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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.2.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β3.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績,并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.16004.設(shè)集合,則()A. B.C. D.5.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.26.已知、是雙曲線的左右焦點,過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點,若點在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.7.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張在離開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達(dá)的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點,則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.8.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.9.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.11.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.12.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,其中,,,,則__________.14.在中,,,,則________,的面積為________.15.已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實根,則實數(shù)a的取值范圍為________.16.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,設(shè)函數(shù),.(1)若,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最小值為1,證明:.18.(12分)在中,內(nèi)角的邊長分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.19.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長為2的菱形,點E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點,點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時,.22.(10分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】
根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績在內(nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內(nèi)的頻率,所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】
直接進(jìn)行集合的并集、交集的運算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運算,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程,解方程求得的值.【詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點M(,﹣),∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.7、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).9、D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進(jìn)而可知當(dāng)時,;當(dāng)時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.10、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.11、C【解析】
設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【詳解】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,.連接BD,在中,有.在中,.所以,則,所以.連接AC,同理可得,所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查余弦定理解三角形,同角三角函數(shù)基本關(guān)系,意在考查方程思想,計算能力,屬于中檔題型,本題的關(guān)鍵是熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),對角互補.14、【解析】
利用余弦定理可求得的值,進(jìn)而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了三角形面積的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負(fù),數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時,令,解得,所以當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象如圖:(1)當(dāng)時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當(dāng)時,方程整理得,則,,此時各有1解,故當(dāng)時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據(jù)圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當(dāng)時,和均無解,當(dāng)時,和無解,不符合題意.綜上:的范圍是,故答案為:,【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題.16、4038.【解析】
由函數(shù)圖象的對稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關(guān)于點對稱則故,即本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點分段法,求出各段的取值范圍然后取并集可得結(jié)果.(2)利用絕對值三角不等式可得,然后使用柯西不等式可得結(jié)果.【詳解】(1)由,所以由當(dāng)時,則所以當(dāng)時,則當(dāng)時,則綜上所述:(2)由當(dāng)且僅當(dāng)時取等號所以由,所以所以令根據(jù)柯西不等式,則當(dāng)且僅當(dāng),即取等號由故,又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.18、(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計算即可得到所求值;
(2)運用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡可得sinA+sinB=5sinC,運用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式;(2)當(dāng)時,由,可求,時,由,可證,驗證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時,,,當(dāng)時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.20、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,
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