正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

電工技術(shù)第7章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析本章教學(xué)內(nèi)容7.1阻抗和導(dǎo)納7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率7.4功率因數(shù)的提高7.5最大功率傳輸7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)7.7RLC電路的諧振7.8非正弦周期電流電路的分析本章重點內(nèi)容阻抗和導(dǎo)納正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率串、并聯(lián)諧振的概念非正弦周期電流電路的計算7.1阻抗和導(dǎo)納阻抗

一個不含獨立源的二端無源線性網(wǎng)絡(luò)N0，當(dāng)它在正弦電源激勵下處于正弦穩(wěn)態(tài)時，端口的電流、電壓都是同頻率的正弦量。阻抗的定義阻抗Z的單位為歐姆（Ω）。

阻抗Z就是二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗。

阻抗是一個隨頻率變化的復(fù)數(shù)。7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)1）電阻、電感和電容元件的阻抗歐姆定律的相量形式阻抗的其它表示形式阻抗Z的模

阻抗Z的阻抗角R

阻抗Z的電阻分量

X

阻抗Z的電抗分量

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)2）當(dāng)阻抗的電阻分量不為負時，阻抗角的主值范圍為當(dāng)阻抗的電抗分量X等于零時，稱阻抗呈電阻性；當(dāng)阻抗的電抗分量X大于零時，稱阻抗呈電感性、X為感性電抗；當(dāng)阻抗的電抗分量小于零時，稱阻抗呈電容性、X為容性電抗。

當(dāng)阻抗的電阻分量不為負，阻抗呈電阻性、電感性、電容性時對應(yīng)的阻抗角范圍分別為電阻性電感性電容性7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)3）對感性電抗X，可由等效電感Leq的感抗替代，即對容性電抗X，可由等效電容Ceq的容抗替代，即

當(dāng)求出一個不含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗Z＝R+jX以后，該二端網(wǎng)絡(luò)就可以用R和jX的串聯(lián)等效電路來替代。7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)4）感性阻抗的等效電路、阻抗三角形和電壓三角形

容性阻抗的等效電路、阻抗三角形和電壓三角形

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)5）電感、電容的阻抗均為純虛數(shù)，即只存在電抗分量。

電感的電抗(簡稱感抗)

當(dāng)L一定時，感抗與頻率ω成正比，因此電感具有通直阻交的性質(zhì)。電容的電抗(簡稱容抗)

當(dāng)C一定時，容抗與頻率ω成反比，因此電容具有隔直通交的性質(zhì)。感抗

容抗

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)6）導(dǎo)納電阻、電感和電容元件的導(dǎo)納導(dǎo)納Y的代數(shù)形式為

G稱為導(dǎo)納Y的電導(dǎo)分量，B稱為導(dǎo)納Y的電納分量。B>0時Y稱為容性導(dǎo)納，B<0時Y稱為感性導(dǎo)納。

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)7）

當(dāng)求出一個二端網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納Y=G+jB

以后，該二端網(wǎng)絡(luò)就可以用G和jB的并聯(lián)來替代，即G和jB的并聯(lián)為該二端網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)等效電路。感性導(dǎo)納的導(dǎo)納三角形、并聯(lián)等效電路和電流三角形

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)8）阻抗和導(dǎo)納的等效變換無源網(wǎng)絡(luò)的等效變換7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)9）阻抗(導(dǎo)納)類似于電阻性電路中的等效電阻(等效電導(dǎo))。阻抗的串、并聯(lián)公式、Y－Δ變換公式與電阻性電路中的形式一樣，將電阻（電導(dǎo)）換成阻抗（導(dǎo)納）即可。

串聯(lián)并聯(lián)Y－>ΔΔ－>Y7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)10）相量模型

將正弦穩(wěn)態(tài)電路時域模型中的各電壓、電流用相應(yīng)的電壓、電流相量表示，各電路元件都用相量模型表示，所得到的電路模型稱為電路的相量模型。根據(jù)電路的相量模型，可以直接列寫復(fù)數(shù)代數(shù)方程(如KCL方程、KVL方程、元件的VCR方程)，與列寫電阻性電路的方程完全類似，只不過一個是列寫復(fù)數(shù)代數(shù)方程、一個是列寫實數(shù)代數(shù)方程罷了。

