P3,Q2)1X(P3,Q3)1X(P3,Q4)1X(P4,Q4)1X(P5,Q3)1

通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。CUMCM-2010A：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖。圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請(qǐng)你們用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于圖1所示的實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。附件1：小橢圓儲(chǔ)油罐的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（略）附件2：實(shí)際儲(chǔ)油罐的檢測(cè)數(shù)據(jù)（略）問題分析該問題是來自于加油站設(shè)備研究生產(chǎn)企業(yè)的一個(gè)實(shí)際課題，問題由兩大部分組成：第一部分：為了了解罐體變位對(duì)罐容表的影響，對(duì)于小橢圓形儲(chǔ)油罐（實(shí)驗(yàn)罐），在已知變位參數(shù)的情況下，檢測(cè)出油位高度與油量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，要求建模分析罐容表的變化規(guī)律，并給出修正的罐容表。這一部分屬于“正問題”。具體而言，第一部分有以下幾個(gè)問題要完成。（1）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在無變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。（2）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，要給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。這里需要考慮罐體兩端有油/無油的不同情況。

（3）對(duì)于（2）得到的實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的模型，將變位參數(shù)代入計(jì)算，得出修正后的油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。并與原標(biāo)定值比較，分析罐體變位的影響。第二部分：根據(jù)實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，識(shí)別實(shí)際儲(chǔ)油罐罐體是如何變位的，估計(jì)出變位參數(shù)，給出實(shí)際罐罐容表的修正標(biāo)定方法和結(jié)果。并分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。這一部分屬于“反問題”。（4）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油量V與油位高度h及縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系模型，即的關(guān)系模型。具體而言，第二部分有以下幾個(gè)問題要完成。這一問要根據(jù)油位高度分別考慮兩端有油或一端有油的情況，同時(shí)考慮偏轉(zhuǎn)情況，所以，具體的解析表達(dá)式可能會(huì)比較復(fù)雜。由于實(shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以，罐內(nèi)對(duì)應(yīng)于某一油位高度的儲(chǔ)油量準(zhǔn)確值未知。因此，不能由（4）求出的表達(dá)式解出和。（5）根據(jù)附件2的檢測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。所以，這一問要給出估計(jì)參數(shù)和的準(zhǔn)則，然后再進(jìn)行估計(jì)。（6）根據(jù)（4）得到模型和參數(shù)估計(jì)值和，給出罐體變位后油位高度h間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。（7）利用附件2的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和方法的可靠性。解題思路

（1）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在無變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式（模型）。xyOhab利用積分可以計(jì)算出油位高度為h時(shí)實(shí)驗(yàn)罐的截面面積，于是得到油位高度與儲(chǔ)油量的計(jì)算公式：其中a，b，L分別是實(shí)驗(yàn)罐截面橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸和罐體長(zhǎng)度，h為油位高度。這個(gè)計(jì)算公式也可以從相關(guān)文獻(xiàn)中查到。將實(shí)驗(yàn)罐的實(shí)際參數(shù)代入計(jì)算，容易得到實(shí)驗(yàn)罐無變位情形的正常罐容表。

（2）對(duì)于小橢圓形實(shí)驗(yàn)罐，給出它在縱向傾斜變位情形下油位高度與儲(chǔ)油量計(jì)算的修正模型。

油面下降到Ⅰ區(qū)時(shí)，油浮顯示油位高度總是0，不隨實(shí)際油量的變化而變化，無需要考慮油面在I區(qū)內(nèi)油量的計(jì)算公式。同理，當(dāng)油位高度上升到Ⅴ區(qū)時(shí)，由于油浮顯示油位高度總是2b，也無需考慮油面在Ⅴ區(qū)內(nèi)的油量計(jì)算公式。2b

因而，只需討論油面分別處于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，儲(chǔ)油量與油位高度、油罐縱向傾角的關(guān)系表達(dá)式。當(dāng)油面分別處于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三個(gè)區(qū)域內(nèi)，計(jì)算儲(chǔ)油量的截面面積沿x軸積分，可分別得到當(dāng)h處于不同高度時(shí)儲(chǔ)油量的計(jì)算公式：其中，l為探針到左側(cè)面的距離。

（3）將變位參數(shù)代入上述公式計(jì)算，得出修正后的油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。罐體變位后高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值油面高度油的容量油面高度油的容量油面高度油的容量1070.13501371.88903072.4320281.86601798.521003450.7230595.25702232.501103776.6440965.66802661.421204012.75

進(jìn)一步，與正常的標(biāo)定值比較分析可知，實(shí)驗(yàn)罐在縱向傾斜變位情形，實(shí)際油量與原標(biāo)定值的最大誤差在257L以上，平均誤差達(dá)190L以上，平均相對(duì)誤差達(dá)到30%以上。（4）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，建立罐體變位后罐內(nèi)儲(chǔ)油量V與油位高度h及縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系模型，即。由于本問較復(fù)雜，需要分情況建立模型，可以先考慮只發(fā)生縱向變位的情況。其中球冠Ⅰ的體積表達(dá)式為：其中球冠III的體積表達(dá)式為：其中圓柱體II的體積表達(dá)式為：在不考慮罐體橫向變位的情況下（即），儲(chǔ)油罐的體積與輔助變量的關(guān)系表達(dá)式為：在不考慮橫向變位的情況下（即），儲(chǔ)油罐的油位高

與輔助變量的關(guān)系表達(dá)式為：根據(jù)以上與的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以得到罐體內(nèi)油量與油位高及縱向傾斜角的關(guān)系表達(dá)式進(jìn)一步，考慮罐體在產(chǎn)生縱向變位的基礎(chǔ)上，又產(chǎn)生了橫向變位，此時(shí)罐體的位置如下圖：由于罐體只產(chǎn)生縱向變位時(shí)油位高度與儲(chǔ)油量

的對(duì)應(yīng)關(guān)系已得到，再根據(jù)上面推導(dǎo)出的與同時(shí)發(fā)生縱向和橫向變位時(shí)油位高h(yuǎn)，就可以求出一般情況下，即罐體同時(shí)產(chǎn)生縱向和橫向變位的油位高h(yuǎn)與儲(chǔ)油量V之間的關(guān)系模型。未產(chǎn)生橫向變位時(shí)油位高與產(chǎn)生橫向變位后油位高h(yuǎn)之間滿足如下關(guān)系：（5）根據(jù)附件2的檢測(cè)數(shù)據(jù)，估計(jì)實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。根據(jù)附件2數(shù)據(jù)可以得到不同時(shí)刻的出油量，同時(shí)可以計(jì)算對(duì)應(yīng)的油位改變量。這一問就可以歸結(jié)為求解非線性最小二乘問題：根據(jù)前一問的模型表達(dá)式，可以得到理論上儲(chǔ)油量的改變量?；蚶酶郊?的部分?jǐn)?shù)據(jù)（例如前半部分），借助軟件和各種數(shù)值方法可以估計(jì)出實(shí)際儲(chǔ)油罐的縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度。事實(shí)上，儲(chǔ)油量對(duì)橫向偏轉(zhuǎn)變位角不敏感。如果經(jīng)分析說明了這一點(diǎn)，這一問也可以直接考慮縱向變位的單參數(shù)估計(jì)問題。具體的估計(jì)值依所用的計(jì)算方法不同而有差別，一般地，（6）根據(jù)模型和前一問得到的參數(shù)估計(jì)值和，就可以給出罐體變位后的罐容表標(biāo)定值。