注冊巖土工程師-基礎考試-數學-線性代數

線性代數一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型1.行列式的定義一、行列式注：行列式是一個數。2.行列式的性質利用行列式性質，將行列式化成上三角，再按上式計算余子式與代數余子式3.行列式按行（列）展開例1例2：設行列式二、矩陣1.矩陣的概念記作簡記為幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或對角陣）.（3）形如的方陣,記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數的零矩陣是不相等的.例如(5)單位陣：對角線上全為1的對角陣稱為單位矩陣（或單位陣）.(6)對稱矩陣定義設為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.說明2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.同型矩陣與矩陣相等1）兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.1)加法設有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為2.矩陣的運算2)數與矩陣相乘矩陣相加與數乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.并把此乘積記作3)矩陣與矩陣相乘設是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.例3：計算注：（1）矩陣乘法不滿足交換律(2)矩陣乘法不滿足消去律,即（其中為數）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單位矩陣E在矩陣乘法中的作用類似于數1）定義

把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例4）矩陣的轉置轉置矩陣的運算性質注：若A為對稱陣，則5）方陣的行列式定義由階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質伴隨矩陣定義行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下矩陣伴隨矩陣性質稱為矩陣的伴隨矩陣.6）逆矩陣逆矩陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的逆矩陣用該公式求，三階及以上矩陣的逆矩陣用初等變換求。逆矩陣的運算性質解：矩陣方程解定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:3.初等變換和初等矩陣定義2矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換可逆陣與單位陣等價矩陣的等價利用初等變換求逆陣的方法：4.矩陣的秩如果矩陣A的秩等于該矩陣的行數(或列數),則稱為滿秩矩陣,可逆矩陣就是滿秩矩陣.例6：求矩陣的秩。解：但A中有2階子式不為零，故例7解求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.例8解由階梯形矩陣有三個非零行可知與矩陣的秩有關的結論1.初等變換不改變矩陣的秩2.等價矩陣有相同的秩3.設則當B是可逆矩陣時,有4.設則三、n維向量

若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組．1.向量組的線性相關性一個向量由一個向量組線性表示解：考慮定義2設有兩個向量組（1）若向量組B中每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。（2）若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。兩個向量組等價向量組的線性相關性則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關．由定義3可得：1、任一向量組不是線性相關就是線性無關。2、含零向量的向量組一定線性相關。3、單個非零向量一定是線性無關。4、兩個向量線性相關的充分必要條件是對應分量成比例。定理2解例10與線性相關性有關的結論:（1）部分相關整體相關。（2）m個n維向量，當維數n

小于向量個數m時一定線性相關。例11：設1.線性方程組的三種表達方式若記（1）四、線性方程組則上述方程組（1）可寫成矩陣方程如果將矩陣A的列向量組記為則方程組（1）還可表為向量方程2.線性方程組有解的判定條件齊次線性方程組解的性質3.線性方程組解的性質與結構基礎解系的定義注：基礎解系不唯一齊次線性方程組解的結構非齊次線性方程組解的性質其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性方程組解的結構非齊次線性方程組Ax=b的通解為齊次線性方程組：系數矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；3.線性方程組的解法例12

求解齊次線性方程組解即得與原方程組同解的方程組由此即得例13

求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換故方程組有解，且有所以方程組的通解為例14：設五、矩陣的特征值和特征向量求矩陣特征值與特征向量的步驟：特征值、特征向量性質（1）屬于不同特征值的特征向量是線性無關。解例15

六、矩陣相似與對角化1、相似矩陣與相似變換的概念2、相似矩陣的性質（1）相似關系是等價關系（4）相似矩陣有相同的特征多項式，有相同的特征值。3、方陣的對角化如果方陣A與一對角陣相似,則稱方陣A可對角化.4、實對稱矩陣的性質(1)特征值為實數；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重數和與之對應的線性無關的特征向量的個數相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對