7.1阻抗和導(dǎo)納（續(xù)11）例1

電路如圖（a）所示，其中。輸入為。試求此電路的阻抗Z和端口電壓u。解：

圖(a)所示電路的相量模型如圖(b)所示，其阻抗為

由歐姆定律得

由相量反變換，有

7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，線性電阻電路的分析方法、定理和公式可推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析，差別僅僅在于所得電路方程為以相量表示的代數(shù)方程以及用相量形式描述的電路定理，而計算則為復(fù)數(shù)運算。相量圖能夠清晰直觀地反映電路中各電壓、電流之間的大小關(guān)系和相位關(guān)系，并可用來輔助電路的分析計算。對于某些單電源電路，借助相量圖分析，可避免繁瑣的復(fù)數(shù)運算，使計算得到簡化。這種借助相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法稱為相量圖法。相應(yīng)地，把根據(jù)相量方程求解問題的方法稱為相量解析法。相量圖法和相量解析法均屬相量法的范疇，兩者都是依據(jù)兩類約束的相量形式。有時要把兩者結(jié)合起來使用。7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)1）相量圖法相量圖法一般分為三步：第一步：選擇參考相量。第二步：以參考相量為基準，結(jié)合已知條件畫出電路的相量圖。由相量圖表示的幾何關(guān)系，利用初等幾何、代數(shù)和三角知識求出未知量。例1

已知圖示電路中電流表A1、A2的指示均為有效值，求電流表A的讀數(shù)。7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)2）解：

選電壓為參考相量，畫出相量圖。

電流表A的讀數(shù)為14.14A。注意：匯集在節(jié)點處電流的有效值一般是不滿足KCL的，滿足KCL的是電流有效值相量。

對于串聯(lián)電路，選電流為參考相量；對于并聯(lián)電路，選電壓為參考相量；對于混聯(lián)電路，靈活選取參考相量。7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)3）例2

電路如圖所示，已知UAB=50V，UAC=78V，求UBC解：

選電流為參考相量，畫出相量圖（畫在黑板上）。

7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)4）例3

電路如圖所示，已知U=200V，I2=10A，，，。求I1、XC、XL和R2。解：

設(shè)，則

相量圖畫在黑板上7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)5）相量解析法例4

圖示電路為一種RC移相電路。試分析與同相位的條件。解：

取兩者之比，并化簡得

7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)6）如果與同相位，則

即

若，，則本例電路能夠產(chǎn)生電壓相位的偏移，是一種所謂移相電路。

7.2正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法求解（續(xù)7）例5

已知，。求β等于多少時，和的相位差為90o。解：

令

則

故電流超前電壓90o。7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

有關(guān)功率和能量的基本概念已在第1章討論過，但是，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，由于通常包含有電感、電容儲能元件，所以，其功率計算要比電阻電路的功率計算復(fù)雜，需要引入一些新的概念。正弦交流電路的負載為如圖所示的二端網(wǎng)絡(luò)。設(shè)其端口上的電壓u和電流i分別為電壓u和電流i的相位差為7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)1）瞬時功率

它時而為正，時而為負。為正表示二端網(wǎng)絡(luò)吸收功率，為負表示釋放功率，這是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部存在儲能元件所致。平均功率將瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值定義為平均功率7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)2）

平均功率的單位為瓦(W)。平均功率也稱為有功功率，是電路中實際消耗的功率。功率因數(shù)角

功率因數(shù)

正弦穩(wěn)態(tài)電路的平均功率不僅與電壓、電流的有效值的乘積有關(guān)，而且與功率因數(shù)有關(guān)。不含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)

電阻

電感

電容7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)3）無功功率無功功率的單位為乏(var)不含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)

電阻

電感

電容

在電路系統(tǒng)中，電感和電容的無功功率有互補作用。工程上認為電感吸收無功功率、電容發(fā)出無功功率。7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)4）視在功率視在功率的單位是伏安（）P、Q、S在復(fù)平面上構(gòu)成一個直角三角形，稱為功率三角形。

7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)5）復(fù)功率

對于不含獨立源的二端網(wǎng)絡(luò)，可用該二端網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗Z或等效導(dǎo)納Y替代，則復(fù)功率又可表示為對于整個電路復(fù)功率守恒，即有注意：視在功率不守恒。復(fù)功率的單位是伏安（）7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)6）例1

下圖為三表法測線圈參數(shù)電路，電壓表、電流表和功率表的讀數(shù)分別為50V、1A和30W，電源頻率為50Hz，求線圈參數(shù)R和L。解：由電表讀數(shù)可知

線圈參數(shù)R為

7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)7）線圈阻抗的模為又可解得線圈參數(shù)L

本題還有其它解法，可寫在黑板上。

7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)8）例2已知電源的電壓,電源的頻率,電容,電動機的功率,電動機的功率因數(shù)(感性)，求負載電路(即虛線框內(nèi)的電路)的功率因數(shù)。解：設(shè)，則7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率（續(xù)9）7.4功率因數(shù)的提高提高功率因數(shù)的目的和意義提高設(shè)備功率容量的利用率抑制供電系統(tǒng)的無功功率，減小線路損耗減小供電線路電流，節(jié)省線路材料提高功率因數(shù)的方法只能提高線路總的功率因數(shù)，不改變設(shè)備本身功率因數(shù)提高功率因數(shù)的同時不能改變設(shè)備的工作狀態(tài)通常的供電系統(tǒng)采用電壓源供電方式，各負載并聯(lián)運行絕大部分的電力設(shè)備屬于感性負載提高功率因數(shù)的方法是在感性設(shè)備兩端并聯(lián)補償電容器7.4功率因數(shù)的提高（續(xù)1）補償電容的確定

并聯(lián)電容后，原負載的電壓和電流不變，吸收的有功功率和無功功率不變，即：負載的工作狀態(tài)不變。但電路的功率因數(shù)提高了。將和，代入上式又，因此7.4功率因數(shù)的提高（續(xù)2）例1

已知f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos1=0.6，要使功率因數(shù)提高到cos2=0.9,求并聯(lián)電容C，并聯(lián)前后電路的總電流各為多大？解：未并電容時：并聯(lián)電容后：7.5最大功率傳輸

在電阻電路中曾討論了負載獲得最大功率的條件。在交流電路中，若電源的內(nèi)阻和負載均為阻抗，那么在內(nèi)阻抗固定、負載可變的情況下，負載獲得最大功率(有功功率)的條件是什么呢？

負載阻抗獲得最大功率的條件取決于負載阻抗能夠如何變化，下面討論兩種情況：(1)負載的電阻和電抗均可獨立地變化；(2)負載阻抗角固定(即負載性質(zhì)不變)而?？筛淖儭?.5最大功率傳輸（續(xù)1）負載的電阻和電抗均可獨立地變化負載吸收的有功功率為

根據(jù)有功功率的表達式，可得到獲得最大功率的條件為解得即有此時獲得的最大功率為最佳匹配或共軛匹配

7.5最大功率傳輸（續(xù)2）負載阻抗角固定而?？筛淖兡Ｆヅ?/p>

設(shè)負載阻抗為

則負載吸收的有功功率為

令該式關(guān)于|ZL|的導(dǎo)數(shù)為零，可得7.5最大功率傳輸（續(xù)3）例1

電路如圖所示，試求負載ZL吸收的功率。若：(1)負載為5Ω電阻；(2)負載為電阻且與電源內(nèi)阻抗模匹配；(3)負載與電源內(nèi)阻抗共軛匹配。

解：電源內(nèi)阻抗為

7.5最大功率傳輸（續(xù)4）7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

由于電路和系統(tǒng)中存在著電感和電容，當(dāng)電路中激勵源的頻率變化時，電路中感抗、容抗將跟隨頻率變化，從而導(dǎo)致電路的工作狀態(tài)亦跟隨頻率變化。這種電路和系統(tǒng)的工作狀態(tài)跟隨頻率而變化的現(xiàn)象，稱為電路和系統(tǒng)的頻率特性，又稱頻率響應(yīng)。為了便于研究正弦穩(wěn)態(tài)電路的頻率響應(yīng)，在電路中只有一個正弦激勵源的情況下，引入正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念。設(shè)電路的激勵為,電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義為7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（續(xù)1）

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的模與頻率的關(guān)系稱為幅頻特性，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的輻角與頻率的關(guān)系稱為相頻特性。這兩種特性都可以在圖上用曲線表示，稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性曲線。

例1

圖示的一階RC串聯(lián)電路，若以為激勵，為響應(yīng)，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(即轉(zhuǎn)移電壓比)，并繪制相應(yīng)的頻率特性曲線。

解：網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（續(xù)2）即

據(jù)此可繪出電路的頻率特性曲線，如圖所示。

（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線一階低通RC電路

7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（續(xù)3）例2

圖示的一階RC串聯(lián)電路，若以為激勵，為響應(yīng)，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，并繪制相應(yīng)的頻率特性曲線。

解：網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為

即

據(jù)此可繪出電路的頻率特性曲線，如圖所示。

7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（續(xù)4）（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線一階高通RC電路

若電路能使某個頻率范圍內(nèi)的輸入得以輸出，而阻斷其它頻率的輸入信號，這種電路就對不同頻率的輸入具有選擇性，常將這種電路稱為選頻電路。由于選頻電路能夠濾除輸入中某些頻率的信號，因而又稱為濾波器。7.6正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（續(xù)5）的頻率范圍

，稱為通頻帶。的頻率范圍

，稱為阻帶。時對應(yīng)的頻率點稱為截止頻率。

為記的最大值

根據(jù)電路的幅頻特性，可將通用的濾波器分成五類：低通、高通、帶通、帶阻和全通濾波器。五種理想濾波器的幅頻特性

電路諧振是在特定條件下出現(xiàn)在電路中的一種現(xiàn)象。對一個一端口電路，若出現(xiàn)了其端口電壓與端口電流同相的現(xiàn)象，則說此電路發(fā)生了諧振。

電路諧振廣泛應(yīng)用在無線電、通信工程中。在電力系統(tǒng)中，電路諧振通常會造成對電路的沖擊，使設(shè)備損壞，因此必須加以避免。

7.7RLC電路的諧振7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路諧振頻率輸入阻抗為

當(dāng)電路發(fā)生諧振時，Z的虛部為零，即

由此可得諧振角頻率、頻率分別為

諧振條件

調(diào)諧方法：（1）當(dāng)L和C一定時，調(diào)節(jié)電源頻率；（2）當(dāng)電源頻率一定時，可改變L或C達到諧振條件。7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)1）輸入阻抗Z的頻率特性曲線

(1)當(dāng)＜0時，XC＞XL，Z(j)是容性的；

(2)當(dāng)=0時，XC=XL，Z(j)=R是電阻性的；

(3)當(dāng)＞0時，XC＜XL，Z(j)是感性的。

7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)2）電路的相量圖

諧振時

諧振時電源只需提供電阻消耗的能量，電感和電容之間進行等量能量交換，此時串聯(lián)的電感和電容對外相當(dāng)于短路。

7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)3）RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)

在諧振時，電容電壓和電感電壓的大小相等，且為電源電壓的Q倍。

品質(zhì)因數(shù)

當(dāng)Q很大時，將有UL0=UC0>>U的現(xiàn)象出現(xiàn)。這種現(xiàn)象在電力系統(tǒng)中，往往導(dǎo)致電感的絕緣介質(zhì)和電容中的電介質(zhì)被擊穿，造成損失；而在一些無線電設(shè)備中，卻常利用諧振的這一特性，提高微弱信號的幅值。7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)4）電流諧振曲線

品質(zhì)因數(shù)Q對電流諧振曲線的形狀有很大的影響，Q大則曲線變化陡峭；Q小則曲線變化平坦。只有頻率與諧振頻率0相同和與0相差不多的電流可以通過電路，其他的則受到衰減。把電路具有這種選擇諧振頻率附近的電流的性質(zhì)稱為電路的選擇性。7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)5）通頻帶

Q大則通頻帶窄，Q小則通頻帶寬。7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)6）電壓諧振曲線

7.7.1RLC串聯(lián)諧振電路（續(xù)7）用求極值的方法可求出UC和UL出現(xiàn)最大值